教师在使用备课组下发的教学活动设计时，往往会进行二次备课，对教学活动设计进行优化，以便适合学生．那么，教师优化活动设计的起点和落点是什么？笔者带着这样的问题参加了组内的一次公开课活动．
本次组内公开课的课题选自高中数学(苏教版)选修2―1中第2.4.1“抛物线的标准方程”，共开设了两节课，两位教师将备课组的教学活动设计进行了部分优化，教学形式采用县域推广的活动单导学模式．
一、备课组的教学活动设计
高二年级数学备课组事先组织教师拿出了一份教学活动设计，方案如下：
活动一创设情境，感受数学
问题1：回忆生活中、数学中遇到的抛物线．
问题2：怎样检验所得的曲线是不是抛物线？
问题3：如何研究抛物线？
活动二小组合作，建构数学
问题4：如何建系？尝试建立抛物线的方程．
问题5：自己设计一个表格，系统研究抛物线标准方程的四种情况？
问题6：思考抛物线与椭圆及双曲线之间的联系和区别是什么？
活动三应用体验，感悟数学
例1求抛物线y2=4x的焦点坐标和准线方程．
例2求经过点P(-2,4)的抛物线的标准方程．
活动四对话交流、实现共享
问题7：归纳出本节课所学到的知识.
问题8：体会本节课中涉及到的数学思想、方法？
设计意图：从学生生活中所熟知的抛物线模型出发，设计成问题串，激发学生的学习兴趣和需要，再通过独立思考、小组合作等手段来解决学生的疑惑．教师在每个活动开展的过程中进行适时的点拨、引领，帮助学生理解数学，让学生在问题解决过程中学会思考，建构数学．
二、课堂活动方案分析
两位教师的课堂活动方案分别记为案例A和案例B，下面对两个活动方案优化的部分作一比较和分析．
在教学活动中，两位教师主要在活动一和活动二上体现出了不一样的处理．
1.活动一的处理
案例A：严格按照活动一展开教学活动．在学生尝试回忆、做出回答后，教师打开投影仪展示了从网络上收集的一些有关抛物线模型的图片，比如手电、拱桥、喷泉、平抛运动等，并在图片上用彩笔画出抛物线的示意图．在活动处理过程中，教师进行了适时点拨．
案例B：在学生回忆遇到的抛物线后，让学生进行了一次手工实验操作，题目选自高中数学(苏教版)选修2―1第54页第14题．学生通过动手操作，观察折痕围成的轮廓，感受抛物线的具体形状，说出抛物线的名称．课堂气氛活跃，整个班级的学生都被调动起来了，然后教师再抛出问题，怎样从数学角度说明曲线就是抛物线．
两位老师的引入方式不一样，一个通过投影将图片展示给学生以直观感知，另一个则通过手工操作给学生直接感受．案例A中的学生在熟悉的抛物线图形与数学中的抛物线之间产生疑惑，产生了想用抛物线的方程来解决问题的需求．不同的是案例B的实践操作给学生的感受是数学与现实之间的碰撞，用一张小小的纸片就能折出抛物线的模型，给学生留下比较深刻的印象．学生通过数学实验，对数学有了真实的感受，他们可以直接触摸数学．当学生向别人展示实验现象时，他想解释清楚为什么，这种需求激发着学生去思考，同时也激发了学生不断探索的热情．
2.活动二的处理
案例A：在学生回忆出抛物线的定义后，教师使用几何画板进行了演示，要求学生认真观察、独立思考，写出观察到的现象，并在小组内交流．学生们归纳得出抛物线具有对称性、抛物线的顶点是焦点与焦点在准线上射影的中点、过焦点与准线垂直的直线是抛物线的对称轴等几个基本性质．接下来教师引导学生思考建立抛物线方程的几个环节，着重在建系上下功夫，提醒学生采用类比的思想．教师又借助几何画板的旋转功能将抛物线旋转了几种特殊位置，学生根据观察，提出借助建系方案．最后由学生分组求出不同的标准方程，教师指导学生整理归纳．
案例B：教师从尺规作图的角度提出如何根据抛物线定义画出抛物线的图形．学生根据描点作图的方法，很快给出作图的建议，教师和学生一起完成的抛物线的作图．接下来，教师要求学生独立分析图形的性质,并根据性质独自尝试建系，求出抛物线的方程，小组合作后集中展示．
