【关键词】小学算术应用题;自动解答系统;解题策略;分解;知识表示
【中图分类号】G420【文献标识码】A【论文编号】1009―8097(2010)04―0024―04
一前言
小学算术应用题辅助学习系统[1-4]和以小学应用题为核心内容的相关科学研究系统[5]在教学和一些心理学测验[6]的应用情境中被国内外较多地使用,但这些系统都是内置好题目和答案的,不能实现应用题的自动求解,这使得这些系统中的题目数量和题型十分有限,从而严重影响了辅助学习和科学研究的效率和效果。故此,计算机自动解答应用题成为提升小学应用题辅助学习系统等相关系统智能化和能否广泛使用的关键。
如欲实现应用题的自动解答,存储应用题解题策略的知识库(或称策略库)必不可少。计算机将按照策略库中的策略来决定题目中某几个数量之间的运算关系。本文即研究和提取小学应用题解题策略、提出解题策略的分层和协调机制及策略的知识表示方法,以便使得解题策略可以合理地存储在知识库中,供解题算法调用,进而实现自动解题。
因此本研究在该自动解题系统中的重要性不言而喻,可以说是小学算术应用题自动解题系统能够解题的关键步骤之一。
二国内外应用题解题策略的研究现状
1国内应用题解题策略研究
我国学者多从解答应用题技巧方面来研究解题策略。例如,我国学者孙联荣等人[7]把问题解决的策略分为两大类:综合策略和一般策略。综合策略就是问题解决的整个过程中所使用的思考策略,而一般策略是指对发现和解决问题具有帮助作用的具体策略。他们把小学数学问题解决的一般策略分为以下几项:(1)尝试和检验;(2)画图;(3)实际操作;(4)找规律;(5)制表;(6)从简单的情况入手;(7)整理数据;(8)从相反的方向去思考;(9)列方程;(10)逻辑推理;(11)改变观点。
又如,我国学者李明振[8]在对解决数学问题心理过程研究并借鉴他人的研究基础上,将解决数学问题的基本策略归纳为如下七种:(1)整体策略;(2)模式识别策略;(3)转化策略;(4)媒介过渡策略;(5)辩证思维策略;(6)反面思考策略;(7)记忆策略。
但上述研究是通用的数学问题解决策略,本文所讲的解题策略是针对不同类型的应用题所具体使用的不同策略,如:时间*速度=距离。下面,程志博士的工作与之更为接近。
程志博士[9]对整数一、二步和分数基本应用题的每一条解题策略作了两部分工作。一部分是“策略是什么?”另一部分是“这条策略可能对应的字串是什么?”本研究在程志博士论文的基础上,总结了小学数学一至六年级的应用题(除图形题和表格题)可能用到的大多数策略,即解决了“小学数学一至六年级应用题可能用到的大多数策略是什么?”的问题。
2国外应用题解题策略研究
美国心理学家Greeno和Cerpenter根据问题的语义结构将加减一步算术应用题分为变化题、合并题、比较题三种类型。他们所提出的加减一步算术应用题的分类被许多的研究者广泛采用,并作为研究儿童解决算术应用题过程所选择的算术应用题研究材料的依据[10]。这三种类型应用题的具体分类为改变类包含结果量未知、改变量未知和起始量未知三个子类,合并类包含总数未知和子集未知两个子类,及比较类包含差异量未知、被比较量未知和参照量未知三个子类。
SiegbertSchmidt和WernerWeiser[11]将一步乘除法分为四类:n倍测度,组合策略,合成操作和公式乘法。
本研究中加减法策略主要采用了美国心理学家Greeno和Cerpenter对加减法的分类方法,在此基础上丰富了各类的内容。本研究乘除法策略也采用了SiegbertSchmidt和WernerWeiser提出的部分理论,将前三类列为乘除法的三类低层策略,而第四类公式乘法是由前三种延伸而来,因此将公式乘法作为前三类的子策略而存在,在此基础上,本研究丰富了每类策略的内容。
三研究过程和主要研究方法
