一、教学内容解析
本课作为垂径定理的第一课时，重点关注定理构成的两个条件和两个结论；在定理的证明过程中，还对“弦是直径”这一特例进行了讨论；本课还重视圆的知识与三角形知识之间的转化，为后续的学习和探究奠定了基础。
二、教学目标设计
初步掌握垂径定理，初步运用垂径定理解决相关数学问题。
经历垂径定理的探究过程，进一步体验“观察-猜想-实验-证明”的方法。
会把相关实际问题抽象为数学问题并加以解决，积累数学建模活动的基本经验，了解赵州桥的历史和价值，体会我国古代文明和劳动人民的智慧。
三、教学重点与难点
教学重点：探究垂径定理并证明，能初步运用垂径定理解决相关数学问题。
教学难点：运用垂径定理分析和解决问题。
四、教学片段解析
通过具体的实例引入，引导学生观察、猜想、实验、证明，从而得出垂径定理。
观察、猜想
展示一些与垂径定理有关的图片或者实物，如桥梁、隧道、拱门等，引导学生观察并思考：如果一条弦和一条直径垂直相交于一点，那么它们的关系满足什么条件？
实验、证明
让学生自己动手画图，任意选取一个圆和一条弦，画出这条弦和直径垂直相交的图形。然后通过圆规截取线段、量角器测量角度等方式，验证自己的猜想是否正确。在验证的过程中，可以引导学生思考：如果这条弦不是直径，那么它们的关系又满足什么条件？
得出结论
通过实验和证明，引导学生得出垂径定理的结论：直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。在得出结论后，可以让学生用自己的语言简述这个结论，以加深理解。
运用垂径定理
在得出垂径定理的结论后，可以举一些具体的例子，让学生运用这个结论解决问题。例如，可以让学生计算桥梁的跨度、拱门的半径等。在运用的过程中，可以引导学生思考：如何根据题目中的条件选择合适的公式？如何计算简便？
通过以上四个步骤，学生不仅能够掌握垂径定理的内容和应用，还能够体验到数学探究的过程和方法。同时，通过具体的实例和问题，学生还能够了解数学在生活中的应用和价值。
垂径定理教学设计是一个系统性的教学过程，需要教师全面考虑学生的认知水平和思维能力，结合定理的特点和实际应用进行精心设计。希望本次设计能够为垂径定理的教学提供一些有益的参考和启示。
一、教学内容的说明
教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点，垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。
鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：
(1)了解圆的轴对称性。
(2)弄清垂径定理及其推论的题设和结论。(3)运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。
(4)学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。
教学重点：垂径定理及其推论
教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是理解垂径定理的关键。
二、教学目标的确立
根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：
1、通过直观演示了解圆的轴对称性。
2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。
3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。
三、教学方法与手段的选择
在教学方法方面:本节课主要采用了教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价的方法。
在教学过程中，遵循“实验－观察－猜想－证明－讨论－总结－应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。同时，考虑到不同层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上，均力争使每名学生都有所得。
在教学手段方面：我采用教（学）具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。
四、教学过程的设计
1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。
2、围绕一个目的：落实教学目标
3、突出一个特点：通过“实验－观察－猜想－证明－应用”帮助学生实现由感性认识到理性认识的过渡
4、采用一种手段：借助教具的直观性和计算机辅助教学，启发引导学生发现定理，从而抽象概括出定理
5、收到一个效果：使学生通过本节课的学习，能够理解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时使学习知识、培养能力和优化思维品质融为一体。
学法指导：
动手操作、观察猜测、交流讨论、分析推理、归纳总结，在此过程中使学生积极参与，交流互动。
本课的教学过程包括：
以旧引新、引导探究——动手操作、观察猜想——指导论证、引申结论——多方练习、分层评价——反思小结、布置作业五个环节。
（一）以旧引新、引导探究
人类认识事物大多遵循由感性认识到理性认识，由旧知到新知的上升过程，为此我先引导学生复习与本课新知识有关的旧知识，出示如下两个问题：
（1）什么是轴对称图形
（2）观察下列图形哪些是轴对称图形？并指出对称轴条数。
其中第一题的目的在于唤起学生记忆，明确轴对称图形的概念。进而选取几种常见的几何图形让学生判断，其中的平行四边形是从反面强化对轴对称图形的理解。第二组是有关车标图案的轴对称图形，使学生知道我们身边随时随地都有轴对称图形的存在，此时可让学生再举几个实际例子，以激发学生的兴趣。
然后出示圆，提问：圆是轴对称图形吗？
它有几条对称轴？
对称轴在什么位置？
进而通过学生折叠圆形纸片、
教师投影演示明确：
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
这样通过创设问题情境，激发学生的求知欲，以旧引新，引出本课课题——圆的轴对称性。
（二）动手操作，观察猜想
首先让学生按要求在事先准备好的圆形纸片中画图折叠、观察、猜想。ⅰ画出⊙O的一条弦AB
ⅱ过O画AB的垂线交⊙O于C、D两点，垂足为E.