案例A使用几何画板的动态展示，让学生对抛物线的开口方向、开口大小有了感性的认识，对于各种形态下的抛物线有所感知，利于学生从整体上把握知识，利于知识的建构．不足的是教学貌似学生探索出抛物线的方程，实际上是教师替代了学生的思维，学生的主体性未得到充分彰显．案例B则用描点法作出抛物线的图形，较案例A稍显平淡，但是教师在学生建系的过程中，用充足的时间让学生独立思考，尝试建系，并在小组内进行深入探究，这样学生的思维需求、表达需求得以满足，学习的经历也比较深刻．
关键词：教育O2O模式；个性化教学；应用型本科院校
中图分类号：G4
文献标识码：A
doi：10.19311/ki.1672-3198.2017.03.078
在信息化高速发展的今天，互联网已经融入到生活的方方面面，学生能接触到的信息量越来越大，体现在学生个体和各个层面学生群体的个性化趋势越来越严重，传统的教育教学模式已不能适应这种个性化发展的变化，这种形式下需要一种新的教育教学模式，否则很难达到良好的教学效果。教育O2O模式作为一种将线上教育和线下教育相融合的新型模式，在个性化教育教学中有着较好的优势，将其应用于应用型本科院校教育教学，给高校教育带来了新的契机和方向。
1教育O2O模式在应用型本科院校个性化教学中应用的意义
2015年两会期间，总理在政府工作报告中提出“互联网+”行动计划，要求高等教育也要与时俱进，要充分利用“互联网+”资源，对现有教育资源重构及优化利用，这给应用型本科院校的教育教学带来前所未有的机遇和挑战。近年来在线教育发展得非常快，国外的“可汗学院”、MOOC的出现都将在线教育推向了高潮。但纯粹的在线教育存在许多的不足，比如：在线学习的参与率、完成率、互动、反馈等方面。究其原因，学生在缺乏有效引导下的自主学习还存在很大的困难。线上的学习虽然可以教给学生知识，但对学生遇到的问题如何解决以及面对面沟通交流的缺陷等问题都让在线教育遇到了瓶颈。
在越来越多的批评质疑声中，一种结合线下教育与线上教育的新型教育模式应运而生。这种新型的教育模式通过线上与线下的融合，彼此优势互补，“从线上到线下”或者“从线下到线上”甚至两者融合交错不分彼此，这就是教育O2O模式。
因材施教是顺应时展的教育理念，个性化教学方法与教育O2O模式的结合给有个体差异的学生的教与学提供了一定的参考价值。尤其是应用型本科院校的学生，在动手操作方面因其个体差异导致传统的教学无法很好的满足教学需要，探索将教育O2O模式应用到应用型本科的日常教学中，实现学生的个性化教学是对现代教育模式变革的有力促进，是对处于变型时期的传统教育的补充和完善，有效的促进了个性化特征鲜明的现代学生的学习需求。
2教育O2O模式在应用型本科院校个性化教学中的应用
2.1教育O2O的个性化教学模式
教育O2O模式是对传统教学模式的一种改进。教育O2O模式分为线上和线下两部分，两部分相互交错，实现了线上和线下教育的相互融合，有利于个性化教学的应用。
2.1.1教育O2O模式的线上部分
在教育O2O模式的线上部分通过在收集的学生在线下的学习状况，分析现有教学的不足，依照不同学生的个性化特征及需求，设计其适合个性化需求的自学资料。使学生能够在课后找到适合于自己的学习资料，随时随地学习，及时查漏补缺，这也大大增强了学生自主学习的能力，提高了学习的兴趣。同时，针对个性化的自学资料，同时也应配备对应的学习资料的测试资料，通过线上的测试来考核学生自学的效果。并对测试的结果进行分析，尤其是测试中重复出现错误的问题和大部分学生容易出错误的知识点，在线上以讨论的形式为学生们进行讲解。同时在线下课堂授课的时候也σ状淼闹识点进行巩固和加强，加强学生对知识点的理解。在制定下一步的教学计划时，应结合前面所反映的问题及学生反馈的学习需求，以及当下的社会需求和形式，这样学生才能学有兴趣，学有所得。
2.1.2教育O2O模式的线下部分
在教育O2O模式的线下部分不再是以老师讲为主，学生听为辅的传统教学模式。在课堂上教师主要采用引导式的教学方法，以学生提问为主，教师主要是答疑解惑，师生之间以相互讨论的方式激发学生思考问题，提高学习兴趣，达到主动学习的效果。在这个过程当中，教师在课前备课应做好充分的准备，收集相关资料，做好把控课堂的能力。学生在课前应根据教师布置的课堂任务在线上进行学习，然后带着问题进入课堂。
