一、“反证法”概述
一般情况下，反证法可以这样解释：
证明：命题A成立、
这时可以首先假设：此命题A不成立（命题A的条件不变），
这时根据命题A不成立，往往会得到一个反命题C（一个或者多个），由反命题C而推出结论B，结论B很显然是矛盾或者错误的（根据某个正确的定理或者结论）、
由此可以证明：假设并不成立，或者假设是错误的、
从而得出：命题A得证、
反证法的运用有一套规律的模式和方法可循，一般来说顺序可以归纳为先否定——然后推理——根据推理得出结论——发现结论的不合理——肯定原命题、这种命题的证明过程也是一个否定之后再否定的过程，利用正确的推导过程来得出矛盾，利用正确的理论来否定这个矛盾，进而肯定最初始的命题，所以也叫做“否定中的否定”、
概括地说，反证法的证明规律分为以下三个步骤：结论否定得出矛盾承认结论、
具体过程如下：
（1）假设：假定要证明的命题或者结论不正确，或者列出一个相反的假设、
（2）推导：利用上文假设或者反设的条件来进行推导和证明，进而得出一个新的结论、
（3）结果：发现新结论的不成立，进而肯定原命题或者结论的正确性、
值得注意的是，反正法的运用过程中，必须而且一定要有“反设”的存在，这有对求证命题进行相反假设，才是真正意义上的反证法、其中反证法有在命题有两种情况存在时则需要区别对待；唯一性即命题的只存在一个反面结论，则只需要将这个反设推倒即可；多元性、即结论的反设有多种，这是需要将这些反面的结论一一推倒，只有这样原命题才能得证，这种方法也可以叫做列举法、
二、解决“不可能同时”或者“至少存在”命题
在解决几何数学的问题中，往往会遇到这样的证明题：证明这种图形的某种特征的不唯一性或者至少有一个满足条件，这时如果从正面直接入手，往往很难找到匹配的理论依据，证明过程也会陷入瓶颈，反证法在这种情况下便能很方便地对这个结论进行否定并给出证明，证明的结论也会很容易找出矛盾，进而保证原命题的正确性、
例1 若a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三个数不可能同时大于14、
证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于14，由于a，b，c都是小于1的正数，则有
32
得出矛盾，故原命题成立、
三、证明“不存在”问题
在解决几何证明题的过程中，往往会遇到这样的情况：要证明这个图形并不具备某种性质，另一种情况是证明具有这种特点的图形是不存在的，这种命题大多是带有否定的性质，这时直接证明的话就会显得烦琐复杂，如果考虑采用反证法，将这种命题的反面即把带有某种肯定性质的结论进行论证，过程往往会简化得多，所以这种证明不存在类型的命题大多也采用反证法、
例2 不存在自然数x、y，使得x的平方加y和y的平方加x都为完全平方数、
证明：假设存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数、
即存在正整数m，n，使得：
x2+y=m2①
y2+x=n2②
由于x，y，m均为正整数，则m≥x+1③
欲证明②式不成立，只需证明y2+x
y=m2-x2，代人即证（m2-x2）2+xx
由③式得2m2-2x2+1≥2（x+1）2-2x2+1=4x+1>x、
当①式成立时，不存在n使②式成立，即①②两式不能同时成立、
也就是不存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数、
四、证明“唯一性”问题
在几何或者代数中，常常会遇到一些命题需要证明结论的唯一性，即有且只有一个符合条件、
对这种有关唯一性的证明题型，如果直接证明则往往没有反证法效率高，因此在解决此种问题时大多会采用反证法来证明、
例3 求证：方程3x=17的解是唯一的、
分析：可以通过假设存在两个解，得出矛盾、
由对数的定义易得，方程的一个解是x1=log317、
假设还存在一个解x2，且（x2≠x1），则有3x2=17、
因为3x1=17，即3x23x1=1、（1）
由假设x2≠x1，即x2-x1≠0、
当时x2-x1>0，3x23x1>1、（2）
当时x2-x1
【关键词】反证法 实变函数
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）12-0068-01
数学的证明方法主要分为直接证明和间接证明。反证法是间接证明的一种，在数学证明中有着独特和重要的作用，不管是在初等数学还是在高等数学中，反证法的应用都十分广泛。反证法能将一些正面复杂的问题简单化，即避开问题的正面，从反面寻求解决办法。任何问题都能一分为二，其中一面复杂，另一面自然相对简单。这是反证法的直观理解，下面给出严格的定义。
一 反证法的概念及一般解题步骤
1、定义
反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法。换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中推出明显的矛盾（主要包括与题设的矛盾，与已知定理、公理、定义和性质的矛盾），从而得出原命题成立。
2、逻辑依据
反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的矛盾律和排中律。人们在实践中得出这样的规律：对于任何一个命题，它要么是真命题，要么是假命题，不可能出现既真又假，不真不假的情况，也即是说不可能有第三种情况的存在。这就体现了逻辑学中的矛盾律和排中律。
3、一般的解题步骤
