一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系。
在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。乌辛斯基早就指出：“所谓智力发展不是别的，只是很好组织起来的知识体系。”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义。数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的。”这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。如学习“能同时被2、5整除的数的特征”时，我们是通过演绎推理得到的：
所有能被2整除的数的末尾是0、2、4、6、8；
所有能被5整除的数的末尾是0、5；
因此，能同时被2、5整除的数的末尾是0。
数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识，他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理。
学生知识的习得和构建，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握，沟通新上知识的互相联系，形成新的认知结构系统，这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容：一是新旧知识建立下位联系；二是新旧知识建立上位联系；三是新旧知识建立联合意义。这三方面与逻辑结构中的三类推理恰好建立相应的联系。推理，是从一个或几个已知的判断得出新的判断的过程。通常有：演绎推理（从一般性的前提推出特殊性结论的推理）；归纳推理（从特殊的前提推出一般结论的推理）；类比推理（从特殊的前提推出特殊结论的推理或从一般前提推出一般结论的推理）。如：教学“循环小数”时，先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。观察各式的商学生们直观认识到：小数有有限小数、无限小数之分。进而从一组无限小数中，发现了循环小数的本质属性，得到了循环小数的定义。由两个或几个单称判断10.333…的数字3依次不断地重复出现，2.14242…的数字42依次不断重复出现等，得出一个新的全称判断（循环小数的定义）是归纳推理的一种方法。
在教学的过程中，教师结合教学内容，有意识地把逻辑规律引入教学，注意示范、点拨，显然是有利于发展学生的逻辑思维能力。
二、逻辑推理在教与学过程中的应用。
1.如果原有的认知结构观念极其抽象，概括性和包容性高于新知识，新旧知识建立下位联系、新知识从属于旧知识时，那么宜适当运用演绎推理的规则，由一般性的前提推出特殊性的结论。
“演绎的实质就是认为每一特殊（具体）情况应当看作一般情况的特例”。为了得以关于某一对象的具体知识，先要找出这一对象的类（最近的类概念），再将这一对象的类的属性应用于哪个对象。如：运用乘法分配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能得出：
999×999+999=999×(999+1)=999000
这里999×999+999=999×(999+1)是根据一般性判断a×c+b×c=(a+b)×c推出的。当学生理解这种推理的顺序，且懂得要使演绎推理正确，首先要前提正确，并学会使用这样的语言：
只有两个约数（1和它本身）的数是质数；
101只有两个约数；
101是质数。
那么，符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。
在知识层面中，这种类属过程的多次进行，就导致知识不断产生新的层次，其逻辑结构就越加严密，新的知识也就会不断分化和精确化，就可以逐渐演绎出新的类属性的具体知识。教学中正确把握这种结构，用演绎推理的手段组织学习过程，不但能培养学生的思考方法，理解内容的逻辑结构，还能提高学生的模式辨认能力，缩短推理过程，快速找到解题途径。
在新旧知识建立下位联系时，整个类属过程可分化为两种情况。
(1)当新知识从属于旧知识时，新知识只是旧知识的派生物。可以从原有认识结构中直接推衍。新知识可以直接纳入原有的认知结构中。
如学生已学过两位数的笔算，清晰而稳固地掌握了加法的计算法则，现在要学三、四位数的加法，只要让学生思考并回忆两位数加法计算的表象结构，适当地点拨一下三、四位数加法与两位数加法有相同的笔算法则，学生就能顺利解决新课题。新知识很快被旧知识同化，并使原有笔算法则得到充实新的知识获得意义。虽然这些知识的外延得到扩大，但内涵不变。