这种对传统教学模式的改进，对教师和学生都是一个挑战和进步，在这种模式下教师的教学和学生的学习都不再仅仅局限于教材了。教师充当的是导师的角色，通过布置任务方式确定教学学习的方向，学生根据需要在线上通过自己的自主学习去完成任务。课后学生的线上在线学习不仅仅可以通过教师提供的教学资源，还可以利用其它的互联网资源来扩充自己的知识面。但学生在自主学习过程中，最大的问题就是学习中怕遇到拦路虎，有些学生对遇到的问题没有及时解决，后面的问题就会越积越多，到最后就容易出现厌学情绪。教育O2O模式下，学生在课后线上学习中遇到的问题可以及时通过线上平台找老师寻求帮助，或者可以将问题到网上，也可以将问题带到课堂上和同学们讨论，加深印象。
2.2教育O2O模式的个性化线上平台的构建
构建适合高校发展的教育O2O模式，是将线上教育和传统教学深度融合的创新教育模式，能较好的实现教育个性化教学。在这种模式下，需要以现有的信息化基础硬件设施为依托，信息技术为手段，构建具备优势教育资源的线上平台。教育O2O模式的个性化线上平台的构建能有效的将线上的教学资源提供给教师和学生，并借助于线下教室的课堂授课等形式确保教学知识点与线上教学资源一致性。同时，教师和学生也可将线下课堂的教学场景及内容通过视频、图文等形式上载到线上平台上，并实现线上学习交流、问题反馈等互动环节。
线上平台是一个集合了网络课程、大数据和工具有机结合的组织系统，在这个平台上教师和学生的角色不是固定的，每个人既可以是学习者，又可以是教师，通过角色互动，充分实现合作学习。通过在这个平台上的学习，不管是学生还是教师都能从中得到进步。
线上平台的建设模式需要从“供给思维”转向“需求思维”，也就是不再是直接根据教材定内容，而是根据学生的学习需求来确定教学资源内容。线上平台资源库的建设关键在于教学的应用，资源库的教学应用设计应该以学生为中心来进行课程设计，通过调查了解学生个体学习进程，制定适合于学生的个性化学习内容，实现因材施教的学习模式。教学资源的内容可通过文字、图片、PPT、FLASH、应用软件、视频等多种形式来展示，使其更吸引学生学习，提高学习兴趣。“微课”作为目前一种应用比较好的线上教学工具在高校悄然兴起。这种线上教学工具操作简单方便，教师只需要有摄录设备或者录屏软件，即可设计或录制完成教学视频课件，并将视频课件上传到线上。学生通过登录教学平台就能进行在线学习，视频课件可暂停也可以反复播放，满足了学生的个性化学习需求。另外针对在线学习过程中的问题，学生可以随时在教学平台上提出，教师也可针对微课里的重点、难点进行提示，答疑。
教育O2O模式在应用型本科院校个性化教学中的应用，很好的将教师的教学与学生的学习融合在了一起，学生能够在课后随时随地线上学习，教师也能在课后线上答疑解惑，课堂的教学再也不是传统的教师在讲台上讲课，学生在台下听课的模式了，教与学的充分互动，提高了学生学习的兴趣和自主性。
3教育O2O模式在应用型本科院校个性化教学中应用的问题
以教育O2O模式为理念的教育平台的应用，满足了学生的个性化学习，为各高校及教师的教学提供了一定的参考价值，但目前在应用过程中，还有以下几个问题：
（1）教育O2O模式在应用型本科院校个性化教学中需要转变教师平时的教学模式。教师在平时就需要花费大量时间上进行课后备课上课，在信息化教学需要下，教的上课、备课方式都需要改变，而且还要在线上上传教案、课件等资料。这对教师来说无疑增加了很大的工作量，因此如何将信息化教学和线下课堂教学的时间进行合理的分配有待探讨。
（2）虽然在线教育早就已经在国内各培训机构早有应用，国外许多高校也有采用，但将教育O2O模式进入应用型本科院校的日常教学还是一个全新的探索，教师和学生在这方面缺乏相应的信息技术基础知识和操作技能，需要对他们进行相应的培训，培养教师和学生的网络教学及学习兴趣。学校方面必须考虑如何投入一定的师资、财力物力来有效地解决这个现实问题。
参考文献
[1]常娜，曹辉.“互联网+”背景下O2O教育生态圈及其建构[J].教育理论与实践，2016，（11）.