反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
二 实变函数教学中适用反证法的几种问题
证明某些存在性问题，这类问题需要证明存在即可，从正面去证需要一一验证，有时不容易做到，这时可以运用反证法，否定结论得出矛盾会容易一些。
例1，若 的基数为c，证明：存在n0，使得An0的
基数也是c。
证明：由于 =c，我们不妨设 。用反证法，
若
=pi（Ai），i=1，2，…，则 ≤
所以对每个i，存在εi∈R＼ 。于是ε=（ε1，ε2，…，εn，…）
∈E∞。下证 。事实上，若 ，则存在i，使
得ε∈Ai，于是εi=pi（ε）∈pi（Ai）= ，这与εi∈R＼
矛盾，所以 ，这又与ε∈E∞矛盾，所以至少存
在某个i0，使 。
对于存在性的问题，从反面证明比正面证明容易下手，证明过程也比较简单，所以对于这类存在性问题的教学，采用反证法会起到很好的效果。
1、证明某些集合相等或包含命题
这一类命题，当从正面很难推导出集合之间的包含关系时，则考虑从反面运用反证法证明。
例2，证明（AB）′=A′。
证明：因为A?AB，B?AB，故A′?（AB）′，B′?（AB）′，从而A′′?（AB）′。另一方面，假设P?（AB）′，则必有P?A′′。否则，若P ? A′′，那么将有P ? A′且P ? B′，因而有P的某一邻域（P），在（P）内除P外不含A的任何点，同时有P的某一邻域（P），在（P）内除P外不含B的任何点，则由邻域基本性质知，存在（P）?（P）（P），在（P）中除P外不含AB的任何点，这与P?（AB）′ 的假设矛盾。
在这个题目中，如果直接证明，由于P?（AB）′ 不能直接推出P?A′或P?B′，所以直接证明行不通，只能转化为反面才能证明。由此可以看出反证法在证明集合相等方面的重要性。
2、证明某些函数列收敛命题
这类命题的特点是，正面直接推导时，没有相关的定理或性质作为依据，即所给的条件不满足已知的定理。此时，需要从问题的结论出发进行推导，得出与条件的矛盾。
例3，设mE
证明在E上依测度收敛于f（x）。
证明：若在E上，fn（x）不依测度收敛于f（x），则存在
δ0>0，使得 mE[| fn-f |>δ0]≠0，从而可知，存在ε>0以及
子函数列{ fnk }，使得mE[| fn-f |>δ0]>ε>0。又可知，存在{ fnk }
的子函数列{ fnkj }在E上a、e、收敛于f，由于mE
三 结束语
由以上几个简单的小例子可以看出，反证法在实变函数教学中的应用很广泛，应该要求学生掌握这种证明方法。并且，在讲解时，重点是让学生掌握这种证明方法的思想和内部逻辑依据，这样才能真正达到教学效果。
参考文献
[1]程其襄、张奠宙、魏国强等编、实变函数与泛函分析基础（第三版）[M]、北京：高等教育出版社，2010
关键词： 数学教学 逆向性思维 培养方法
逆向性思维，是指在思维过程中从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题的一种思维方式，其具有间接性、突变性和反联诘性。
中学在培养和发展学生的逻辑思维过程中，无论是教师讲，还是学生学概念、定理、例题等知识，往往都习惯于从正面看、正面想、正面去解决问题，形成一种思维定势。这种定势，对解陈题、同一类问题，学生有法可依、有路可循，能够迅速解决，是一种正迁移，但对培养学生思维的灵活性、创造性，则十分不利，学生在新问题、活问题面前，就会感到束手无策，寸步难行。所以在素质教育以培养创造能力为首要任务的今天，让学生养成“经常进行逆向思维、活性思维”的习惯，是十分必要的。它摆脱了思维定势，对产生新的思想、新的方法起着非常重要的作用。怎样才能较好地培养学生的逆向思维能力呢？我以为，在数学教学中，可以经常加强以下几个方面的训练，在问题中渗透其思想。
一、在解题中，将定义、定理、公式、法则加以逆用，这是最基本的一种逆向思维
例1：求值：2-6・2+15、2-20・2+15・2-6・2+1
分析：二项式定理的逆用
解：原式=C・2（-1）+C・2・（-1）+C・2・（-1）+C・2・（-1）+C・2・（-1）+C・（2）・（-1）+C・（-1）=（2-1）=1
例2：tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是?摇?摇?摇?摇。
解：tan60°==
tan20°+tan40°=-tan20°・tan40°
tan20°+tan40°+tan20°tan40°=
二、原命题成立，想一想其逆命题成不成立
如：公差d≠0的等差数列{a}的前n项和S=na+n（n-1）d是关于n的二次函数。想一想它的逆命题成不成立？即如果数列{a}中S=an+bn+c，这个数列是等差数列吗？由此可得一个重要的结论：若数列{a}的S=an+bn+c，则该数列为等差数列的充要条件是c=0。
三、正难则反思想的渗透教育
1、反证法。
当直接证明一个结论成立比较困难时，就从结论的反面去思考，假设这个结论不成立，并以这个假设为依据推导出与已知条件或其它事实相矛盾的结论，这说明假设是错误的，即这个假设不能成立，那么原命题就肯定成立。
例3：已知：f（x）=x+px+q，
求证：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于。
分析：直接证显得繁杂困难，而其反面却只有一种情况，用反证法是最佳证法。
证：假设命题不真，则|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于，