问题1：过O点垂直AB的直线有几条？（说出理由）
设计意图：明确垂直于弦的直线有且只有一条。
问题2：直径CD还有什么性质？（投影）
1、引导学生将⊙O纸片沿直径CD折叠，观察重合部分，猜想结论
2、小组交流猜想结论。
3、教师投影演示与学生共享猜想结论
设计意图：通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思维品质。同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺路搭桥的作用。
（三）指导论证，引申结论
在师生共同得出猜想结论后，教师追问质疑：猜想的结果是否正确，必须要加以证明，将学生的活跃思维从实验猜想拉回到对猜想的严格证明中。教学安排：
学生回答已知、求证后教师投影。
随后指导学生从圆的轴对称性入手，讨论出联结OA和OB后，抓住只要能够证出直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴，又是圆的对称轴，即可利用圆的轴对称性证明出结论。进而让学生试述，教师板书证明过程。
进而总结出垂径定理的内容。并引导学生分析出定理的题设和结论。说明知道了题设的两个条件，就可以得出三个结论。
此时出示判断题
(1)过圆心的直径平分弦（×）
(2)垂直于弦的直线平分弦（×）
(3)⊙O中，OE⊥弦AE于E，则AE=BE（√）】
引导小组讨论，允许争论，关键要让学生说明理由，举反例。交流讨论、统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，并强调垂径定理圆的轴对称性——垂径定理及其推论题设中的两个条件缺一不可。同时说明垂径定理条件中的’“直径”是指过圆心的直线，但在应用该条件时可以不为直径，如半径、圆心到弦的距离照样可以得到平分弦的结论。
然后再次通过提问：如果将题设中的两个条件改为“直径平分弦”，能否得出其它三个结论呢？自然的引出对例1的教学：
【例1：已知:如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于E，AE=BE
求证：CD⊥AB,】
通过教师引导、小组讨论分析证明出垂径定理的推论：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。使学生初步认识到将定理中题设的两个条件之一与三个结论之一交换一个，也可得出其它三个结论。然后再次出示小组讨论题，
【小组讨论：下列命题是否正确？说明理由
1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。(√)
2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧(√)】
进一步强化刚才的初步认识，进而归纳总结出其中规律：五个条件，知二推三。在整个过程中教师要及时引导学生通过画图分析、讨论，说明理由，辨别正误，从而有效的突破难点，突出重点。
O
（四）多方练习，分层评价
【例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。】
1、选题意图
至此，学生们对垂径定理及其推论的基本知识应该掌握了，为了使学生再上一个台阶，更好的将知识点落到实处。我安排了例2，试图通过此例，使学生明确：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是将垂径定理和勾股定理结合起来。达到一通百通的目的。并为例3的教学铺平道路。
2、教学安排
ⅰ解决问题：此题先提醒学生审清题意，思考如何构造出圆的半径及圆心O到弦AB的距离。在个人独立思考建立图形以后，进行小组交流、讨论。最后各组派代表展示学习成果并说明理由，教师点拨，最后投影出完整解题步骤。ⅱ反思拓展：提问：在解答此题的过程中，你用到了几个定理？
通过讨论，使学生体会到：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。
然后，趁热打铁，通过三个难度不同的练习，进一步巩固刚才讨论得出的成果。
【A组在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是(3)cmB组在圆O中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆O的直径是(26)C组若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝(16)】ⅲ分层评价：学生的认知水平是不同的，所以我有意识的将题目按由易到难的顺序分成了A、B、C三组，其中A组题是为学困生编写的；B组题绝大多数同学应该掌握；C组题难度稍大，但稍微动一动脑，也不是不能做出的，是为中上等同学准备的。
需要说明的是：学生每做对一组题就可获得一个满分，教师此时巡视指导并及时评判各组当中做完的同学，而且不管是谁只要做对了题，都可以为本组同学判题打分。这样安排，使不同层次的学生都学有所得，调动学生的学习热情。
然后各组请代表说明解题思路。热身之后，出示例3：
【例3、已知⊙O的直径为4cm，弦AB=，求∠OAB的度数】
1、选题意图：在巩固例2成果基础之上，出示例3，是为了将解直角三角形与垂径定理的知识衔接起来，使知识之间融汇贯通——你中有我，我中有你。
2、教学安排：
ⅰ解决问题：提问：求角度问题，可否通过解直角三角形的问题解决？学生自然会联想到构造直角三角形，进而作出正确的辅助线。然后利用特殊角的三角函数值求出锐角的度数。学生展示成果后，教师出示完整解题格式，并追问：还有没有其它的解题方法？此时圆的轴对称性可能有的学生通过得出弦心距的长度，利用在直角三角形中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边所对角为30°，亦可。教师要给予充分的肯定和鼓励性评价。然后再通过一道证明题，
【练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD】
再一次的巩固垂径定理及辅助线的做法。
ⅱ反思拓展：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
（五）反思小结、布置作业
这个环节主要让学生谈谈本节课的收获和体会。我根据情况适当补充。然后仍按照学生层次布置分层作业。这样最大限度的调动学生学习的积极性，使不同层次的学生都有所获，在原有的基础上得以发展、提高。
垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中九年级人教版第二十四章第2节内容，它是圆中有关计算方面比较重要的一节。
本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：
（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生很感兴趣，有些同学折的是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。）
（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。
（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）
（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？
（5）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。
通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。
当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：
（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。
（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。
（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。
作课类别
课题24.1.2垂直于弦的直径
课型
新授
教学媒体
多媒体
教学目标
知识技能
1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性.