教学中，掌握这些知识的内涵的逻辑结构，就会有一个清晰的教学思路，就会自觉地运用演绎推理的手段，与学生一起愉快地顺利地进行下位学习。就不会在讲三、四位数加法时，着眼于竭力以三、四位数加法为例证，说明加法的计算法则。
【关键词】刑法适用民众共识概念分析法经验逻辑
刑法是关于对国家的秩序维持价值、民众的安全安宁价值、被害人的需要被抚慰价值、犯罪人的人权保障价值在冲突时进行协调的法律。上述四个价值的冲突及协调被规定在刑法文本中。刑法的适用，就是司法人员在坚持罪刑法定原则、罪刑相适应原则、罪刑人人平等原则的前提下，对上述四个价值的冲突给予协调的过程，也就是指在刑法领域中追求公平、正义的问题。法院裁判文书中的实体裁判结果是对上述四个价值在产生冲突时的一个协调结果。因此，其协调的过程怎样，是否符合广大民众关于公平、正义的理解，是刑法适用必须解决的问题。
人类对自然界的认识必须通过经验与逻辑相结合的方式才能完成。就今天的人类社会来说，认识客观事物必须通过经验与逻辑的结合方式才能进行。人类社会发展到今天，人们对自然界的认识还是有限的，大到宇宙的形成、发展或终结，小到对人体结构的微观认识，人们必须通过对人类经验进行总结之后，再以逻辑思维的方式重现其客观规律性。通过经验与逻辑的结合方式认识事物，不仅表现在自然科学领域，同样也表现在社会科学领域，例如在法律领域中的刑法适用就是如此。
刑法文本是经验与逻辑的结合
刑法具有鲜明的经验性特点。如前所述，刑法追求的是刑法领域中的“公平、正义”问题。但是，公平、正义是一个带有很大不确定性的问题，世界上不存在对该问题的唯一答案。我们所追求的公平、正义属于一个永远带有不完美特点的领域。美国当代著名哲学家约翰・罗尔斯在《正义论》第一编第一章（作为公平的正义）中说道，正义是社会制度的首要价值，正像真理是思想体系的首要价值一样……允许我们默认一种有错误的理论的唯一前提是尚无一种较好的理论，同样，使我们忍受一种不正义只能是在需要用它来避免另一种更大的不正义的情况下才有可能。①
在刑法领域中追求公平、正义，就必须考虑“公平、正义”的不确定性特点。因此，一个国家在制定刑法时，在协调刑法上述四个价值的冲突时，必须考虑民众的感觉，必须考虑他们关于某一刑法问题的共识。例如，关于什么是“诈骗罪”，立法者在制定刑法规范时就必须考虑民众是如何理解“诈骗”二字的。刑法的公平、正义问题必须体现民众的共识。而掌握民众的共识，则需要立法者必须有充足的社会经验，有能力把民众的共识提炼出来并在刑法文本中给予智慧安排。
刑法具有鲜明的逻辑性特点。第一，刑法总则与分则之间具有严密逻辑性特点。我国《刑法》分为总则与分则。总则规定的是关于刑法基本原则、效力、共同犯罪、犯罪形态等一般性问题。分则是关于具体犯罪的规定，主要是根据犯罪的客体对犯罪做了10大类划分，其中对具体犯罪的构成（尤其是客观方面）做了细致规定。立法者对总则与分则的关系做了逻辑性划分，总则对分则具有统领作用，这就体现了严密的逻辑性特点。第二，分则对具体犯罪的划分也体现了严密的逻辑性。刑法分则目前共涉及大约445个罪名，不同的罪名所涉及的犯罪构成既有区别又存在重叠、交叉等现象。对这些具体犯罪构成的区别、重叠或交叉等现象，立法者在制定刑法时都在遵循罪刑法定原则、罪刑相适应原则、罪刑人人平等原则的前提下给予了智慧安排。这种安排的“智慧性”体现在其有严密的逻辑性特点。
刑法文本是经验与逻辑的结合。立法者在制定刑法时，关于上述四个价值冲突的协调，必须体现经验性特点。如上所述，立法者必须把民众对刑法领域的公平、正义的理解体现在刑法文本中，否则，制定出来的刑法就不可能得到广大民众的支持。立法者在制定刑法时还必须体现严密的逻辑性特点。因为，如果制定出来的刑法缺乏逻辑性，那么对于司法人员来说就无法对其进行解读，也就不可能对其进行正确适用问题，因此，刑法具有严密的逻辑性特点。刑法文本既体现了立法者对民众共识的寻找结果，也体现了让适用者能够寻找到其立法本意的逻辑性。因此，刑法文本是经验与逻辑的结合。
刑法适用既是经验的，也是逻辑的
刑法只有在被适用的过程中才能体现其鲜活的生命力。刑法被制定出来之后是要被适用的，否则就没有制定的意义。如上所述，刑法规定的是对四个价值的冲突进行协调所体现的公平、正义问题，不同的人对公平、正义的理解皆有可能出现差异，因此，司法人员把刑法条文适用到一个个具体的案件中，即是在一次次地协调上述四个价值之间的冲突。司法人员对刑法的每一次适用，都是对刑法关于该案件涉及的公平、正义的解释，而每一次解释都体现了刑法的生命性。