即|f（1）|＜|f（2）|＜|f（3）|＜?圯-＜p+q＜- （1）-＜2p+q＜- （2）-＜3p+q＜- （3）
得-＜2p+q＜-，这与（2）式相矛盾，故假设为假，从而原命题为真。
2、分析法。
从欲证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，只要使不等式成立的条件具备，就可判定原命题成立。这是执果索因。
例4：已知a、b、c＞0，求证：++≤。
分析：直接证似乎无从入手，考虑用分析法，去探寻更简单、更明显成立的条件不等式。
证：要证++≤
需证：++≤3
需证：++≤3
即证++≤6
即证（+）+（+）≥6①
a、b、c＞0
+≥2，+≥2，+≥2
①式显然成立，故原不等式成立。
3、反推理。
顺推不行时考虑逆求，从问题的结论出发，根据结论的特征去找还缺的条件。
例5：设有n个球，甲、乙两人按如下方法做游戏：两人轮流去拿球，每人一次可随意拿一个或两个球，但不准不拿，谁取得最后一个球谁败。如果甲先拿，试就a的值分析甲的胜败。
在这里，如果先直接从n的值出发，顺向去讲将十分困难。考虑从后面逆向反推，甲最后一次取时剩2个或3个球，甲取走1个或2个，剩下最后一个由乙取，则甲胜。
要保证甲最后一次取时剩2个或3个球，则倒数回去的一次乙取时应剩4个球。那么甲倒数第二次取时应剩5个或6个球……
这样逐一倒推回去，甲开始取时，球数n=3k或3k+2时，甲必胜。
具体操作如下：
设n=3k或3k+2个球时，甲相应走2个或1个球，剩下的球数为3k+1。然后乙取，若乙取2个，甲就随之取1个；若乙取1个，甲就随之取2个。总之，甲就取球数与乙取球凑成3，从而使乙取球时，球数都是3的倍数加1，最终使乙取走最后一个。
如果n=3k+1，甲必败。这是因为甲第一次无论取1个或2个球，乙第一次取球时，球数必是3的倍数或3的倍数加2。由前述讨论，乙必胜。
4、直接解决不易时，考虑间接解决。
例6：如图，在一段线路中并联着3个，自动控制的常用开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0、7。计算在这段时间内线路正常工作的概率。
分析：直接求，情况较多，包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其中某2个开关闭合、恰有其中某3个开关闭合等情况。为此，转而先研究其对立事件的概率。
解：分别记这段时间内开关J、J、J能够闭合为事件A、B、C。由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P（・・）=P（）・P（）・P（）=［1-P（A）］［1-P（B）］［1-P（C）］=（1-0、7）（1-0、7）（1-0、7）=0、027。
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1-P（・・）=1-0、027=0、973。
答：在这段时间线路正常工作的概率是0、937。
5、反例。
反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。在科学研究中，往往是实验、观察、分析与归纳的基础上，首先提出猜想，再去验证猜想的结论所提示的规律是否正确。对猜想给出证明或反例是数学家的重要任务。正如美国数学家盖尔鲍姆所指出的，数学是两大类――证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标――提出证明和构造反例迈进。
例7：判断下述命题是否成立：
已知T、T分别是f（x）、g（x）的最小正周期，则T、T的最小公倍数是f（x）+g（x）的最小正周期。
分析：T、T的最小公倍数必是f（x）+g（x）的周期，但是否最小，就不见得。反例：先把一个周期分为三段――前两段用相同一升一降的曲线，后一段重合于轴的线段，以此作为f（x）在周期T内的图像；前两段用重合于x轴的线段，后一段用一升一降的曲线，作为g（x）在周期T内的图像。如下图，容易看出，f（x）、g（x）的最小正周期并不是T，而是。
又如数学家费尔马曾猜想，对任何非负整数n，形如2+1的数都是质数。在n=0，1，2，3，4时，这个结论确实是正确的。但是后来著名数学家欧拉举出了一个反例，当n=5时，2+1=4294967297=641×6700417，是合数，于是这个猜想被了。
关键词：不等式证明；高中数学；分析法；比较法
在现实生活中，既有大量的等量关系存在，同时又存在很多不等量的现象，描述这种不等量的不等式就应运而生。不等量关系是高中数学的重要研究内容，不等式的研究是其中一个重要的方面。不等式在高中数学中的地位非常重要，在历年的高考中也多有出现。因为不等式的形式多样，所以证明不等式也没有固定的章法可循。我们在平时的教学中要教育学生尽量多地运用灵活多样的方法加上大量解题积累的技巧，力争攻克这一难点。结合自己的教学实践，我总结了以下几种证明不等式的方法，仅供大家参考。
下面介绍几种常用的不等式证明方法：
一、比较法证明不等式
二、分析法证明不等式
分析法是从给出的不等式入手，通过分析，找出该不等式能够成立的条件，这样题目就从证明不等式转变为证明这些条件是否成立，如果这些条件都能够成立，就可以得出不等式成立的结论，这就是分析法。运用分析法证明不等式的思路是“寻根问源”，即从不等式开始，寻找该不等式成立的条件，进而证明不等式的成立。
三、综合法证明不等式
