如何针对学生在数列中普遍存在的问题,做好高考最后阶段的复习工作,使我们的复习工作有计划、有针对性、有指导性,使学生对数列问题消除畏惧心理,增加得分率?为此,首先对高考数学中数列的考点进行一下分析。
一、高考数学数列中的考点分析
虽然数列在《教学大纲》中只有12课时,但在高考中,数列内容却占有重要的地位。高考对数列的考试要求是:①理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据数列的递推公式写出数列的前几项或证明其他一些性质。②理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。③理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
由上述考试要求,我们知道,数列内容的考试试题,应以等差数列和等比数列的相关概念、通项公式、前n项和公式为主线,以数列的其他内容如通项与前n项和公式的关系、递推数列等相关内容为辅助。但从高考新大纲的变化来看,加入了利用递推公式进行数列的相关问题的证明,考察由递归数列派生出来的新的等差或等比数列的相关问题。
二、复习建议
1、加大等差、等比数列通项公式、求和公式的训练力度。
在等差、等比数列的训练中,让学生回到首项和公差(或公比)中去,无疑是非常本色的方法。
例1:如在等差数列{an}中,点(a3+a5+a4+a5+a6)在直线y=2x+1 上,则该数列的首项a1=。
(A)1; (B)-1; (C)2; (D)-2、(答:B)
对于这道试题,采用下标规律而不能自拔者受阻了,回到首项和公差中去的学生(不见得是数学成绩好的学生)轻易解出来了。
例2:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2 =74,S3 =111,则S5=。(答:185)
对于这道试题,只记住死结论:在等比数列中, Sn,S2n -Sn ,S3n -、S2n 成等比数列的学生不知从何下手,机械地应用公式Sn=的学生在算出q=1(q=-)( 舍去)后,又发现代入上述公式不成立,只有知道讨论使用等比数列的求和公式的学生才能得到正确的答案。
通过以上两个例子,我们认为,对于数列通项公式和求和公式的训练,应尽量让学生能反复使用最原始的公式,并注意使公式成立的环境,让学生训练到求一般等差数列和等比数列的通项公式前项和公式变得轻松自然为止。
2、加强数列问题的运算训练,教会学生必要的运算检验方法。
高考数学中运算问题,历来令我们在高考一线的教师们头痛,而数列的运算,则将学生的运算水平低下暴露得非常具体。
运算训练从哪里入手?这里有几点建议:①进行单一公式运用的反复训练,特别是针对经过前一阶段检测发现学生普遍应用不过关的公式(如等比数列的前n项和公式)进行相应的训练。②对数列问题的通性通法进行反复训练,使方法的牢固掌握和运算能力的提高同步进行。③对同一方法进行变式训练,一直练到学生运算结论准确为止。
3、有计划地对学生进行数列综合问题的综合运算训练,提高学生的综合运算能力。
4、加强数列证明问题(或与之相关的题型)的训练,此类问题也是学生的一个薄弱环节。
例3、在数列{an}中,an+1=3an+2n +4 且a2= 6
(1)求a1; (2)求证数列{an+2n +2}是等比数列,并求an。
怎样证明数列{an}是等比(或等差)数列?证明(或an+1 -an)是一个与n无关的常数即可。这么浅显的道理,怎么会有大量的学生不知从何下手?原因还是我们的训练力度不够。
对于上述问题,可进行如下变式训练:
1、在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n-2,证明数列{an+2n}是等比数列,并求an。
2、 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1+3,证明数列{}是等差数列,并求出数列{an}的前n项和。
递归数列的问题,以上述结构出现的试题降低了求数列通项公式的难度,这样的试题往往是经过逆向编制出来的。
【关 键 词】 数学；六年级；总复习；思考
在六年级数学总复习期间，教师采取题海复习战术，效果不尽如人意。教师要改变这种不恰当的复习方法，紧紧围绕课程标准帮助学生从新角度、新高度来巩固知识、强化技能、发展思维、查漏补缺，为他们的初中学习打好基础。
一、制订总复习的指导思想
据笔者调查，绝大多数教师采用练题就是复习的简单指导思想，发现学生哪部分知识出错，就着重练习该部分知识，这是错误的填鸭式的教学方式。在新课改下，教师要全面考虑教学目标、内容、学生及他们未来的学习生活，制订新的指导思想来全面指导总复习。
（一）指导思想一：制订复习计划
年级组首先要制订一个年级总复习计划，它包括目标、内容、方法、进度、复习时间分配，然后教师在此基础上制订班级复习计划，它包括学情、阶段目标、复习内容的重组、重难点、数学思想与方法、复习方法以及时间分配等。