刑法适用既是经验的，也是逻辑的。首先，《刑法》的基本原则规范了司法人员必须体现刑法文本关于公平、正义的追求。刑法规定了罪刑法定原则、罪刑相适应原则、罪刑人人平等原则。这些原则要求司法人员在适用刑法的过程中不得超出刑法规定的罪与非罪的界限、此罪与彼罪的界限、刑罚轻重要相适应的界限。其次，司法人员在适用刑法过程中只有娴熟地掌握经验法则与逻辑法则，才能胜任刑法适用的任务。由于刑法文本是立法者在刑法中体现了民众的共识且具有逻辑性特点，因此，司法人员在适用刑法时，也就必须掌握经验法则和逻辑知识。否则，司法人员就不可能对体现了经验性与逻辑性相结合的刑法文本进行正确解读，也就不可能谈得上能够体现了罪刑法定原则、罪刑相适应原则、罪刑平等原则。综上所述，刑法适用要求司法人员必须掌握经验法则与逻辑规则，并使二者做到有机结合。
司法人员在刑法适用中如何做到经验与逻辑的结合
要加强社会生活经验的积累。司法人员必须能够解读出来立法者凝聚在刑法文本中的民众共识。因为刑法文本关于犯罪的规定是采用极具有抽象性、概括性的语言体现出来的。例如，关于“诈骗罪”的描述：“诈骗公私财物，数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。本法另有规定的，依照规定。”如何理解“诈骗”二字，是认定“诈骗罪”成立与否的关键。这就要求司法人员有相当的经验积累才能准确揣摩立法者关于“诈骗罪”成立与否的意图。司法人员的社会生活经验积累的程度如何，对于刑法领域中的公平、正义能否实现具有重要意义。一般来说，司法人员的社会生活经验的积累是与年龄成正比的。国外有些国家对法官的任职年龄要求较高，就是考虑到其社会生活经验积累的程度会影响对案件的正确裁判。这也是我国应该适当借鉴的。
要掌握语言学。司法人员适用刑法的过程，实际上就是揣摩――也就是认识立法者的意图问题。而司法人员认识立法者的意图的途径只能通过刑法文本所采用的语言。刑法文本的语言具有以下两个特点：第一，凝聚着民众的共识。立法者制定的刑法要想得到广大民众的支持，并在广大民众中得到贯彻、执行，就必须把民众共识凝聚在刑法文本中。第二，语言具有高度的概括性、抽象性特点。立法者在制定刑法时，为了使刑法能够得到广泛、长期的适用，不至于因规定的不具有张力而使其适用范围受到限制，或导致其生命期过短，因而采用的语言往往具有鲜明的概括性、抽象性特点。第三，语言具有一定程度的不确定性。语言是人们在劳动中创造、发展的，而社会生活是不断变化的。总之，只有掌握其特点，才能了解刑法规范本身也具有一定程度的不确定性，从而去寻找如何解决刑法规范所体现的不确定性的办法。
要掌握概念分析法。解决刑法规范所体现的不确定性的办法，从很大程度上说，就是要寻求逻辑方法。因为司法人员（尤其是法官）需要在裁判文书中做出如何把刑法规范的抽象规定适用到一个个具体的案件中的解释――这就是辨法析理。在刑法适用中，司法人员的逻辑分析，必须把对刑法规范概念进行分析作为重要途径。刑法规范概念的分析属于概念分析的一种。“概念分析通过区分观念（ideas）和范畴的逻辑结构或必然的（necessary）、本质的（essential）属性来探求我们的世界的某些方面的真（truth）。”②作为司法人员来说，把刑法规范适用到一个个具体的案件中，并且还必须遵循刑法中的罪刑法定原则、罪刑相适应原则、罪刑平等原则。例如，“盗窃罪”与“诈骗罪”是两个人们常见的犯罪，但如果司法人员对概念分析法不了解或掌握得不够深入，就不可能对这两个常见犯罪做出准确区分，从而也就有可能出现做出的裁判不能够让当事人和广大民众信服的情况，也就会因此而引起人们对司法公正的不恰当怀疑。（作者为中央民族大学法学院教授）
注释
1、创设情境，激发学生学习几何的兴趣
兴趣是最好的老师，没有学生的学习兴趣，任何教学改革都是搞不好的。介绍几何的发展史，提出一些有趣的几何问题，为学生创设情境，启动思维，从而大大激发了学生学习几何的兴趣。
2、分成三个阶段，逐步培养学生的逻辑思维能力
第一阶段，培养学生的判断能力。要求学生在搞清概念的基础上，通过图形直观能有根据地作出判断，这个阶段，应该看到学生从“数”的学习转入对“形”的研究是很大的变化，而对形的学习开始又接触较多的概念，所以使学生理解所学的概念是一个难点，学生难以适应，并要求用“因为……，所以……，根据……”的模式回答，这能使掌握熟悉推理谁论证的日常用语，逐步养成科学判断的习惯。
第二阶段，培养学生进行简单推理论证的能力。这一阶段要求学生能正确地辨别条件和结论，掌握证明的步骤和书写格式。做法是：分步写好证明过程，让学生的括号内注明每一步的理由；并强调推理论证中的每一步都有根据，每一对“”都言必有据，都是有定义、定理、公理做保证的。此外，还要学生象学写作文一样背记一些证明的“范句”，熟悉一些“范例”，做到既掌握证明方法步骤和书写格式。