研究过程中,首先应用文献分析法确定策略分类的层次和类别,用有向图(称为策略生长图)逻辑地表示各层策略的结构。然后,人工解答题库中的5672道应用题(题库中包含1至6年级各年级各单元各种题型的题目,题目内容丰富、题目难度跨度大),用比较法、归纳法和聚类分析方法从中总结策略,将总结得出的策略一一植入到策略生长图中。之后,进行人工评价,应用调查法和访谈法收集评价人的意见并修改和完善策略。再选择应用题样本,应用策略进行人工解题检验,应用访谈法收集意见并再次修订后,最终确定小学算术应用题解题策略。之后选择合适的知识表示方法将分类知识和策略模板知识表示出来。
四小学算术应用题解题策略分解和逻辑表示
1小学算术应用题解题策略的分解
小学算术应用题解题策略分为三大类:基本策略、低层策略和高层策略。
基本策略包含加、减、乘、除和比例5种基本运算,小学算术应用题的所有策略都是由此5种运算而来,基本策略总数共15条。
低层策略是由基本策略组成且无法再分解的策略。它们包含的较大的类别有整数、小数四则应用题、分数、百分数应用题、比和比例应用题、几何形体应用题、其它特殊应用题。其中共包含总结出来的低层策略105条。限于篇幅,仅以“整数、小数四则应用题”类中的部分低层策略(全部为35条)为例布列如下:
从计算机解题角度来说,基本策略和低层策略各个策略之间是平等的、互斥的,没有重叠和包含。即,两类策略中的每一条策略都是不可缺少的,不可被替代的,但其中的变量名称可以被其近义词替换,替换前后的两条策略视为同一条策略。
高层策略有两层含义。一种含义是高层策略是两个或多个低层策略组合而成的策略,是可再分的策略。目前所列出的高层策略主要是某些典型题型的解题策略,如相遇问题的解题策略、鸡兔同笼问题的解题策略等等。这些策略的父策略包括两个或多个低层策略。另一种含义是高层策略的语义比低层策略更丰富,越往高层,策略的语义越丰富。高层策略中的各个策略之间不一定是平等、互斥的关系,相互之间可以有父子关系。高层策略是可扩展的。目前总结的高层策略共77条,涉及到以下一些问题:余数、和倍、和差、差倍、分割、植树、平均、相遇、双程、追及、流水、浓度、盈亏、升降、相离运动、鸡兔同笼、火车过桥、环形相遇、纳税与利息、折扣与利润等。
2小学算术应用题的逻辑表示及其意义
由于基本策略、低层策略和高层策略之间的继承和层次关系,可以将所有的策略放在一个策略生长图中。基本策略是低层策略的父策略,低层策略是高层策略的父策略,高层策略之间也有父子关系,这样的一张策略生长图如图1所示。图的最高层是具体的应用题题目。
策略生长图可以逻辑地、立体地表示各种简单和复杂策略间的关系,一个比较复杂的应用题题目可对应高层策略来解答,简单的应用题则对应低层策略或基本策略解答,包含多个运算的复合运算的题目由几个策略联合起来解答。
本文的解题策略是自动解题中需要的解题知识,存入解题策略知识库中,程序根据对题目的理解调用知识库中的知识,调用知识的过程中必然会遇到知识冲突的问题,即同一个题目可以对应超过1条知识来解答,这是由自然语言理解的深度来决定的,本文提出的分层的策略的逻辑表示将十分有利于知识的冲突消解。
五小学算术应用题解题策略的检验
1小学算术应用题样本抽取
为了检验小学算术应用题解题策略的完备性、合理性、有效性、简洁度和是否存在冗余,从5672道小学算术应用题的题库中,利用分层取样和随机取样结合的方法,从1-6年级,每个年级随机抽取18道应用题,共108道应用题,组成待验样本。
2样本检验结果
(1)完备性。样本题目共108道,能够用以总结的策略库中的策略解答的题目有102道,不能够解答的题目有6道。因此样本的解题率为94.4%。
(2)合理性。目前总结的策略库中的策略大部分较易被理解,分类比较合理,能够被检验者接受。
(3)有效性。经过检验,大部分策略能够有效地解答应用题题目,但还需要总结大量的常识知识,来辅助计算机理解题目,并找到准确的策略。
(4)简洁度。检验者认为绝大部分策略表达简洁明了,个别策略中的变量易产生歧义。因此,本研究给出了变量歧义说明,此不赘述。