所以，当我们运用综合法来证明不等式的时候，一般过程就是从给出的条件出发，层层推进，经过周密的逻辑推理，运用已经掌握的定理、定义和公式等，最终达到需要证明的结论，综合法也是一种常用的不等式证明的方法。综合法与分析法是两个方面的对立统一：综合法是“由因寻果”，利用已知探求未知，具有清晰的条理，比较符合人们的日常习惯性思维；分析法是“知果找因”，这种方法的特点是指向明确、思路清晰。两种方法是对立统一的，因此在实际运用时，二者经常是相互联系的。在使用综合法证明不等式的时候，如果遇到难以入手的情况，经常会先运用分析法去探求阶梯的思路，然后再用综合法的形式将证明过程写出来，这样比较符合人们的思维习惯。在遇到难度较大的不等式证明题时，往往是既运用综合法，又运用分析法进行分析，二者相互转化、渗透，相辅相成。
四、反证法证明不等式
有些从正面证明不容易阐述清楚的不等式，就应当考虑运用反证法来证明。适合运用反证法论证的命题，多数存在诸如“唯一”“至少”或其他否定性词语。在运用反证法证明一个不等式的时候，基本的思路是：首先针对给出的命题，假定该命题结论不成立；接下来进行推理，结果出现推理结论与已知的条件相矛盾，或推理结论与已经掌握的定理或公理相矛盾；由于上述矛盾的产生，可以断定，开始的假定“该命题结论不成立”是错误的假定；所以得出结论：原命题的结论是正确的。
五、放缩法证明不等式
总而言之，作为高中数学重点内容的不等式，是继续学习高等数学的重要工具和基础知识。若要掌握如何证明不等式，就需要理解、掌握证明不等式的多种方法，还需要对这些方法融会贯通，综合加以运用。限于篇幅，本文只是列举了不等式证明的几种方法，还有更多的方法有待于继续进行研究。
参考文献：
[1]田寅生、一个不等式的推广、加强及应用[J]、数学通报， 2004（2）、
[2]付荣强、讲透重点难点、吉林教育出版社，2007、
[3]胡汉明、不等式证明问题的思考方法、数学通讯，2001（9）、
[4]佟成军、一个不等式的加强及证明[J]、数学通讯，2006（7）、
关键词：比较法；分析法；综合法；反证法；放缩法；数学归纳法；换元法；基本不等式；导数法
不等式是中学数学教学中的重点与难点，因此在历年高考复习中颇令师生们为之头疼。由于不等式的形式各异，证明没有固定的模式模仿，并且技巧多样，方法灵活多变，因此熟练掌握不等式的证明是中学数学教学的重难点之一。这里精选了九种不同方法对不等式证明进行了详细讲解和研究。
一、比较法
二、分析法
分析法的思路是逆向思维，用分析法证明必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充要条件。应用分析法证明问题时要严格按照分析法的语言表达，下一步是上一步的充要条件。
需要注意的是：运用分析法时，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的不等式，常考虑用分析法。
三、综合法
从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
四、反证法
从命题否定的结论出发，经过推理论证，得出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法。用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一推出矛盾。
反证法证明一个命题的思路及步骤：
（1）假定命题的结论不成立。（2）从假设出发进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出现，可以肯定原来的假设“结论不成立”是错误的。（4）肯定原来命题的结论是正确的。
如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至多”“至少”等方式给出，一般要考虑用反证法。
五、放缩法
放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明。放缩法的目的性强，必须恰到好处，同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。否则不能达到目的。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点，掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
六、数学归纳法
当遇到与正整数n有关的不等式证明，应用其他办法不容易证时，可以考虑采用数学归纳法。
用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可以采用分析法、比较法、综合法、放缩法等证明。
七、换元法
所谓“换元法”，就是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证题。其换元的实质是转化，关键是构造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
八、基本不等式
创造基本不等式的条件，护理拆分项或配凑项是常用技巧，其中拆与凑的目的在于满足基本不等式条件，通常是考虑分母的代数式，考虑将整式拆分与配凑成与分母有关的式子与常数的和。
九、导数法
利用导数法证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）什么时候可以等于0，这往往就是解决问题的一个突破口。
关键词：不等式；证明方法；方法探究
前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1、不等式的概念