（二）指导思想二：整合内容，抓住重点
教师在复习中要以四、五、六年级的内容为主，先易后难、先单一后综合；整合数、代数、空间与图形、统计与概率、应用题、四则计算等内容，以代数、空间与图形、概率、应用题、比例为复习重点。
（三）指导思想三：优化复习方法，提高效率
在近2个月的复习中，教师不讲究一些复习的方法和技巧，学生会感到厌烦，总复习的效率、效果就提不上去。教师在一堂课内多种复习方法并用，有助于提高复习的效率。如学生容易混淆的合数与质数、可能性、公式，以及学生容易忽略的平均分，同时扩大或缩小、字母表示数、等底等高、正反比例、解方程格式等，教师就要优化方法，采用全班争辩、小组讨论、举例验证等多种复习方法来突破。
二、精心创设内容，提高教学效率
（一）教师对复习内容要心中有数
在进入总复习前，教师要通读12本教材，全面和系统地学习“数与代数、空间与图形、统计与概率”，对每一类知识的重难点、纵向编排体系和纵横向联系等做到心中有数，要达到把每一类知识一串串地连起来掌握的程度，另外还要对学生平时犯的错误做到心中有数。这样，在复习时才能使知识的复习顺序、进度做到合理，才能使复习内容具有很强的针对性，学生也才能形成一个完整的知识结构。
（二）教师要精心设计内容
最容易让教师忽略的是数学内容相互间的纵、横向联系，孤立地复习各知识点，导致学生建立不起完整的知识结构。如“旋转”，它与平移、画图有纵向联系，与角有横向联系，这就需要教师认真备课，精心准备，重点复习角的两条边旋转后，角的大小发生了怎样的变化。这样设计复习内容，旋转与角就不是各自孤立的，而是既独立又紧密联系的，学生就能建立起完整的旋转、角的知识结构。
（三）再现数学思想与方法
绝大多数教师没有考虑数学思想与方法的复习，认为他们不重要。转化思想、归一思想、方程思想、实验操作方法以及解决问题的方法和策略等都是学生今后学习所需要的，复习时要结合一些知识点再现它们，让学生掌握得更牢固。如复习《圆周长与半径的关系》时，可以先让学生回顾以前用什么方法来突破的，让学生再一次动手来解决。
三、体现两个“度”，提高学生思维水平
（一）从新角度来认识旧知识
教师从新的角度来复习知识，促使学生打破思维定式，感受到从新角度认识旧知识的重要性，使学生的认知、思维水平有大的进步，知识掌握得更牢固。如西师版二年级教材（上册）有一题：一张正方形纸剪去一个角，还剩几个角？学生在二年级时受思维水平的限制，采取直线剪法，也只会想到答案是5个角。而六年级学生学习了圆，就要利用圆周的特点来剪，即剪出一个圆弧，那么就只剩下三个角。
再如，小学生对点组成线、线组成面有较强的理解，但对面组成体的理解就差些。教师在复习时，可以创设这样的情境：先展示一张纸，在它上面不断放同样大小的纸，随着纸的增加，一摞纸就具有了高度，形成了一个立方体。通过操作、观察、思考，学生逐渐明白了立方体是如何形成的，也逐渐明白了体积概念。教师还可用另一摞面积小的纸来做实验，通过对比，学生也就明白了物体体积与底面积、高之间的关系。
（二）体现新高度，深化旧知
小学生容易混淆平行四边形、三角形和梯形面积公式，教师可以采取另类复习方式，使学生既能正确区分公式，又能提高对它们的认识高度。教师以梯形图形为基础图，让学生想象上底逐渐缩短到一点时，梯形就变成三角形，公式S=（a+b）h÷2中的a为0，S=（a+b）h÷2就变成S=bh÷2=ah÷2。再让学生想象上底逐渐延长到与下底一样长时，梯形就变成平行四边形，公式S=（a+b）h÷2就变成S=2ah÷2=ah。这样复习能让学生掌握公式更牢固，不容易混淆。
在小学数学教材中，三角形的面积字母公式是S=ah÷2，而在初中教材中的形式是S=12ah，与小学比较，它显得更简洁。一些学生在初中时还习惯性地用S=ah÷2，这说明学生的定式思维还在起作用，个人的认知能力没有提高。总复习时，教师就应把它作为《分数与除法关系》的一个特例，专门组织学生把它改写成S=12ah，并要求学生今后在运用三角形、梯形面积公式时常用这类表达形式。
在六年级的总复习过程中，教师要讲究方式与方法，既要引导学生建立知识结构，又要促进学生发展，还要让学生保持复习的兴趣，这样才能提高复习的效果和质量。
【参考文献】
[1] 邱毓t、 化散为整“减负”温故知新“提效”：小学数学六年级总复习教学策略初探[J]、 杂文月刊（学术版），2015（2）、
高中数学教学活动的关键是促使学生学会数学思考，为学生创设会学数学、会用数学的情境，而高三数学教学的一个重要目标就是要教师处理好学生主体性与教师主导性的关系，激发学生学习兴趣，调动学习积极性和主动性，提高数学思维的参与度，全面提升学生的数学核心素养。因此，对于高三数学复习课，我们要精心设计数学探究活动，倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式，以达到提高复习效率、提升学生素养。
1、回归教材，促数学基本思想的形成