(5)冗余度:经过检验,某些题目,既可以用低层策略解答,也可以用高层策略解答。但这并非是策略冗余的表现。从计算机解题角度来说,这两条策略不可互相替代,因为他们分别与题库中两种不同问题相对应。对于高层策略来说,对应的题目范围相对较小,而低层策略对应题目的范围比较大。既然低层策略可以解题,那么高层策略存在的理由是高层策略语义更丰富,更容易与题目进行匹配关联,且高层策略与题型相关度比较大,便于以后对学生进行解题辅导。
总体来说,本研究的解题策略分解和表示能够比较准确全面地解答小学算术应用题。
六小学算术应用题解题策略的表示方法
本文比较了常用的知识表示方法,最终根据策略知识的特点选择了框架知识表示法来表示解题策略及这些策略之间的逻辑关系。限于篇幅,仅举一例如下:
例1:基本策略中的SB1(加数+加数=和)的框架表示
框架名:
本策略:
编号:SB1
名称:加数+加数=和
描述:加法运算,求两数之和。
父策略:
编号:0
运算与变量:
运算符:+
变量数:3
变量1:
名称:加数
代码:P25
近义词:
实例:数词+“加”+数词(245加上235);
“比”+数词+“多”+数词(比67多129)
变量2:
名称:加数
代码:P25
近义词:
实例:数词+“加”+数词(245加上235);
“比”+数词+“多”+数词(比67多129)
变量3:
名称:和
代码:P26
近义词:
实例:“和”“是”+数词(和是多少?);
匹配字串:
字串1:……加上……是……?
字串2:……加上……,和是……?
字串3:比……多……的数是……?
字串4:……加上……,得……?
字串5:……,……的和是……?
例题:
例题1:675加上286是多少?
例题2:245加上121,和是多少?
例题3:比78060多3042的数是多少?
例题4:905加上235,得多少?
例题5:475,936的和是多少?
七总结
本文对小学算术应用题自动解题中需要应用的解题策略进行了研究,对策略分类、分层时主要考虑并合理解决了以下问题:一、怎样提高总结的解题策略的可读性,以使后续工作可以以之为基础顺利进行;二、怎样利于后续的计算机自动解题和自动辅导时进行策略调用。三、小学算术应用题的所有解题策略应该运用一种什么方法将其紧紧联系起来,如何清楚地将各策略之间的关系表示出来,便于计算机存储和调用。
本研究主要的创新之处为:(1)国外研究内容主要是一步加减法和一步乘除法的策略整体上的分类。(2)程志博士主要对整数一、二步和分数一步应用题的每一条解题策略做了两部分工作。一部分是“策略是什么”,另一部分是“这条策略可能对应的字串是什么”。而本研究总结了小学数学一至六年级的应用题(包括一步、二步和多步应用题,除图形题和表格题)可能用到的大多数策略,即解决了“小学数学一至六年级应用题可能用到的大多数策略是什么”的问题。但本文并非仅仅是策略数量上的增加,而是定义了一套合理的策略分类、分层体系、并使各层策略协调、联动起来,制定了合理的策略属性,为计算机存储策略、调用策略从而正确解题提供了方便。(3)本研究将常识知识和解题策略分开总结。制定了区分常识知识和解题策略的原则。解题策略是指具有运算符号的等式,而不具有这个特点但又是解题不可缺少的知识是常识知识,经过总结、整理,存储为常识库。当策略库中的策略无法解决问题时,计算机程序就需要到常识库中查找相关常识,根据常识知识转化已知条件,形成新的已知条件,再从策略库中寻找解题策略。
后续工作是为每条策略总结匹配的字串,才能最终作为解题策略被计算机调用。目前本课题组正在基于数据挖掘理论和算法探索关键字串自动生成的方法。
参考文献
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关键词本原过程价值策略
“解决问题的策略”是新课改小学数学教学的一项重要内容。本文旨在从“解决问题的策略”的本原，教学“解决问题的策略”的过程以及对“解决问题的策略”的反思与提升三个角度来对“解决问题的策略”做一个理性的分析和思考。
一、回归本原——对“解决问题的策略”的理性定位
