1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图形；圆是任意角度的旋转对称图形；圆心是对称中心。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（也平分弦所对的圆心角）。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（也平分弦所对的圆心角）。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦，也平分弦所对的圆心角。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角和弦都相等；(等弧对等弦也对等角)；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（等弧也成立）
推论：同弧或等弧所对圆周角相等；
在同圆或等圆中，两个相等的圆周角所对的弧和弦分别相等；
在同圆或等圆中，条相等的弦所对的两个圆周角(钝角和锐角)分别相等。
半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径，弧是半圆。
5、圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形有外接圆。
6、不在同一直线上的三个点确定一个圆；三角形的三个顶点确定一个圆。
7、切线的判定定理：经过半径(直径)的外端并垂直于这条半径(直径)的直线是圆的切线。
8、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径（直径）。
9、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（也平分丙边分别过两个切点的圆心角，还平分这个圆心角所对的弧和弦）。
补充：（以前教科书上有的）
10、弦切角定理：弦切角的等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
11、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
正多边形和圆
1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念：
(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。
通过对初中圆的知识点总结，我们可以更好地理解圆这一几何图形，并且在数学学习中更加得心应手。希望本文对读者有所帮助，让大家在学习数学的过程中更加轻松愉快。
1、已知：弦AB把圆周分成1：5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为________。
2、已知：⊙O中的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，则弦AB的长为_______cm，AB的弦心距为_____cm。
3、如图，在⊙O中，AB∥CD，⌒AC的度数为450，则∠COD的度数为_______。
4、如图，在三角形ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC=（）。
A．140°B．135°C．130°D．125°
5、下列语句中，正确的有（）
(1)相等的圆心角所对的弧相等；
(2)平分弦的直径垂直于弦；
(3)长度相等的两条弧是等弧；
(4)圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴
A．0个B．1个C．2个D．3个
6、已知：在直径是10的⊙O中，⌒AB的度数是60°，求弦AB的弦心距。
7、已知：如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：⌒AB=2⌒AE
8、已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？
9、如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
11.如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？
答案
1.60度
2.4√31
3.90度
4.D
5.A
6.2.5
7.提示：连接OE，求出角COE的度数为60度即可
8.略
9.100毫米
10.AC=OC，OA=OB，AE=ED
圆的定义：
（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：
（1）如定义（1）中，该定点为圆心
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
垂径定理
垂径定理：垂直于某某的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④弧弧
圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
常见重点题型
1．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为．
2．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为
3．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A＝63°，则∠B的度数为．
4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为．
5．点P到⊙O上各点的最大距离为10cm，最小距离为8cm，则⊙O的半径为．
6．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差
为米．
7．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是．
8.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为________.
9.已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.
10.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为．
11．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=．
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是
圆和圆定义：
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。
原理：圆心距和半径的数量关系：
两圆外离<=>d＞R+r两圆外切<=>d=R+r两圆相交<=>R-r<d<R+r(R>＝r)
两圆内切<=>d=R-r(R>r)两圆内含<=>d<R-r(R>r)
垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(2)垂径定理及其推论可概括为:
直径：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧。要学会知二推三。
(当以①③为题设时，“弦”不能是直径。）