提高数学素质，核心就是要提高学生对数学思想方法的认识、高三复习课也是这样，我们知道，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，掌握数学思想方法不是受用一阵子，而是受用一辈子，数学知识将来可能忘记了，但数学思想方法仍然对你起作用。就解题而言，也将产生熟悉化、简单化、和谐化的效应。
1、1 回归教材，重视变式素材使用。教材是中包含了数学的概念，原理，技能和思想方法四大类核心知识，教材中的变式素材更是教材的一部分，同样渗透了数学的四大类核心知识，而且变式素材针对概念学习的不同阶段、不同方式，在获取知识的过程中使用了不同的变式素材，在高三复习的过程中，学生更需要知识的重建和融会贯通，通过变式素材可以帮助学生建立知识的纵横联系以及引导学生探究使学生领悟数学研究的基本套路，这也是数学学习以及教材所采用的方法。
1、1、1 变式素材有利于让学生发现“变化中的不变”
案例1：直线斜率公式的推导
课本在推导了倾斜角是钝角与锐角的斜率公式后，有三个思考：
（1）当直线P1P2与X轴平行或重合时，上述公式还成立吗？
（2）已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？
（3）当直线与y轴平行或重合时，上述公式还成立吗？
从这三个思考中可以发现：斜率公式当点变化的时候有变化，但是也应该发现坐标应该对应这一不变的信息以及当倾斜角是90°时的斜率不存在的不变性。故在高三复习的最后，当我们回归课本时，应该强调变式素材的作用。
1、1、2 变式素材有利于让学生发现"变化中的规律性"
案例2：等差数列的前n项和
在等差数列的前n项和的推导过程中，通过特殊等差数列an=n前n项和的推导，有这样的探究：
高斯的算法妙在何处，这种方法可以推广到一般的等差数列的前n项和吗？
变化的规律性往往通过类比而得出的，数列中很多问题的求解正需要通过特殊项以及特殊数列来类比，教材很清楚的指出了这一思想方法。故通过变式素材可以帮助高三学生学习数列时应具备这一思想方法。
1、1、3 变式素材有利于学生建立知识点之间的联系
案例3：余弦定理
在余弦定理的变式素材中有这样一个探究：
探究：如果已知一个三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判断，这个三角形完全确定。如何来研究已知两边和它的夹角计算出三角形的另一边和另两个角？
思考（1）联系所学知识和方法，从什么途径来解决这个问题。
思考（2）在这个证明中，感受到向量的威力？用坐标法怎么证余弦定理，还有其他吗？
思考（3）余弦定理指出看三角形的三条边与其中一角之间的关系，应用余弦定理可以解决已知三角形的三边确定三角的问题，怎么确定？
勾股定理指出了直角三角形中三边的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形的三边的平方关系，如何看待这两个定理之间的关系？
这些探究和思考，正说明了余弦定理与向量之间的巨大关系以及勾股定理是余弦定理的特殊情况，在没有直角的情况下，应该可以考虑余弦定理。
记得高三复习中有这样一道题目：
设ΔABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，2a sin A=2b-csinB+2c-bsinC；
（1）求角A的大小；（2）若a=10，cosB=2 55，D为AC中点，求BD的长。
法一：由正弦定理求出AC=2，需抓住cos∠ADB=cos∠CDB，就可得BD；
法二：由正弦定理求出AB=32，利用BD=12BA+BC，就可得BD；
这一题的第二小题看是用解三角形知识求解，方法一cos∠ADB=cos∠CDB这个关系很多学生想不到，于是这题就做不出，但是如果用向量也是相当快的，因为BD=12（BA+BC）这个是中线中经常用到的关系，所以没有了余弦定理与向量的联系，在很多问题上学生到处碰壁。故高三的复习更需要我们整合知识体系，变式素材是很好的。
1、2 回归教材，有效使用教材练习
案例4：下列各式子正确的是：（）
（1）x+1x≥2 （2）若x∈0，π2，则sin x1sin x≥2
（3）若x∈0，π2，则tan x+1tan x≥2；（4）x2+2+1x2+2≥2。
通过此题一方面可以发现在利用基本不等式时所出现的问题，由此强调解决此类问题的三步。
在等比数列前n项和这一节课的课后有这样一道习题：
在等比数列an中，已知a3=32，S3=92，求a1与q；
这一题很多模拟卷中也经常出现，但是这是课本中的题目，还是有很多学生错，究其原因是没有对公比q分类讨论，事实上高三复习的过程中公比q的分类讨论是很常见的。课本都这样强调，针对学生主动学习不强的情况，通过开展回归课本，达到自主、合作、交流及探究式的教学实践，使得学生对数学教材的重视。
我们知道学生的差异不在于智力，而在于缺乏自己对学习潜能的充分认识及由此产生的自信心不足，学习态度不端正等等。高三的复习题目太难，会让学生产生厌学，自信心缺乏，如果在复习过程中能从课本习题出发，会让学生有一种亲切感，因为学生知道课本的题目不难，我能做，所以在一定程度上使学生自信多点，所以在之后的变式练习时也能试试了，另一方面从课本习题出发能很好的复习基础知识，真是一举两得呀。