“解决问题的策略”的本原究竟是什么?在课堂上，作为教师，我们究竟应该通过策略教学让学生学到些什么，体验到什么，在情感、态度、价值观方面又能得到哪些发展?在苏教片反的教材中，有关“解决问题的策略”主要涉及列表、画图、列举、倒推、替换、假设以及转化，等等。策略教学时，不仅仅要让学生能够解决一些实际问题，更重要的是要让学生借助于这些问题解决的过程来形成一些基本的策略，充分体验解决问题策略的多样性、交叉性和优越性，学会与人合作、交流，初步形成一定的评价与反思意识，发展实践能力和创新精神。而要达到这样的教学目的，需要教师在进行策略教学时必须回归到策略的本原，也就是其背后所蕴含的一些基本的数学思想和方法。只有抓住本原，在教学预设和具体的师生互动过程中才能抓住策略教学的关键，才能引导学生在体验中真正得到发展，在具体的问题情境中灵活运用合适的策略解决问题。
二、重视过程的力量——教学“解决问题的策略”的支柱
(一)对策略教学目标的深层解读与把握。
在“解决问题的策略”的教学设计中，教学目标应着力放在“解决问题的策略”而不是“解决问题”上。要以深层挖掘“解决问题的策略”所蕴涵的数学基本思想或方法为核心，并且始终围绕着这个核心来展开一系列教学设计。要让学生自主经历策略的形成过程，通过自己的探索和实践，培养学生合情判断、选择策略的能力，培养学生合理反思策略的意识，不断体验策略的价值所在，逐步建立起相应的策略，并对该策略的一些基本特征有准确把握，通过不断地反思与提升，将其有效地内化到自己的知识结构中，达到对策略的深层理解。
(二)对策略教学过程的三维透视。
1.联系生活，感悟策略。在实际的教学过程中，我们要紧密联系学生的生活实际，创设出一些能够激发学生学习兴趣和问题意识的问题情境，让学生置身于策略发生的良好开端。
2.注重建构，形成策略。(1)首要条件。建构策略的首要条件就是要善于激活学生已有的生活、学习经验，要让学生对课堂上提供的信息进行有效的数学化处理。而对信息进行有效的数学化处理本身就是一种重要的策略，通过对这一策略的体验，可以让学生切实感受到“根据要解决的问题，收集并整理相关的信息”有利于解决问题的需求，初步形成用策略解决问题的意识。(2)体验策略的“多样性”和“交叉性”。在“解决问题的策略”的教学中，由于每一个学生都是有差异的，都是不同的生命个体，都有着不同的生活、学习背景和不同的学习积淀，在面对同样的一个数学问题时，学生往往可能会依据其自身的情况和不同的思考角度使用不同的策略来解决同一问题。教师在策略建构的过程中应该充分尊重学生的这种有差异的思维方式，为学生体验解决问题策略的“多样性”提供展示的舞台，让学生互相交流、讨论、评价。(3)摈弃过程中的“非本质问题”。策略教学中的“非本质问题”很多。其中一个最大的问题就是教师在教学中不自觉地偏离“解决问题的策略”的目标，回到“解决问题”的轨道上，没有对解决问题过程中所运用到的一些策略进行交流和理性的分析与提炼。另一个教学中的问题是在教学的过程中会不自觉地过分关注计算，忽视了对策略的建构和提升。
3.回归思想，优化策略。在“解决问题”的过程中，由于数学思维的多样性，展现出来的是解决问题策略的多样性。所以要在学生充分体验策略的基础上，加强对策略的比较、优化和反思，使学生停留于经验层面上的策略认知水平达到精加工状态，将有利于学生将各种策略不断数学化和模型化，从而形成对解决问题的策略的本质理解，让学生获得更有力度、充满张力的数学基本思想和方法。
三、活用策略——提升对“解决问题的策略”的理解
一、“解决问题的策略”教学之根：彰显策略的优越性
解决问题的策略有很多，每一种解决问题的策略在解决某一类问题时都有其它策略所不可替代的优越性。因此，教师首先要研究所要教学的策略在解决哪些问题时才能彰显其优越性，巧妙设计问题情境，引领学生在解决问题过程中用心体会策略的优越性，突出策略学习的重要性。