[2]王琴.浅谈O2O模式在高职教学中的应用[J].时代教育，2016，（09）.
关键词：圆锥曲线；思想方法；基础知识
圆锥曲线知识是平面解析几何的重要内容，椭圆、双曲线以及抛物线历年来都是高考必考的知识，也是高考考查的重点知识之一。从多年的教学和高考复习过程来看，学生对圆锥曲线内容的学习和掌握程度不是很好，无论是知识的习得，还是问题的解决以及思想方法的应用都存在着一定的困难，追溯产生困难的根源，就是教师在教学中忽视的一些细节，学生在学习中没有掌握基础知识和基本思想方法。
一、重视圆锥曲线概念教学
比如，在椭圆的概念教学中，首先，展示生活中的椭圆的实例，人造卫星运行轨迹、盘子等，使得学生直观感受数学源于生活又高于生活。其次，通过学生亲自动手操作实验画“椭圆”，展示学生画出的椭圆，然后总结图像的特征，给椭圆下定义。因此，对概念的内涵和外延把握不准确，从而导致在解决问题时就会出现解题思路受阻、错解等现象。例（教材第42页练习题3）已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点。
（1）求AF1B的周长；
（2）如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？
当AB垂直于x轴时，是一种特殊情况，对于概念不熟悉的同学，先求解了A、B两点的坐标，利用勾股定理求出F1A、F1B，进而求出三角形的周长。第二问中当不垂直于轴时，学生就束手无策了。在提示下，学生可以将AF1B的周长拆分成AF1+AF2+BF1+BF2，利用定义就可以转化为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=20.
二、酌情处理圆锥曲线方程推导
圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线的本质特征，利用解析法将曲线上满足动点的代入，由曲线和方程的关系，求出圆锥曲线方程。事实上会发现，在圆锥曲线方程推导过程中学生对代数式的处理能力较弱，一是出现化简方向上的思维障碍，二是不能准确进行代数运算，即学生代数运算能力偏弱。数学问题的解决离不开推力计算。因此，在学习过程中要有意识的训练学生，但是也要注意难易程度的控制，不要刻意的训练偏、繁、怪的计算，注重算式的推理计算，思维逻辑推理运算。
三、准确理解圆锥曲线的性质
结合圆锥曲线的方程探讨圆锥曲线的性质，利用圆锥曲线的性质解决圆锥曲线的问题。准确理解圆锥曲线的性质是解决圆锥曲线问题前提，比如，在圆锥曲线的问题中以标准方程来研究性质的，因此，在拿到圆锥曲线方程时先将方程代数变换为标准方程，确定方程中的参数，准确理解椭圆的顶点，长轴和短轴，长轴长和短轴长，长半轴长和短半轴长等定义，准确确定这些参数的取值，双曲线的顶点，实轴和虚轴，实轴长和虚轴长，实半轴长和虚半轴长，渐进线方程等概念。注意区分椭圆与双曲线中a、b、c的数量关系。圆锥曲线离心率的取值范围等。
四、注重数形结合方法在圆锥曲线中的应用
考试大纲对圆锥曲线的要求是理解数形结合思想方法。事实上数形结合思想方法是数学中的一种重要的思想方法，如果能顺利实现数与形的合理，就会使得一些抽象的数学问题形象、具体、简单，当然，这种转化必须要有一定的数学素养作为基础，比如，基础的数学概念、公理、定理以及重要的结论等，这些都是实现数与形顺利转化的前提。
五、合理控制试题难度，重视基础知识