课本是学生智能的生长点，课本中习题是教材内容才补充和延伸，也是宝贵的教学资源，只有我们能经常就教材中的典型问题进行适时的引导、探究并加以归纳总结，数学教学就能事半功倍。
1、3 回归教材，有效使用教材阅读材料。阅读材料是指附于教材正文之后的数学小史料以及数学小知识等，这些材料主要是对教材中的重要数学概念的背景介绍、知识的延伸拓宽和实际应用，以及数学发展的一些历史等。阅读材料中往往包含丰富的数学思想、方法和解题技巧，对学生理解数学，特别是促进学生知识的整合有十分重要的作用。正因槿绱嗽诟呷复习的最后阶段，更要对数学概念有清楚的认识，阅读材料是帮助学生提高认识，树立学生学习兴趣非常好的教材。
2、培养学生操作能力，提升学习主动性
在以往高三复习教学中，由于没有明确有效的教学策略的指导，使得学生在复习过程中缺乏学习的积极性、主动性和创造性，导致了高强度却低效率的复习结果，使得复习课失去了本应有的效果。
2、1 让学生板演。学生最突出的操作能力就是做题，那课堂上就是板演了。我们都知道学生是课堂的主人，任何教学活动都应尊重学生的思维，尊重学生的感情。若要充分挖掘学生中出现的念头，分析正确性或不妥之处，应势利导地帮助学生的思维，板演是提高课堂教学有效性最好的形式，也是自主、合作、探究及反思能力的培养的很好的平台。
2、1、1 板演的形式。高三复习时间有限，本人认为板演一般以两三个题目比较好，同时在题目的设计上要有一定的知识梯度，由简到难。
案例4：向量数量积的复习
题1：已知平面向量a，b的夹角为60°，且|a|=3，|6|=5，求|a-b|的值；
题2：已知平面向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|=3，|b|=5，求|a-b|的值；
题3：在三角形ABC中，|AB|=3，|AC|=5，∠BAC=60°，求|BC|；
其实这三题完全可以放手让三个学生板演，板演的学生可以有点梯度，可以是成绩一般的或稍差的。不仅可以从中发现知识的漏洞和思维的漏洞，而且板演之后获得的知识记忆会更深。
2、1、2 板演的过程。板演的过程可以多样化，同一个学生在板演的过程中可以上上下下。学生站在黑板前板演的时候容易紧张，会导致一些低级错误的产生。学生回到自己的座位上，充分缓解了紧张感，能力也会恢复，让学生修正自己解题中的错误也是一个非常好的提高机会。
2、2 让学生参与数学实验。数学也有可操作的内容，而事实上学生动手能力越强的孩子学习常见越好。高三复习过程中，很多学生对数学中立体几何的那些判断题与折叠问题错误率相当的高，而事实上那些让学生不自信的题目，如果学生能动动手，动动笔就能找到答案，找出折叠问题中的变化与不变的量。可见数学实验的重要性。
3、重视反思 提高学习效率
高考是学生的考试，学生的应试能力和答题水平决定成败。在学习上一方面要培养学生"学后反思"的良好习惯，使知识技能转化为一种学习能力。在教学中，不但要对知识结论反思，而且要反思知识的形成过程，不但要反思解决问题的途径和方法，而且要反思解决问题的过程中所出现的问题和存在的问题，促使所学的知识纳入学生的知识轨道。
高三复习中经常遇到这样的题目：
已知数列an 前n项和Sn且a1=1，an+1=13Sn，
（1）求a2，a3，a4的值。（2）求数列an的通项公式。
此题在应用Sn与an的这一对关系时会想当然的认为an=Sn-Sn-1对于任意n∈N*值都成立，忽略了n≥2这一条件。于是得出数列an为等比数列的错误结论。
高三复习之路是漫长的，而养成解题的好习惯是不能松懈的，错题反思具有很好的教育意义。
总之，高三复习通过开展自主、合作、交流及探究式的教学实践，更加符合提升核心素养教育的要求。高三数学的复习要追求应试能力与恒心素养的融合，制定出高三数学的复习策略，寻求提升学生数学学习能力及提高数学复习效率的有效途径，推动高三数学复习课的深入改革与发展。只有深入理解了学科核心素养，才能准确理解基于核心素养的新课程改革，为即将全面铺开的新课程标准及其教学提供充分的准备。
参考文献：
[1] 章建跃、王嵘、中国数学教科书使用变式素材的途径和方法。数学通报。2015、10
【关键词】龙贝格算法；复合辛普森公式；复合梯形公式；MATLAB
一、复合求积公式
当积分区间[a，b]较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精确度是很难得到保证的。因此，在实际应用中往往采用复合求积的方法，如；复合梯形公式，复合辛普森公式，龙贝格算法。这几个公式具有更大实用价值的数值积分公式。
（一）复合梯形公式介绍
复合梯形公式：、 若将所得积分近似值记为Tn，并令则上式即为：
，
若f（x）在积分区间[a，b]上分别具有二阶，四阶，六阶连续导数，则复合梯形公式的余项为：， 其中， 且当h充分小时，有 、
（二）复合辛普森公式介绍
仿照复合梯形公式推导过程可得复合辛普森公式即：