例如我们在教学“列表整理”的策略时，可以创设一个有多余条件的较复杂的购物情境图（如下图），让学生感到条件比较多、比较“乱”，一时理不清头绪，需要借助列表摘录与问题相关的条件，帮助自己理清所求问题和条件之间的对应关系，以排除与问题无关的条件干扰，使要求的问题和条件之间的数量关系更加明朗化、清晰化。让学生产生学习“用列表整理”的心理需求。这样，学生在用列表整理的实践过程中，不仅学会了用列表整理的策略来解决问题，而且深切感受到该策略能够帮助他们有序处理信息，减少思维干扰，为顺利解决问题理清了思路。
二、“解决问题的策略”教学之源：凸显策略的应用性
解决问题的策略是在解决问题过程中逐步总结、提升而最终积累形成的，是解决问题背后的实践智慧，需要学生在解决问题的广泛实践应用中逐步学会灵活应用策略。
首先，教师要尽可能让学生亲身经历策略的形成过程，弄清策略的来龙去脉，知道在哪些情况下用什么策略能比较便捷地解决问题，在多样化实践应用中掌握如何才能灵活地使用策略解决问题。例如我在教学“倒推”的策略时，通过走迷宫、翻牌游戏和例题的教学，使学生认识到，我们在遇到知道“现在”，追溯“原来”或正向思维解决问题有困难的时候就需要用倒推或倒过来想的策略；再通过解决一系列实际问题，让学生感悟到，运用倒推策略要从“现在”依次逆序地推向“原来”，中间不能跳跃。
其次，教师要尽可能展示所学策略在学生学习、生活乃至政治、经济、军事、科技、工农业生产等各个领域中的广泛应用，帮助学生获得多方面的活动经验，体验到策略来源于生活，又广泛应用于生活，增强策略学习的必要性。例如，我们在教学“转化”的策略时，可以引导学生进行广泛的交流研讨：在以往的学习中，我们在哪些地方运用了“转化”的策略？在生活实践中，我们在哪些地方运用了“转化”的策略？让学生通过研讨，深切感受到“转化”的策略不仅应用于我们数学知识的每一个板块，无论是小数、分数乘除法等“数与代数”知识学习，还是平行四边形、三角形、梯形面积计算和圆柱、圆锥的体积计算等“图形与几何”知识学习都要用到“转化”的策略；而且应用在我们生活的每一个领域，例如我国政府应对世界经济危机所采取的“家电下乡”政策，在军事上“声东击西”的战略，在工农业生产中求不规则酒瓶的容积、测量一棵大树的高度等都用的是“转化”的策略。让学生体验策略应用的广泛性，增强学习策略的必要性。
三、“解决问题的策略”教学之魂：渗透策略的文化性
德国教育家第斯多惠说得好：“教学艺术的本质不在于传授知识，而在于激励、鼓舞和唤醒。”在“解决问题的策略”教学中，教师要千方百计让学生在策略学习过程中品味到策略对于人的实践智慧乃至生命质量的提升价值，真正做到用数学自身的魅力吸引学生，激发他们学好策略的内在动力，唤醒他们心中的巨人。
例如我们在学完“倒推”的策略，可组织学生列举“倒推”的策略给我们生活带来巨大变化的实例：詹天佑运用“倒推”策略发明了“人”字形火车线路，牛顿运用“倒过来想”的思维发现了万有引力定律……在彰显“倒推”策略巨大实用价值和应用广泛性的同时，也展示了“倒推”策略对于人类智慧提升、科技进步和社会文明所发挥的巨大作用。教师可适时总结：“看来，‘倒推’这种解决问题的策略，不仅可以使很多问题得到顺利解决，引发许多发明发现，还可以发展我们的逆向思维，让我们变换思考问题的角度，变得更灵活，更聪明，更富有创造性。我们的生活也因此会变得更美好，更有趣，更丰富多彩，人类会变得更文明。”
策略的丰富内涵蕴藏于具体情境，只有在解决实际问题时，学生才能亲身经历如何把现实问题提炼、转化为数学问题，并在这一过程中全面理解数学策略的内涵.在导入用替换的策略解决实际问题时，首先出示两幅天平图：一幅图天平两端分别是1个苹果和2个橘子，另一幅图两端分别是1个苹果、3个橘子和300克的砝码，引导学生观察思考：1个苹果的质量和1个橘子的质量之间有什么关系？根据两幅天平图，怎样求出1个苹果和1个橘子各重多少克？学生初步尝试替换”之后，再让学生欣赏曹冲称象”的故事录像.
整个导入过程让学生从直观的天平图，到推理计算，激活了学生头脑里已有的生活经验，为下面的探究过程做好了心理准备和认知铺垫.这一过程不仅体现了替换”的价值，更突出了适用替换”策略的问题模型.