不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如： f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示 “＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2、常见不等式证明的几种方法
不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2、1利用比较法法证明
在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一、不等式移项后因式容易分解或配成平方；二、不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
2、2利用分析法证明
分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
2、3利用反证法证明
反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
2、4利用换元法证明
换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
2、4、1、增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
2、4、2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
2、4、3、比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
结束语：
本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题， 它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究
前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1、不等式的概念
不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如： f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示 “＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2、常见不等式证明的几种方法
不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2、1利用比较法法证明
在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一、不等式移项后因式容易分解或配成平方；二、不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
2、2利用分析法证明
分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
2、3利用反证法证明
反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
2、4利用换元法证明
换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
2、4、1、增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
2、4、2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
2、4、3、比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
结束语：
本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题， 它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究
前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1、不等式的概念
不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如： f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示 “＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2、常见不等式证明的几种方法
不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2、1利用比较法法证明
在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一、不等式移项后因式容易分解或配成平方；二、不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
2、2利用分析法证明
分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
2、3利用反证法证明
反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
2、4利用换元法证明
换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
2、4、1、增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
2、4、2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
2、4、3、比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
结束语：
关键词：灵活运用法， 数形结合， 不等式
Abstract：If we can use a somewhat more flexible conventional method (namely the flexibility method),by using several form bining basic mathematical thought, function, we will prove inequalities related problems、
Key words: flexible conventional method, bining basic mathematical thought, inequalities
不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等、要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围、
一、不等式的证明方法
1、比较法：
（ 1）作差法比较：、
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差、
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和、
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号、
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小、
（2）
例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之、
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 、
解：由题意得、
证明：（比较法）、
，，
、
2、分析法：执果索因、基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件、
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达、
例2、若，且为非负实数，求证：、
证明（分析法）：要证，
只需证明，
展开得：，
又，即证 ，
为非负实数，，，，
三式相加得：，
成立，、
3、综合法：利用不等式的性质和已经证明过的不等式以及函数的单调性导出特征不等式的方法叫做综合法，概括为“由因导果”。综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以在实际证题时，往往 分析法分析用综合法写出。
例3设a,b,c都是正数，求证：
证明(综合法)：a,b,c都是正数，
都是正数，
三式相加得：
点评：通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是知果索因，后者是由因导果，为沟通联系的途径，证明时往往使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的。
4、反证法：正难则反、
证明步骤：假设结论不成立，由此出发进行推理，最后导出矛盾的结果，从而得出所证的结论一定成立。
例4 已知 、 、 、 ，且 、求证： 、 、 、 中至少有一个是负数、
证明：（反证法）：假设 、 、 、 都是非负数，
， 、
又 、
这与已知 矛盾、
、 、 、 中至少有一个是负数、
5、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的、 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。下面举几个例子说明这个问题。
常见的放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；
③利用基本不等式，如：；
；
④利用常用结论：
；
； （程度大）
； （程度小）
、6、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元、
如：已知，可设；
已知，可设()；
已知；
已知；
已知。
7、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
例6求证：
证明（构造法）：设
则
(1)
(2)
而 的定义域中的一个值，
所以是它的值域中的一个值。
由（1）和（2），知
综上：
⑻数学归纳法法
摘要：不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等、要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围、 若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题、