比如，求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程；双曲线的离心率的问题；直线与圆锥曲线的综合考查圆锥曲线的性质等问题，难度适中。在解答题中，第一小问主要考查圆锥曲线的方程，离心率等问题，第二问通常考查直线与圆锥曲线的综合问题，涉及定值、最值、恒成立、参数范围确定等问题，有一定的难度，有时在这一问设置难度，充当压轴题的角色。
六、酌情介绍圆锥曲线的定义
教材中，阅读与思考内容给出了圆锥曲线的统一定义：已知点是平面上的一个定点，l是平面上不过点F的一条定直线，点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e。统一定义中随着的变化，曲线的属性也随之变化，当时，轨迹是椭圆，当0
圆锥曲线内容抽象，性质也因曲线的不同较为复杂，所以学生对这部分知识不容易理解和记忆，那么在教学过程中就要做到心中有数，根据学情设计教学，让学生学有所得，不盲目追求难度和高度，注重基础和过程，加强学生数学素养的教育。
关键词：案例教学法；多元函数；极限
中图分类号：G642.41文献标志码：A文章编号：1674-9324（2012）04-0039-03
高等数学教学是培养高等人才基本素质的重要组成部分，也是很多专业课程的学习基础，但高等数学的学习内容逻辑性强，实用性相对较弱，对于非研究型的高职学生来说往往兴趣不大，教学难度也较大。案例法教学是一种理论与实践相结合的教学方法，案例不仅能够诠释某个具体原理，而且有助于学生加深对学习问题的理解，发展学生的创新精神和实际解决问题的能力和品质。在高等数学教学中引入好的案例，一方面能引起学生的学习兴趣，另一方面也有助于学生理解相对深奥的数学概念。好的案例取样通常来源于实际生活，并且不是为了数学而数学，这样的案例选取往往是教学的难点，比如高等数学中多元微积分中的多元函数极值，就是一个比较抽象的概念，教学中很难找到合适的案例，学生在学习过程中往往很难理解这样的概念在实际生活中的应用，教师的讲解就相对比较枯燥。本文借用2010年全国大学生数学建模竞赛C题，提炼了一种利用多元函数极限进行建模求解的方法（当年C题点评和优秀论文中均未见有使用极限方法的），供广大数学教师做教学参考。
一、问题的提出
2010年全国大学生数学建模竞赛C题是一个输油管的布置问题，题目要求在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，如下图所示，A、B是炼油厂，H是车站，CD是铁路线，AP、BP、PH是输油管，其中AP、BP为非共用管线，PH为共用管线，P为共管点。油田设计院希望建立当共用管线与非共用管线费用不同时，管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
二、问题分析
图中车站H的位置是不固定的，但一定要建在铁路线CD上；共管点P的位置也是不固定的，但由问题需要求解管线建设费用最省可知，PH一定垂直于铁路CD。建立上图所示直角坐标系，C点作为原点，通过前面的分析，可假设?摇H（x，0），P（x，y），显然x，y均为未知，且x≥0，y≥0。
共用管线显然不是必须的，当共用管线的费用比较高时，比如共用管线费用超过非共用管线2倍，显然没有共管的必要，换言之是否需要共用管线，取决于共管费用与非共管费用之比。本文假设非公用管线的费用为1，公用管线的费用k，即共用管道的费用为非共用管道的k倍。对于油管布置的总费用来说，即使共用管线的费用不到非共用管线费用的2倍，A、B到车站距离之和上图也不是最短的，
三、极限的求解法
由问题分析可知，共管点P（x，y）应落在ABCD区域内，当P落在铁路CD上时，PH=0（P与H重合），即没有共用管线。没有共用管线时，管线建设费用最省问题实际就是管线最短问题，此时可以假设P（x0，0），具体见下图。