二、自主探索，生成策略
解决问题策略的产生，都必须以观察、思考、猜测、操作、交流、推理”等富有思维成分的活动过程为载体.因为解决问题的能力是思维能力的核心，问题解决的过程体现了学生对数学知识的再创造过程，学生解决问题能力的形成与提高有赖于他们主动参与学习的程度.鉴于此，在教学过程中，我们应给学生搭建思维的脚手架”，让学生真正经历解决问题策略的形成过程，在生动直观的数学活动中领悟替换策略的内涵.比如替换”的教学，先让学生自主分析数量关系，促使学生尽可能地调动已有的经验，运用已有的解题策略去尝试解决问题，使学生对自己的策略是否可行有初步的估计和体验.接着，在师生交流中逐步深入地掌握替换策略的运用过程.最后，教师用简洁明了的板书呈现替换的过程.这一过程符合学生的认知规律，同时也体现了数学教学是数学活动的教学”，师生在操作、思考与交流中建构数学模型.
同时，在学生的操作过程中，注意引导学生不断进行思考：刚才解决问题时，大杯和小杯为什么要替换？使用替换这个策略有什么好处？替换前后数量关系有何变化？从而使学生明确：替换的目的就是把两种量与总量之间的复杂数量关系转化为一种量与总量之间的简单数量关系.这样充分的交流，本质的提炼，思维的碰撞，进一步激起了学生的心理冲突，为形成富有理性的数学思考积累了经验与感悟.在学生自主探索的过程中将动手操作与数学思考结合起来，既认识到替换策略的必要性，更认识到替换策略的合理性，从而促进了学生对替换策略的深刻建构.
三、回顾类比，感悟策略
策略的有效形成必然伴随着对自己行为的不断反思.在教学过程中，及时引导学生对解决问题的过程进行反思，有利于提高学生对自身形成策略过程的认识，也更加有利于学生对策略的进一步理解.在本课教学中，作者先后三次引导学生及时反思，使学生进一步感悟策略、提升思想.第一次反思安排在例1教学结束时：解题过程中用到了什么策略？为什么要替换？刚才我们替换的两种不同的量之间有什么关系？两种量有倍数关系时我们是怎么替换的？替换的依据是什么？替换之后数量关系有什么变化？把这些问题抛给学生去思考，一方面让学生再次回顾替换的思考过程，更重要的是让学生明确替换的真正价值在于使问题简单化，这是一种重要的数学思想.在学生对两个相差关系的数量进行替换后引导学生进行第二次反思：为什么同样是替换，总量一个要减，一个却要加呢？为什么我们做这两题时总量都要加或减一个数，而前面（指例1）为什么不要？让学生在比较反思中内化已有知识的结构，明确倍数关系、相差关系两种不同类型的替换特征，在变与不变中让学生探寻联系，感受到数学的规律美.
四、练习巩固，提升策略
数学教学的真正价值在于让学生发现生活中的数学问题，并能运用所学知识去解决问题.在学生初步形成策略基础上，教师要精心设计练习，问题情境要丰富，练习要有层次，呈现方式要多样，这样可以使学生在解决问题的过程中体验策略解题的优越性，培养学生自觉运用策略解题的意识.练习可分为三个层次：一是模仿性练习巩固，在学习完倍数关系和相差关系的替换后分别安排同样类型的替换，及时巩固新知；二是变化性练习巩固，练习的设计可抓住替换的依据进行变式，由小杯的容量是大杯的三分之一”改变为大杯的容量是小杯的2倍”，再改变为大杯的容量比小杯多40毫升”等，让学生分别进行替换策略的巩固.既避免学生机械照搬模式，又培养了学生分析问题和灵活运用知识解决问题的能力；三是综合性练习巩固，在学习完两种类型的替换后，进行综合练习，让学生在练习中辨析比较，根据问题的特点灵活运用替换的策略解决实际问题，逐步使学生对替换的策略达到深刻理解和娴熟运用，从而达到提升数学思维水平的目的.