关键词：不等式、证明、比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、判别式法、放缩法
关键词：初中数学 解题 方法
中图分类号：G633、6 文献标识码：C DOI：10、3969/j、issn、1672-8181、2014、18、112
随着社会科技的高速进步，数学学科的不断发展，以及对数学对象的深入研究，初中数学的难度越来越大，给学生们带来无形的学习压力。数学题目由于难度不断增加，仅仅靠用传统的题海战术来提高解题能力的做法难以收到良好的效果。所以，在数学教学中加深对解题方法的探讨，使教师和学生们共同掌握规律性的方法，得到多数人的认可，这也是未来数学教学改革的方向之一。因此，本文通过列举几种常见的初中数学解题方法，给予同学们解题思路的指引，以达到掌握解题规律，缓解学习压力以及提高学习效率的目的。
1 配方解题法
将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。通常用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化筒根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2 换元解题法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、 变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
3 待定系数解题法
它是中学数学中的一种比较常用的方法。有些时候通过题干就能确定出结果含有某种待定的系数，那么可以通过题目的条件来列出关于待定系数的等式，找出其中的某种关系，从而来解决看似比较困哪的题目。
4 判别式法解题法
可以利用方程式ax2+bx+c=0中=b2―4ac的定理，它的用处不仅可以用来断定根的性质，而且对于代数式变形、求解方程组、不等式求解、几何图形分析更是一种解题方法。韦达定理最基本的用途在于根据一根求解另一个根或者根据两个数的和与积，分别求出这两个数。另外，利用判别式求出方程根的对称函数以及判断根的符号，甚者解答二次函数等复杂问题。判别式法应用面广泛，运用灵活多变，是必须掌握的有效方法之一。
5 面积解题法
在平面几何版块中，根据几何固定的面积公式推导与面积计算相关的性质，利用这种性质和关系证明或者计算面积的方法称为面积法，利用面积法往往能收到事半功倍的效果。几何题目中已知量和未知量都可以通过面积公式充分联系起来，并计算出所需要求证的结果。面积解题法的便捷之处在于善于利用面积法来分析几何元素间的联系，适当的时候只要稍添置辅助线就能分析之间的数量关系。
6 反证解题法
反证解题法与正面解题的思路不同之处在于方法预先提出与命题结果截然相反的假设。下一步根据这个假设为起点，按照逻辑层层推理，最后推导出矛盾，以此断定该假设为假命题，从反面肯定原命题为真命题。反证解题法有两种，一类为归谬反证法，另外一类为穷举反证法。反证法命题证明一般过程为：提出假设；进行归谬；求出结论。
提出反面假设是该方法的第一步，在做出假设之前，需要熟悉一些反设术语具体像：是与不是，存在或者不存在，是否平行，垂直与否，等于或是不等于，小于还是大于，至少有n个与至多有（n―1）个等等。其中反证解题法的关键是归谬，虽然推出矛盾的过程是灵活多变的，但以反面假设为依据是基础，否则推导过程将无法进行。通常导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾、与反设矛盾、自相矛盾。
7 其他解题法
①直接推演法：根据题目给定的条件为出发点，把所学的概念、公式、定理带入题目之中进行推理或运算，最后推导结论，这是解题过程中的传统方法，我们把这种解法叫做直接推演法。
②答案验算法：利用题目寻找合适的验证条件，再根据下一步的验证，试图求出正确答案，同时也可以将提供的参考答案代入题目中进行验证验算，确定哪一个答案是正确的，这种方法叫做验证法（也称代人法）。这种方法常常运用于定量命题题目之中。
③数字图形元素法：元素法通常把数字又或者图形是代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这是特殊元素法的典型特点。
④排除法：由于选择题的正确答案通常都是唯一的，教师引导学生根据数学知识或推理、演算，排除错误的选项，再把其余的答案进行二次筛选，最终选出正确结论，这种方法的叫排除、筛选法。
⑤作图法：依据已知的条件，画出图形，借助图形形象具体的特点把抽象的命题简单化，以图象的性质、特点来判断，做出正确的选择。这称为图解法。图解法通常应用于选择题或者是应用题。
⑥分析法：直接按照题目给予的条件和结论，按照逻辑顺序一步一步作详尽的分析、归纳和判断，继而不断计算和推导正确答案，这一类方法称为分析法。
8 结语
数学学科是学习其他理工科课程的前提和基础，对学生们以后的工作和生活产生深远影响。灵活有效的数学解题方法，往往能够起到事半功倍的作用。教师在数学教学过程中，要善于剖析课程内容的重点和难点，探索不同种途径构建适合学生的解题方法，从而不断培养学生的数学思维以及解题能力。
参考文献：
[1]李建亮、在初中教学中数学思想方法渗透之我见[J]、
[2]曹一鸣、数学教学模式研究综述[J]、
[3]赵艳凤、对初中数学思想方法教学的几点思考[J]、