、
若f（x）在积分区间[a，b]上分别具有二阶，四阶，六阶连续导数，则复合辛普森公式的余项为 ， 其中， 且当h充分小时，有、
（三）龙贝格求积法公式的简化
一般地为了便于上机，记 。
记号：其中k代表积分区间的二分次数，m代表近似值所在序列的性质。引入上面的记号后，龙贝格算法可统一表示成
二、龙贝格算法改进
龙贝格算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形法产生的近似值进行加权平均，以获得准确度较高的近似值的一种方法。但是如果用的最佳一致逼近多项式来代替被积函数可能会得到更高的数值积分计算公式，本文就是在此思想的基础上对抛物差值预处理法作了改进，从而得出了比龙贝格算法及抛物差值预处理法更高的方法。
首先，给出最佳一致逼近多项式的依据性定理
（二）数值分析
从上表可以看出，龙贝格算法其实是在复合辛普森公式递推的基础上生成的一种精度高，而且收敛速度也比较快的一种算法。而改进的抛物插值法比龙贝格法和抛物插值法在相同的计算步数下精度都要高，至于抛物插值法和改进的抛物差值法第四步的误差变大是由舍入误差引起的。
四、结束语
本文讲了三个求积公式：复合梯形公式，复合辛普森公式，龙贝格算法，它们的共同点都是等距节点下的求积公式。复合梯形公式和复合辛普森公式与龙贝格算法相比较，虽然其精度通常较差且计算工作量较大，但由于使用方便，在计算积分近似值时，也常常用到它们。最后得出改进的抛物插值法比龙贝格法和抛物插值法在相同的计算步数下精度都要高。
参考文献：
[1]陈晓江，黄樟灿、数值分析[M]，北京：科学出版社，2010、7、10，92～93、
[2]刘卫国，陈昭平，张颖、MATLAB程序设计与应用[M]、北京：高等教育出版社，2002、6， 221～229、
[3]易大义，陈道琦、数值分析引论[M]、杭州：浙江大学出版社，1998，90～113、
[4]李庆扬，王能超，易大义、数值积分（第四版）[M]、北京：清华大学出版社，2001，11～12、
[5]任玉杰、数值分析及其MATLAB实现[M]、北京：高等教育出版社 2007，115～121、
[6] W、H、普雷斯，B、P、弗拉内里，S、A、托科尔斯基，W、T、维特林、数值方法大全[M]、兰州：兰州大学出版社，1991，113～116、
[7]宋岱才、数值积分方法[M]、北京：中国经济出版社，2006，9，5～6、
[8]陈晓江，黄樟灿、数值分析[M]、北京：科学出版社，2010，7，10，21～23、
[关键词]：发现式教学 职高 等差数列复习课
一、前言
如何上好一堂等差数列复习课，这是广大职高教师比较头痛的问题，在以往的数学复习课学习中，教师在不知不觉当中形成了“知识归纳+讲解例题+反复练习”的模式、练习之间关联不大，这是一种模仿式的学习。发现式教学通过问题与等差数列知识的联系，加深对等差数列知识的理解，从而提高学生的思维品质、
笔者在新教师专题公开课活动中上过一堂公开课“等差数列复习课”，感受颇多，下面以我公开课的教学为例来具体说明如何用发现式教学法来上等差数列复习课的，愿与同行共同讨论、
二、教学过程实录
1、基本问题
教师：前面复习了数列，这节课我们复习一种特殊的数列――等差数列、
概念：如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列、这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示、
教师（板演）：不错，这位同学归纳得很到位、接下来分析公式中量与量之间的关系，使学生明确已知几个量可求其它未知量，渗透方程思想、现在请同学解决如下问题：学生4：由概念可知B选项为等差数列、
教师：很好，利用等差数列概念可以得出变式1的答案、下面的变式2又该怎么做呢？
变式2：在等差数列{an}中，若a1=5，a8=26，则d=____s8=________；
（待学生充分思考后）
教师：哪一位同学说说解题思路、
学生5：由为题1中第3问知等差数列通项公式，利用变形可以得出公差d；由问题1中第5问知等差数列前n项和公式，可以求出s8。
教师：板书过程（略
2、知识巩顾
问题2：在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3、
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn、（两种解法）
（由学生独立完成，教师巡视指导）
学生6：（板演）找同学说出判断正误、
教师：太棒了，这位同学能很好地掌握前面所复习的知识、
教师：学生7的解法完全正确、
3、拓展延伸
教师：前面利用等差数列概念及公式解决了相关问题、现在请同学们研究下面的问题3、
问题3：我校就业班学生王明去某公司顶岗实习10个月，该公司对实习生的薪酬有两种方案：
第1种方案：实习期间每个月900元钱；
第2种方案：第一个月500元，第二个月
600元……