假设Z1表示没有共用管线时的建设总费用，根据前面假设非公用管线的费用为1，即有：
Z1=■+■（1）
（1）式为关于x的一元函数，假设x0表示建设总费用Z1最小时x的取值，利用一元函数最值求解方法可求出x0：x0=■
此时，建设总费用为Z1=■+■=■
下面讨论有共用管线的情况，由前面的分析可知，是否需要共用管线，取决于共管费用与非共管费用之比k。由于修建共用管线的费用显然高于非共用管线，同时考虑如果费用高出2倍以上，建设共用管线显然还不如不建，所以1≤k＜2，并且在此范围内k越大，共用管线的建设费用越高，共用管线需要量就会越少，当k大到一定的值时，就会不再需要共用管线，求解k的临界状态就是本文讨论的主要内容。本文假设k的临界值是k0，即当k＜k0时，共用管线存在，当k≥k0时，共用管线不再需要。关于k的求解有很多种方法，本文介绍利用多元函数的极限进行求解，P点是ABCD区域内的点，随着P点在ABCD区域内的游走，管线的总费用随之发生改变，且费用改变是连续的，当P点接近于（x0，0）时，管线总费用（本文假设为Z2）也就接近于（x0，0）对应的管线总费用Z1，由极限知识可知：
■（Z2-Z1）=0（2）
由题意可知，Z2包括了PA、PB和PH三段管线的费用：
Z2=■+■+ky（3）
将（3）、（1）代入（2）可知：
■（■+■+ky-■-■）=0（4）
由上式可计算k的临界值：
k0=■■（5）
=■■
利用洛必达法则计算：
k0=■（■+■）
=■+■
将x0=■代入上式，可得：k0=■
由前面分析可知：
当k＜■时，共用管线存在（P与H不重合），P点坐标可以通过Lingo或Matlab软件中的最值函数进行求解。
当k≥■时，共用管线不存在（P与H重合）。
例如当a=5，b=8，l=20时，k=1.09，即当k＜1.09时（共用管线的费用不超过非共用管线费用的1.09倍），共用管线比非共用管线好，当k≥1.09时，非共用管线比共用管线好。
四、极限求解的正确性验证
设P的坐标为（x，y）（x≥0，y≥0），模型可归结为
minZ2（x，y）=ky+■+■
只需考虑1≤k＜2的情形，对上述二元费用函数偏导数求驻点可得（不妨假设a≤b）
■=■+■=0■=k+■+■=0（4）
利用Matlab求解可得：
x=■y=a-■・（2ak2-2bk2-8a-8b+2■）（5）
或x=■y=a-■・（2ak2-2bk2-8a-8b-2■）
因为k值介于1和2之间，当k值增大时，共用管线有可能不存在（点P落在了x轴上，即y=0）。令（5）y=0，利用matlab计算得：k=■（6）
当k＜■时，共用管线存在（P与H不重合），利用（4）matlab求解可得二元函数驻点P=[■（a-b）+■，■（a+b-■l）]，相应地Z2min=■[（a+b）k+■l]
显然，关于k的计算结果，利用偏导数的计算与利用多元函数极限完全相同，验证了使用多元函数极限计算的正确性。另外（6）等价于2010年大学生数学建模C题的评阅要点中的l=■（b+a），也说明了此种方法的正确性。
五、总结
大学生数学建模竞赛一方面给学生提供了一个竞争的平台，让那些数学学习有所长的学生有了展示自己的空间，另一方面数学建模也为我们数学教师提供了很多好的实际应用的案例。例如2007年的易拉罐问题，被我们引入到高等数学导数的教学等。教学是永无止境的，教学方法的研究是教学永恒的主题，案例教学法是高等数学教学的一种有效的教学方式，2010年大学生数学建模C题的极限解法为多元函数的极值问题讲解提供了一个很好的教学案例。
参考文献：
[1]工程数学学报编辑部.2010大学生数学建模优秀论文集[C].工程数学学报增刊，2010.