2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.
过程方法
1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．
2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
情感
态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
教学重点垂径定理及其运用．
教学难点发现并证明垂径定理
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质.
二、探究新知
(一)圆的对称性
沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？
得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
（二）、垂径定理
完成课本思考
分析：1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？
2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相等吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
即：直径CD垂直于弦AB则CD平分弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧．
推理验证：可以连结OA、OB，证其与AE、BE构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系.
分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？
即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？
2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？
垂径定理的进一步推广
思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来.
归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论.
（三）、垂径定理、推论的应用
完成课本赵州桥问题
分析：1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的？
2.结合所画图形思考：圆的半径r、弦心距d、弦长a,弓形高h有怎样的`数量关系？
3.在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径，作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:
三、课堂训练
完成课本88页练习
补充：
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是圆心，其中CD=600m，E为圆O上一点，OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施）
四、小结归纳
1.垂径定理和推论及它们的应用
2.垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.
3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段
五、作业设计
作业：课本94页1，95页9，12
补充：已知：在半径为5㎝的⊙O中，两条平行弦AB,CD分别长8㎝，6㎝.求两条平行弦间的距离.教师从直径引出课题，引起学生思考
学生用纸剪一个圆，按教师要求操作，观察，思考，交流，尝试发现结论.
学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，尝试得出垂径定理，并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明.
师生分析，进一步理解定理，析出定理的题设和结论.
教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论
学生根据问题进行思考，更好的理解定理和推论，并弄明白它们的区别与联系
学生审题，尝试自己画图，理清题中的数量关系，并思考解决方法，由本节课知识想到作辅助线办法，
教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.
引导学生分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．
让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总
通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础
通过该问题引起学生思考，进行探究，发现垂径定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力.
为继续探究其推论奠定基础
培养学生解决问题的意识和能力
全面的理解和掌握垂径定理和它的推论，并进行推广，得到其他几个定理，完整的把握所学知识.
体会转化思想，化未知为已知，从而解决本题，同时把握一类题型的解题方法，作辅助线方法.
运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧
让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力
归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯
巩固深化提高
板书设计
课题
垂径定理垂径定理的进一步推广
赵州桥问题归纳
在垂径定理教学中，我获益良多，主要体现在以下几个方面：
（1）在数学教学中，一些结论的表述是很重要的，而我在这节课上有些表述确实不是很正确；而且我在课堂上，尤其是知识点的联系方面的引导词，更加需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫，在去听其他数学老师的课时，要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句。
（2）一些该让学生知道的知识点，讲得不够透彻。如CD是直径，其实应该可以拓展为过圆心的直线；不能够用数量关系求的’，应该要适当地引导学生设未知数。而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数。同样在已知一条边，不够条件求解时，也要引导学生利用未知数来解题的这种题目，引导得不够，或者说引导得不够深刻，学生就会觉得是老师直接将知识倒向他，而他不一定能接受。
（3）在学案设计方面，在时间上把握得不够准确，设计的学案内容太多，在这节课上如果估计过量已经足够的话，垂径定理的推论其实可以放在下节课。这样就不会使得后面讲推论的时间太短，太仓促。前面在复习的部分应该加些关于勾股定理的计算的题目，使学生在后面解直角三角形时能够更加快，更熟练；而在多**中练习题量太小，而且是题型太单一，可以再多做些找相等的量的基础训练。
（4）其实这节课还有个作图思想要灌输给学生，即教学生如果见到弦心距，弦，那么直接连半径构成直角三角形；如果就是只知道一条弦的题目，就要连弦心距都要作出来，而这两种题目我的训练都不到位。
（5）还有其他很多问题：例题的讲解不够详细，深刻。给学生思考的时间不够；题目的梯度设计得不是很好……
通过反思这一课的课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解不够，不能灵活应用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）。对这一课进行全面反思后，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。这些失误给了我一个今后的努力的方向。在今后的学习中，我会更加努力，改正自己的缺点，努力钻研教材。