依次下去每个月比前一个月多100元；王明不知选择哪一种方案更划算，你能帮他解决问题吗？
（给学生足够的思考空间，教师巡视指导）
（多媒体投影）第1种方案 10个月实工资为900×10=9000元。
第2种方案：由题意得，每个月工资成等差数列，
答：由于9000小于9500，王明实习期间工资应该选择第二方案。
教师：这是一个应用等差数列的一个实际应用题，学生只要掌握了等差数列的定义及公式，再联系生活实际，应该不是一个难题、这个题如果没有时间限制，又可以拓展为经过多少个月的实习选择方案更划算？
4、提升思维
问题4：在等差数列{an}中，已知a2+a5=10，求a3+a4=？（用两种方法解）
教师：等差数列所有题都可以使用基本量求法解决问题，那么同学们你们是否有更好的解题方法呢，回忆一下我们以前学习过的等差数列的性质，如果能用性质解此题方法更简单、等差数列的性质应用极其广泛，能使做题简单，我们下节课继续复习、
5、归纳小结，强化思想
（1）等差数列的定义、通项公式及前n项和的复习；
（2）利用基本元素法求解；
（3）借助方程思想，解决相关问题、
三、教后反思
根据本课教学目标，我把知识点通过对一道题目解答方式展现在学生面前，使教学过程零而不散，教学活动多而不乱，学生在轻松愉悦的氛围中学习知识，拓宽视野、
本节课的成功之处：
1、在课堂实施过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己的不同观点，找出最简单、有效的解决方法、
2、教学方式符合教学对象、复习课就是要以总结的方式对学过的知识加以巩固，同学们通过本节课的复习目标，很方便的了解了重难点，通过典型例题直观的了解考试要点、
本节课的不足之处：
1、时间安排欠合理、在让同学们的思考花费时间太长、课后反思，如果当初多指引学生思考，然后通过教师考察，可能会达到事半功倍的效果、
2、“放”的力度不够，在分析典型例题时，总担心个别基础不好的同学不会，本来可以由学生阐述解题方法，也由我来说，所以学生的主动权给的不够多、
在今后的教学中，我会注意给学生足够的时间和空间，搭建学生展示自己的平台，要充分相信学生的实力，合理安排教学时间、本人将更加努力，逐渐完善教学能力和方法，争取更大的进步、
四、结束语
职高数学复习课教学更重视培养学生能力、数学教学将经历一个深刻的变化，数学教学方法改革将是这场变革的一个核心问题、本文以发现式教学方法问切入点，逐步引导学生解决问题、由于本人能力有限，研究本文于此为止、希望关注发现式教学法的效果，为一线的职高教师提供有力的教学依据，更好的发挥此教学方法的优势、
参考文献：
[1]徐镇均、等差数列的函数教学观[J]、中学教研（数学），2014，（9）：28-30、
关键词：高三；复习；课本；数学
在高三复习中如何理解和贯彻“源于课本，高于课本”这个原则，我通过对课本内容的深挖，对例题，习题改编、重组，就能将课本、资料、高考试题有机地结合起来，从而在课堂上来展示知识的发生、发展，形成完整的认知过程，去启迪学生思考、顿悟、探求，这是提高高三数学复习效率，激发学生对数学学习的兴趣和信心的重要途径、
一、高三数学复习为什么要重视课本例题、习题
课本是学生学习和教师教学的“本”，高考选拔人才必须要以这个“本”为依据，那么高三复习肯定要以课本为基础、每年数学高考中与课本有关联的试题都很多，如，2006年高考浙江卷文（15）
是《数学》第一册上第128页例4的变式，理（18）是《数学》第二册下B第151页复习参考题B组第四题的变式、
因此，数学复习要紧紧抓住课本，反刍吃透课本是搞好数学复习的第一条生命线，要把课本中的基本概念、基础知识、基本解题技能、典型例题、典型习题、解题中常用的通法通解等熟烂于胸，如牛吃草后反刍一样，把课本的复习内容反刍精透真正能把课本内容彻底吃透消化后，数学解题能力再向上提高就像一层窗纸一样一捅就破、
二、高三复习如何做到重视课本例题、习题
1、对课本中的习题进行有效的变式
例如，在复习数列的一种重要题型――数列的通项公式的求法、出示数学第一册上第109页练习1：已知数列an中，a1=1，an-an-1=2（n≥2），求数列an的通项公式、
变式1：已知数列an中，a1=1，an-an-1=2n（n≥2），求数列an的通项公式、
变式2：已知数列an中，a1=1， =2n（n≥2），求数列an的通项公式、
变式3：已知数列an中，a1=1，an-2an-1=2n（n≥2），求数列an的通项公式、
原题是基础问题，适用于全体学生，即使是最差的学生，也应能完全听懂、
变式1把差为2变为2n，这样就构成了等差数列，可以利用推导等差数列通项的方法，迭加法来解决、变式2把相邻两项的差变成相邻两项的比，而且比也构成等差数列，可以利用推导等比数列通项公式的方法迭乘法来解决、变式3是在an-1的前面加上系数2，就成了差比数列、须用构造法等比数列的方法解决、