一、在典型问题中强化
从广义上讲，数学教学应以解决问题为中心，数学学习实质上是解决问题的过程。但是，重视解决问题策略的渗透并不是说每节课都要有解决问题策略渗透的目标，关键是要抓住典型问题及时强化策略教学。如苏教版教材从四年级上册开始，每册安排一个单元，相对集中地介绍基本的解决问题策略，而北师大版教材只在六年级下册总复习中安排了解决问题策略的教学内容，是不是北师大版教材不重视解决问题策略的渗透？其实不然。北师大版教材中有许多典型问题的教学，可以且必须将渗透解决问题的策略作为重要的教学目标之一。因此，教师要精心研读教材，明确有哪些典型问题。
首先，要以“综合与实践”为载体。北师大版教材中每册都有一至三个以情景串联的综合实践问题，如“交通与数学”“时间与数学”“旅游中的数学”“数学与生活”“数学与体育”等。例如，北师大版教材中最典型的问题就是“求比赛场次”，该问题分别在三年级下册“体育中的数学”及六年级上册“数学与体育”的两次综合实践活动中出现。前者主要借助解决“比赛场次”的实际问题，体会画图、列表、图解等解决问题的策略；后者要求在上述基础上进一步发展，主要发现解决“比赛场次”问题中蕴涵的规律。如球队增多，还用画图求解将极其繁琐，可引导学生以退为进，简化数据，从特例中寻找此类问题的求解规律，这里渗透了数学学习中非常重要的解决问题的策略——简化。华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方是学好数学的诀窍。”这就说明了简化策略的数学魅力。
二、在亲历体验中探究
解决问题策略的教学是数学活动过程的教学，重在领会应用，离开教学活动过程，解决问题策略的渗透就无从谈起。可见，在探究活动过程中，学生的参与非常重要，没有参与就没有对策略的体验，没有体验解决问题的策略就无从谈起。在学生探究新知的过程中，教师如果能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在对问题进行观察、分析、归纳、抽象、概括的过程中发现知识背后隐藏的策略，并注意结合具体环节指导学生领悟这些策略，那么学生所掌握的知识才是生动的、鲜活的。因此，亲历体验，在探究过程中形成解决问题的策略非常重要。
例谈：画图的策略如何让学生体验有效？
新课程实施到今天也更加证明，要让学生清晰地发现题目中的数量关系，传统的画线段图策略、数形结合的思想方法必须得以借鉴和传承，通过结合图像的形状、位置及相互关系等弄清所研究问题中隐含的数量关系来解决问题。如教学“连除应用题”时，教师出示了这样一道例题：“有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个桃子？”请学生尝试解决时，教师要求学生在正方形中表示出各种算式的意思。学生经过思考交流，出现了各种精彩的解答。
生1（出示右图）：30÷2÷3，即先平均分成2份，再将其中的一份平均分成3份。
生2（出示右图）：30÷3÷2，即先平均分成3份，再将其中的一份平均分成2份。
生3（出示右图）：30÷（3×2），即先平均分成6份，再表示出其中的1份。
……
教师要求学生在正方形中表示解题思路的方法，是在画线段图基础上的演变和创造。因为正方形是二维平面图形，学生很容易地表示出小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。这一探究过程让学生不仅解决了问题，而且充分体验到通过画图能让抽象的数量关系、解题思路形象地外显，非常直观。另外，根据不同的问题，画图策略既可以让学生画示意图，也可以画线段图，还可以画集合图。
三、在反复练习中提炼
在数学教学中，解决问题是最基本的学习活动，也是策略获得的过程和应用过程。任何一个问题，从提出到解决，需要某种具体的数学知识，但更重要的是依靠解决问题的策略。学生练习时，不仅能巩固和深化已经掌握的数学知识与解决问题的策略，而且能从中归纳出“新”的解决问题的策略。所以，教师可通过正例、反例、变式等练习方式，从不同的问题情境中引导学生逐步体会、领悟策略运用的条件，形成解题直觉，达到心理学说的反省认知水平。
例谈：转化策略如何渗透？
四、在循序渐进中巩固
一种策略的形成要比一个知识点的获得来的困难得多，所以教师要不断进行策略的渗透，并循序渐进地引导学生经历解决问题策略的形成过程。同一个解决问题的策略，要不断强化学生的认识，让学生经历“感受——认识——形成——内化”四个由低到高的层次，逐渐从察觉到明朗再到自觉运用。