[2]全国大学生数学建模组委会.2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[EB/OL].2010
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关键词：习题课类型数学能力习题编排
高职学生数学思维能力的训练主要是通过数学习题课教学完成的，所以习题课是数学课堂教学的重要组成部分。好的习题课可以为学生提供优质的数学课程信息。编制精致的高职数学习题，能激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学能力和素养是教师备课基本能力的体现。高职数学习题课的习题可归结为以下几个基本类型及作用。
一、导入型
和上课导入新课一样，为了使学生能在已学的知识的推演中，将陌生的问题转化为熟知问题而获得新知识，教师可以在习题课上编排一些具有一定导入性的习题，激发学生探究知识的兴趣。如在立体几何教学中，推证异面直线上两点间的距离公式，学生可能一时无从下手，教师可以编排如下的练习：
（1）引导观察模型，设a，b是异面直线，AA'是它们的公垂线，请画出直观图；
（2）是否有过直线b平面a平行于直线a，画出平面a；
（3）已知a，b所成的角为θ，设a，AA'所确定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ吗？
（4）证明a┴β；
（5）在直线a上取异于A'点E，在β内作EG┴c角c于F，设F是直线b上任意一点，证明EFG是直角三角形。
（6）设A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。
通过这一组练习，学生可以比较容易地推出异面直线上两点之间的距离公式，且会觉得思路清晰，从而获得新的知识，掌握思考方法，培养主动探究的能力。
二、概念型
对于一些重要的新概念，在习题课上，教师要编排一些体现新概念实质的习题，通过这些习题的解答，帮助学生加深对这些概念的理解和掌握。如在复数模的教学中，学生往往会与实数的绝对值概念相混淆。为了让学生理解复数的模是实数绝对值概念的推广，教师在习题课上可安排如下的练习：
（1）设|z|=1，且Z5+Z=1，求复数Z。
通过这个练习，教师可以强调：如果a，b是实数，则
（2）设|x+i|=2，求复数在复平面的轨迹。
（3）设3
在概念题的教学中，教师把学生面前的“陷阱”预先提示给学生，使学生运用时不至于引起混淆和错误，注重培养学生缜密思维的习惯。
三、基本型
习题课上，教师要适当地编排一些基本习题。如在三角函数教学中，对两角和与差的公式理解后，教师可安排如下一组练习。
（1）求
（2）求
（3）求
四、类比型
对于学生容易混淆的概念，或形式相似但本质不同的问题，教师在习题课上要安排具有类比型的习题，通过练习，能够揭示这些知识的不同点，寻找出解决问题的规律。
如对排列数与组合数计算，在初学时，学生容易混淆，习题课中可以编排如下的练习：从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9张卡片中任取3张，用其数字组成无重复数字的三位数，有多少种取法；若6也可以当成9用，则又有多少种取法。
通过这个练习，学生容易辨别排列与组合的区别，从而加深对排列数与组合数计算规律的掌握。
五、联系型
在习题课上，教师要把学生的新旧知识进行联系，编排一些沟通新旧知识的小综合题，使学生养成综合考虑问题的习惯，从而在解题过程中，在理解新知识的同时，巩固已有的知识，扩大解题思路，培养学生的发散思维能力。如在直线方程习题课时，教师可以编排习题：
（1）设，，求的最大值。
（2）用复数z表示直线方程x+3y-2=0。
教师可以引导学生从几何图形、代数、三角函数等方面考虑。通过习题的练习，启发学生从多方面联想、探究，提高学生数形结合能力和正确的运算能力。
六、过渡型
在教科书上，例题与习题之间的梯度较大，学生难于独立完成，这时教师在习题课上需要编排一些具有“台阶”作用的习题，这种“台阶”性质的习题就是过渡型习题。如在正弦函数的单调性这部分内容中，教材中的例题和习题对于单调性的应用，一般仅限于比较两个三角函数值的大小。为使学生能更好地掌握三角函数的单调性质，教师可以编排一些求复合三角函数的单调区间的习题，也可以编排一些解三角不等式的习题作为过渡性习题。如可编排如下一些习题：
（1）求函数y=1-sinx的单调区间；
（2）解不等式：2sinx≤1；
（3）求函数（）的最小值。
教师在学生完成（1）的解答后，归纳y=?（x）的单调性和y=a+?（x）的单调性的关系；在学生完成（2）的解答后，引导学生归纳如何利用三角函数图像找出对应于的x相邻两个值，再找出满足的曲线段，最后利用周期性确定满足不等式的集合。在学生做本题时，教师可提醒注意过渡不等式，从而得到y最小值为。
七、引申型
将习题的方法和结论加以引申，可以使学生的知识和能力得到提升。因此，教师在编排习题时要有一定量的引申型习题，引导学生进行知识的迁移。如在证明等式，稍加变形，得到。若设m+1=k，再稍加变形，便得到引申题。
进一步引申，可证
和
上面两式可引申为
如果把变形成，则原命题可引申为，用此式可证明等式