一道课本题通过变式，从特殊到一般，让学生真正感受到“源于课本，而高于课本”的深刻含义、课本题与资料题很自然地结合，使学生知道了知识的来龙去脉，使他们的认知产生了飞跃，通过不同的思路，提供多种解题方法既拓宽了学生的解题思路，又从不同的角度将已学过的知识加以复习，解题方法的多样化，使学生增强了解决问题的信心，进而又深化了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学思想、这样将知识，能力和思想方法在更多的新情景，更高的层次中，不断地反复渗透，达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果、
2、注重对课本习题的一题多解
如，数学第二册上第132页复习参考题6进行变式：已知椭圆C： + =1（a>b>0）两个焦点为F1，F2，如果曲线C上存在一点Q，使F1QF2Q，求椭圆离心率的变化范围、
本题难度并不高，出此题的意图是让学生主动参与发现如何充分挖掘条件，找到解题思路、
此题的条件比较少，但就从这几个条件出发，能想到哪些合理的结论呢？要求学生合作学习，尽量把能找到的结论全写出来、下面是学生们课堂上的回答：
设F1（-c，0），F2（c，0），Q（m，n），F1Q=d，F2Q=d2 、
①因为Q在椭圆上，所以它的坐标适合椭圆的方程，即 + =1；
②因为点Q在椭圆上，且此点不可能落到轴上，所以，它的坐标有范围，即-a
③因为点Q在椭圆上，所以它的位置适合椭圆的定义，故有
d1+d2=2a；
④由F1QF2Q，可得d12+d22=F1F22=4c2；
……
在这些结论的基础上，我们可以得到该题的多种解法、如：
方法1（基本不等式法）由④与③知d1d2=2b2，再根据不等式得 d1d2≤ 2得2b2≤a2，即a2≤2c2，故e2≥ ，e≥ 、又
方法2（三角换元法）设∠QF2F1=α，（0
故e= ， ≤e
方法3（设点法）设点Q（m，n）（n≠0），由②知0≤m2
在利用课本例，习题进行变式时，往往从以下方面考虑：一题多变，一题多解，一题多用、这样有利于培养和提高学生灵活运用所学知识、
变式训练和一题多解要有针对性，复习时，要借助于教材，根据学生对复习内容的掌握情况，引导学生去思考，去整理，要启发学生去找相互间的联系，去找解决问题的最优方案、变式训练和一题多解是行之有效的教学方式，如果我们在教学中能注重变式的训练和一题多解，在高三复习时一定能起到事半功倍的作用、
综上所述，高三的数学复习必须以课本为主，再好的资料在课本面前都显得微不足道，所以教学必须紧紧围绕课本、而利用课本也不能仅仅重复过去的知识，而应该对课本上的知识和方法加以“升华”，通过“升华”使学生更加理解知识的内涵和外延，把知识融会贯通、
参考文献：
[1]耿玉明、建构适应素质教育的数学课堂教学模式、中学数学，2003（4）、
一、学生早自习学习中存在问题分析
1、 早上学生到班后无事可做或者不知道做什么，发呆或者闲谈，更有甚者睡觉，不仅没有效率，甚至严重影响班级学习氛围、
2、 很多学生不会学，不知道怎么学！学习方法掌握不到位，到班级后不知道做什么，怎么做，很多学生学习方法存在问题、 在初中的时候没有上过早自习，更别说数学早自习了、
3、 部分学生也在上数学早自习，主动地在看数学书或数学资料，想法是好的，但是做法有待改善、 怎么看？看什么？这些环节做得不好，想不到动手算，毕竟数学要培养计算能力、 数学的基本思维、基本运算、基本书写规范性的训练不到位，数学学习进入死胡同、
4、 数学课代表或小组长没有履行好早自习的监督和组织职责、 数学课代表主观认为只要布置作业和收发作业本，就没有其他事情了，缺乏数学早自习的组织认识，组织管理能力欠缺，对数学早自习的重要性缺乏认识，浪费早晨的时间、
二、提高数学早自习有效性的策略
1、 制定自习时间、计划、内容：先选出数学课代表和数学小组长，考虑到学生还有其他科目的学习任务，结合教学常规，每周二、周四早上6点40分到7点10分，大约30分钟，以学习过的数学知识为内容，交给课代表，由课代表负责组织全班学生进行、
2、 数学早自习的组织安排、 针对高一学生的特点，学生处于初高中的衔接阶段，学习习惯或学习方法养成不到位、 开学第一周时主要以初高中衔接内容为主，重点加强数学基本公式、基本运算技能、 比如：平方差公式、完全平方和公式和因式分解法、一元二次方程的解法（公式法、配方法、十字相乘法）、一元二次函数图像的画法等，这些都是高一第一学期重点用的概念或方法、 进入高中数学知识的学习后，每一天适当安排前几周的学习内容，进行有效的复习与计算、
3、 数学早自习内容的选择：
（1）利用早自习时间合理地进行预习和复习、预习可以帮助学生提前了解课堂学习内容，做到心中有数，对不明白的知识在课堂上及时学会，提高听课效率、 复习可以帮助学生适时地查漏补缺，温故而知新，便于学生将数学知识形成体系，形成良好的学习习惯、