例谈：画图策略如何循序渐进地进行渗透？
画图是一种非常重要的策略，它伴随着整个小学六年的数学学习。在该策略的应用过程中，可把问题转化成具像图（实物图）、线段图、平面图形、立体图形、网络图形等。对于低段学生，教学中常采用更加具象的实物图或二维的平面图形引入，让学生初步感悟画图策略；对于中段学生，常采用线段图帮助学生分析，鼓励学生自主画图，使学生逐步明朗这一策略；对于高段学生，使他们明白在解决较难的问题时，除采用线段图外，还可以采用网络图、集合图等，并检查与评价学生能否自主运用策略解决问题。这样，随着解决不同问题的机会增多，隐藏在知识背后的策略就容易被学生发现与注意，并领悟其内涵。
再谈：用方程解的策略如何循序渐进地进行渗透？
五、在综合应用中沟通
一理清问题
弄清题意也就是让学生通过探索、分析，明确题目的大概含义。小学教材中常见的方法有：
1.建立列表
在解决简单的实际问题过程中，列表也是一种常见的分析方法。用列表的形式，将问题的相关信息集合在一起，可帮助学生整理信息、分析数量关系，无疑是一条解决问题的捷径。教学过程中，教师要指导学生根据问题设计出相应的表格并将有关数据信息填入表中，通过分析数量关系，探索解决问题的策略。表格的引入，通过锻炼学生自主整理信息的能力，巧妙渗透对应思想，将知识点更好地呈现在学生面前，使学生意识到列表整理在解决问题策略中的重要性。
2.合理简化
数学课堂会遇到比较复杂的问题，在分析问题时可以用简化的策略，去掉一些无关的因素或多余信息，化繁为简，减少解决问题时的干扰因素；也可以化大为小，把大问题分成几个小问题，使问题内部各成分的关系更清晰。如“解决问题的策略”可将过程环节简化成流程图，去除冗杂无用的信息和非本质的语言描述，简化题目的本质内容，使得解决策略一目了然。
二制订计划
解决数学问题需要尝试使用有效的策略，小学生思维发育不完善，策略性知识的形成与培养需要教师精心的设计与指导。不仅要进行获取多种分析策略方法的指导，还要对学会运用策略解决各种问题进行指导。具体做法，首先，要引导学生在学习过程中摸索策略。解决问题策略的指导除了传授策略的名称或简单地讲解策略外，更重要的是在整个过程中让学生学会如何分析问题，如何独立地去寻找到有效解决问题的策略。以还原策略为例，教师不能简单地告诉学生名称，要积极引导学生独立分析并画出流程图，可顺着题目的意思进行正面的推理，也可以从结果中逆向地寻找答案，充分调动学生的主观能动性。其次，对同一策略要反复练习，直至学生能够灵活运用。既要抓住教材中的例题，做好基本功，又要防止学生机械模仿，对练习题型进行适当的变化，让学生可以做到举一反三。如“长方形的面积”一节，例题是花圃的长是10米，宽增加5米，面积增加50平方米。但是在课后的练习中，长和宽同时增加了，面积也增加，这样与课本中的例子有所不同，学生可以自己画图进行比较、分析，从而摸清规律解决问题。
三实现计划
分析法和综合法是保证计划实施的两种有效途径。分析法是从问题的角度分析数量关系，综合法是从条件的角度。这两种方法是小学生学习数学时常用的思维方法，锻炼了学生的灵活性，更好地构建数学模型。动脑思考便于优化解题策略，两者相辅相成，解题策略的正确使用同样也离不开正确的思考方法。小学生个体差异较大，一些后进生虽然能解答对应用题，但不一定能正确地理解每一个步骤。教师应正确地引导学生分析题目，确定解答步骤、每一步骤需要解决什么问题，对于解答不了的，教师需要耐心指导。以解题步骤为纬，以探索策略为经，让学生脑中形成相应的数学模型，是解决问题教学的必经之路。
四反思评价
课堂教学中，还要注意解决问题后的回顾学习，总结在学会解决问题过程中对所用的策略、反思中学习，发展学生的思维。反思问题常常不被老师重视，但它又是发散数学思维的一个重要方面，所以在教学中应让学生在解决问题后反思解决问题的整个过程，以及运用的策略和方法，使解决问题的策略得到不断加强并获得成功的情感体验。教师的评价对激励学生参与活动、提高学习质量、提高动手能力有着十分重要的作用。对学生小组合作成果的展示和评价的过程其实也是提高学生认识的过程、互相交流的过程。评价时，对于好的现象，多鼓励、多表扬，对于发现的问题要及时纠正，不能放任自流。
五练习巩固