。
八、综合型
在习题课上，教师编排一些综合型习题，把知识进行系统化，帮助学生形成自己的知识体系，增强学生的知识应用能力。在编排时，教师可以进行一题多解，一题多变，培养学生从多角度，分析问题的综合思考方法。从某种程度上说，综合型习题事实上是狭义也是联系型练习题。在编排综合性习题时，要注意知识的系统性。
如在讲授抛物线的习题课时，教师可编排如下习题：
（1）过抛物线y2=px（p>0）的焦点F作一条垂直于A，B轴的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；
（2）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；
（3）设有一定长为的线段AB（），其两端在抛物线y2=2px上移动，求线段AB中点M到y轴的最短距离。
对于题（1），可以引导学生画出示意图，根据图形的直观分别从直线的普通方程，参数方程和抛物线的极坐标方程进行考虑，用不同的方法求得：|AB|=2p。
对于题（2），教师可以趁热打铁，引导学生结合图形和抛物线的定义，仿照题（1）的方法引导学生完成习题的解答：|AB|=4p。
至于（3），教师可让学生探讨，培养全面系统考虑问题的习惯。通过习题的解答，可以把直线的方程与抛物线的方程串联在一起，培养学生综合运用直线和二次曲线所学知识解决问题的能力和正确的运算能力。
数学人教版A版必修2第3.2.2节继“直线点斜式方程”后介绍了“直线的两点式方程”.笔者在课上介绍完直线的两点式方程及讲完例题后，在课堂训练环节，已知两点坐标要求学生用两点式求直线方程时，很多学生不太习惯直接用直线的两点式方程求解，倒是习惯用上节课讲过的直线方程的点斜式求解.问其原因，学生回答说：其一，直线的两点式方程的推导就是用点斜式推出的，初中求一次函数解析式就用形如y=kx+b待定系数法求解，形式上比较熟悉.其二，直线的两点式方程结构复杂，限制条件较多，不易记住.学生的回答让笔者一惊，觉得颇有道理.从笔者平时解题习惯来看也很少使用直线的两点式方程.在讲直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系时，设列方程一般只考虑斜率存在与否设点斜式方程.求解直线方程的题目在最后答案呈现时，一般是用一般式或点斜式.求点到直线的距离、线性规划问题所涉及的直线也很少用直线的两点式方程.既然如此，教材为什么要单独用一节介绍直线的两点式方程？可不可以对该部分内容淡化处理，甚至不教？新课程标准不是提倡“用教材教”，而不是死板地“教教材”吗？如果能，那么教材为什么把直线的两点式方程单独成节呢？编者的意图在哪里？直线的两点式方程在直线方程的知识体系中起到怎样的承上启下的作用？其教育功能在哪里？
2.教材研读
人教版A版数学必修2第3.2.2节.先提出思考问题：已知两点P1（x1，y1），P2（x1，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），如何求出两点的直线方程呢？由于有直线的点斜式方程做了知识铺垫，学生不难写出P1P2的方程：y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）（1）式.去分母化为整式，整理成（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1）（2）式.考虑到对称美，便于记忆，两边同除以y2-y1得y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（3）式.把（3）式叫作直线的两点式方程.当然（3）式是有条件x1≠x2，y1≠y2限制的.从直线的两点式方程推证过程来看，它起到了承上启下的作用，保持了知识的完整性和系统性.在思想与方法层面上对培养学生分析问题和解决问题的能力起促进作用.当直线的斜率不存在时，即不满足x1≠x2，y1≠y2这一限制条件时，直线的两点式方程可以写成（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1），向直线方程一般式过渡，也为下一节知识“直线的一般式方程”学习做好铺垫.又由于两点式方程在结构上具有一种对称美，也可以看成一个比例关系式.如果令y-y1y2-y1=x-x1x2-x1=t，那么可以得到直线的参数方程.这将为学习人教版数学4-4“直线的参数方程”埋下伏笔.这也是其他形式的直线方程无法取代的.
通过对教材的分析研读，对直线的两点式方程有新的认识.认真领会编者对教材的编写意图.教师不能只停留在解题层面上认为：直线的方程这一节知识以点斜式为起点再衍生出另外几种形式（斜截式、两点式、截距式）的浅显认知.“两点确定一条直线”是我们生活经验的最朴素的认知，初中平面几何以公理的形式呈现.到了高中从方程的角度再一次认知“两点确定一条直线”这一朴素的数学知识，扩大了学生的视野，增强知识的系统性.这也符合新课标中关于直线与方程的具体要求：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式.由此不难发现教材编者的意图所在.
3.应用举例