（2）数学概念的自习方式、 课代表领到任务，在早自习时花10分钟时间带领全班同学大声朗读背诵，采取“英语单词式”的学习方式，加强对概念的记忆与理解、 背诵完毕后再花10分钟由各组的小组长负责抽查本组的同学复背、 最后10分钟由数学课代表进行全班性的概念默写、 “数学应用题”的阅读及训练，对于很多学生数学应用是短板，利用早自习时间提高学生解决应用题的能力，多阅读文字，提高阅读能力，加强数学理解能力，培养学生的“生活数学化，数学应用化，数学符号化”、 整个环节有序有效，每名学生都能参与其中，都有事可做，大大地提高了数学早自习的学习效果、
（3）数学公式的自习方式、由于高中数学有很多数学公式要求学生记住并且熟练运用，所以数学公式的自习就围绕“记、用、算”进行、 安排5分钟让学生进行相关公式的回顾复习记忆，然后我每次针对所用公式结合高考的要求，编制数学题目，安排15分钟让学生在做题的过程中体会如何选择公式、运用公式、 同时加强学生运算能力的培养，也要求学生认真对待早自习，认真书写，加强解题规范性的训练与教育、最后利用5分钟时间随机由课代表进行公式的随机默写、 对于书写不达标的学生，数学教师可以适时给予“面批面改”指正，加强师生的交流，引起学生自身的重视、
（4）数学思想方法的自习方式、 高中数学思想方法对于学生比较难以掌握，尤其是综合高中的学生，对于思想的理解与应用比较匮乏，缺乏应有的数学思想、 组织数学思想方法类的数学早自习时要显得困难多，因为思想方法比较抽象，体现了数学的抽象性、
（5）数学基本概念限时训练、 利用早自习的30分钟进行限时训练，提高学生概念与方法的思考速度、运算速度、运算正确率、 限时训练采取学生自我监督，自我批阅，教师检查，考完及时订正反思的手段，大大地节省了课余时间，有效地利用了早自习的时间，学生及时地加强知识环节的弥补、
三、数学教学过程中对数学早自习有效性的反思
1、 高一年级的新生很多在初中阶段没有形成好的学习方法或学习习惯，解题书写习惯或规范性也不是很好，所以在平时组织数学早自习时，我有意识地强化规范性的教育，可是实际的效果不是很满意、 究其原因主要是“面对面批改”的方式实施不彻底，对每一名学生没有面面俱到，事情没有做到点上、
2、 数学早自习期间内容设置过于单调，没有适时地插入数学故事、科学家的事迹，在培养学生数学学习的兴趣上有所欠缺，没有丰富学生数学阅历，加强学生的数学素养方面做得不到位、
3、 有时对数学早自习的多变性方法运用不到位，对有些数学问题没有找到行之有效的方法，数学早自习流于形式，没有做到实处，特别是关于数学思想方法的学习，没有很好地借助具体数学模型解决数学的抽象性、一般性，“抽象问题具体化、一般问题特殊化、几何问题数学化、数学问题几何化、数学问题生活化”等方面对学生的教育不到位、
1、数学学困生形成的原因
数学“学困生”形成的原因有以下几点：首先，数学知识比较抽象，很多概念、定理都是对一些事例的共同特征进行高度概括，仅留下一些基本的数量关系，形成了数学概念。比如导数的概念，它就是根据求曲线上某点切线的斜率及求物体运动时的瞬时速度方法的共同特征概括出来的。如果抛开这两个事例，学生是很难理解导数这一概念的。其次，部分学生没有养成及时复习功课的习惯，在教学中往往会发现昨天刚讲解的知识或解题方法，今天上课时复习提问竟有不少学生回答不上来，这表明学生对学过的知识没有及时复习。而数学知识点之间的联系是非常密切的，后面的知识往往是在旧知识的基础上建立起来的。如三角函数中的倍角公式就是在两角和公式的基础上推导出来的、导数的概念就是在极限概念的基础上引出来的……前面的知识记不住，后面的知识就很难理解，所以要让学生养成及时复习功课是十分重要的。再次，部分学生学习数学时急功近利，有畏难的心理。表现在学数学时，只是记结论，而不研究结论得来的来龙去脉，从而无法对数学知识真正地理解，导致无法灵活应用数学知识解题。例如，已知x1>x2>x3>0，则a=■，b=■，c=■，则a、b、c的大小关系为 。解这道题时，就是由于大部分学生没有真正理解直线斜率公式，不会用数形结合法求解，从而在这个问题前显得束手无策。
2、指导学生学好高中数学的方法
创设教学情境，激发学生的学习兴趣，注重数学知识形成的过程。为了能让数学课吸引学生，首先，上课时教师要创设好数学教学情境，结合生活中的实际问题或故事引导出数学知识，激起学生学习数学的兴趣。比如通过长方体水池的最低造价引出均值不等式，通过古印度国王要奖赏国际象棋发明者的故事导出等比数列的有关知识，等等。其次，讲解数学知识时要引导学生弄清知识的来龙去脉，而不是单纯地让学生死记结论。比如讲到三角函数的二倍角公式，就要让学生弄清二倍角公式的推导过程，还要通过实例让学生知道凡是角之间有二倍关系的都可以应用于二倍角公式。
学习一个新的知识点后，一周内不再做任何的复习，知识几乎就会忘得一干二净。相反，一周内常复习，就会记得很长的时间。为了让学生养成及时复习、经常复习的习惯，教师可以采取“周测”的办法，即每周测试一次。测试内容可以是最近一两周的内容，有测试的压力，学生也就会有及时复习的动力，久而久之学生就会养成及时复习的习惯，从而战胜“遗忘”这个学习的死敌。当然“周测”时要根据学生的实际情况控制试题的难度，让大多数学生既能感受到成功的喜悦，又能感受到成绩的取得来之不易，这样才能有利于他们保持学习的热情和兴趣。