关键词：三角函数 高中数学 最值 值域 常见问题 方法探究
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学领域和其他领域中有着相当重要的作用。本文从现代高中教学实际出发，分析并介绍了三角函数中常见的最值求解类型问题，结合具体的实例，阐述了相关问题的典型解题方法，探讨了一般的解题策略与技巧。
一、三角函数的定义
数学领域中，三角函数又叫圆函数，是针对平面直角坐标系而言的角函数，通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。现代数学理论认为，三角函数的定义是把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的值域由实数域的任意正数和负数值扩展到复数值。现代数学领域中，三角函数属于初等函数中的一类函数。
二、三角函数的最值
最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在高中数学教学中也占有比较重要的比重，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，其解法灵活，综合性强，能力要求高。
三、三角函数最值问题的常见类型及求解策略
三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的方法是选取一个恰当的变量θ角，构造以θ角为自变量的函数，通过求三角函数最值来解决。这类问题解题一般流程为：审读题意设角建立三角函数式进行三角变换解决实际问题；通常分两步求解：首先，建立目标函数，其关键是选择恰当的自变量并确定自变量的取值范围；其次，是在符合实际问题意义的情形下求目标函数的最值。故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
高中数学教学中，在三角函数问题分析时，比较常见的类型主要体现在以下几种类型，下面结合实例分析以下它们的解题策略：
1、型如y=asinx+bcosx型的函数
2、型如y=a sin x+b（或y=a cos x+b）的函数
这种类型的函数的特点是由一次函数与正弦函数复合而成的，最值求解可用三角函数的有界性。要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。
例：函数y=k sin x+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。 解：若k>0，则当sin x=1时，y max=2；
当sin x=-1时，y min=－4
k+b=2，-k+b=-4， 解得k=3，b=-1 同理可以求得k＜0的情况。
3、型如y=asin2x+bcosx+c型的函数
此种类型题目的特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，解决思路最好应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。
4、型如y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x型的函数。
此种类型题目的特点是含有sinx, cosx的二次式，他的解题方式是进行降幂处理，再转化成y=asinx+bcosx的形式解题。
凡此种种，还有型如y=型的函数；型如y=sinxcos2x型的函数；含有sinx与cosx的和与积型的函数式等等最值问题均可找到其解题规律。
四、结束语
总之，三角函数的最值问题，是最近几年高考所经常涉及的数学领域，三角函数最值的求解方法，也是比较多样和灵活的。在高中数学教学中，根据实际需要，结合三角函数的性质，明确具体问题的实质，掌握三角函数的最值求解方法，简化三角函数的问题复杂性，可以极其有效的便捷学生处理问题的效率。
参考文献：
关键词:三角函数;典型题型;解题应用
中图分类号:G630 文献标识码:A 文章编号:1003-2851(2012)-08-0128-02
一、高考三角函数考点分析
近几年高考对三角函数部分的考查主要有两个方面:一是三角函数的变换,二是三角函数图像和性质。考查的知识点:
1、三角函数的图象和性质是考查的重点。2、三角函数的化简求值是常考题型。3、考应用,建立三角模型。4、考综合,突出三角的函数性质。
二、高考三角函数典型题型解析
1、三角函数图像变换
图像变换是三角函数的考察的重要内容,解决此类问题的关键是理解A,?棕,?渍的意义,特别是?棕的判定,以及伸缩变换对?渍的影响。
例如:将函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin(4x+φ)的图象,则φ等于( )
A、-■ B、-■ C、■ D、■
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
分析:利用函数图象的平移,求出函数的解析式,与已知解析式比较,即可得到φ的值、
解答:解:函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin4(?仔+■)的图象,就是y=sin(4x+φ)的图象,故选C
2、常见的几种三角函数求值题型。
(1)y=asinx+b、(或y=acosx+b)型
基本思路:利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解,但必须注意字母a的符号对最值的影响。
例:求函数y=asinx+b(a≤0)的最大值。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,且a≤0,从而函数 y=asinx+b(a≤0)的最大值为-a+b。
(2)y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)型
基本思路:可令t=sinx(或t=cosx)t≤1化归为闭区间上的二次函数的最值问题。
例:求函数y=sin2x+2cosx-3的值域。
分析:此类题目可以转化为型y=cos2x+cosx+c的三角函数的最值问题。
解:由于y=sin2x+2cosx-3
=1-cos2x+2cosx-3
=-cos2x+2cosx-2,
令t=cosx t≤1则原式转化为:y=-t2+2t-2 t≤1
对上式配方得:y=-(t-1)2-1 t≤1
从而当t=-1时,ymin=-5;当时t=1时,ymax=-1。
所求函数的值域为[-5,-1]。
(3)y=■(或y=■)型
基本思路:可化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理;或用万能公式换元后利用判别式法去处理,特别a=c时,还可以利用数形结合法去处理。
例:求y=■的值域。
分析:此题我们采用化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理。
解:由y=■得:ycosx-sinx=-2-3y,
■sin(x+?渍)=-2-3y,
sin(x+?渍)=-■
又由于csin(x+?渍)=■≤1
解得:y∈[■,■]。
(4)含有sinx?芄cosx,sinxcosx的函数最值问题
基本思路:可令t=sinx?芄cosx,t≤■将sinxcosx转化为t的关系式,从而化归为二次函数的最值问题。
例:求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。
分析:由于上式展开后为:y=sinxcosx+sinx+cosx+1恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令t=sinx+cosx,t≤■去求解。
解:由y=(sinx+1)(cosx+1)展开得:y=sinxcosx+sinx+cosx+1,
设t=sinx+cosx,t≤■,则sinxcosx=■,
此时:y=■+t+■=■(t+1)2
y∈[0,■]。
(5)含参数型的三角函数的最值问题
基本思路:需要对参数进行讨论。
例:求函数yasinx+b的最大值。
分析:由于a的符号不确定,所以要对参数a的符号加以讨论。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,
当a≥0时,函数y=asinx+b(a≤0)的最大值为a+b;
当a
3、三角函数的单调性综合运用
三角函数是中学数学的七类基本初等函数之一,具有比较完备的函数性质,又因系统的三角公式及其变换,使三角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端,常与函数、三角、数列、解析几何等结合考查。
例:已知函数f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力。
知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识。
技巧与方法:等价转化,逆向思维。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos■+cosxsin■)-■sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+■cos2x=2sin(2x+■)
f(x)的最小正周期T=π
方法归纳:
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有:
1、考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用。
2、三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强。
3、三角函数与实际问题的综合应用
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力,要注意数形结合思想在解题中的应用。
(2)当2x+■=2kπ-■,即x=kπ-■(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2、
三、高考中三角函数的解题应用
高考试题中的三角函数题注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
(一)知识整合
1、熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等。2、熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质。
(二)方法技巧
1、三角函数恒等变形的基本策略
(1)常值代换、(2)项的分拆与角的配凑。(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
2、证明三角等式的思路和方法
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
编者按：最值问题遍及高中数学的所有知识点，综合性强，是高考的必考内容、同时，最值问题可以将各种知识作为背景来进行考查，形式多样，不容易被考生所掌握、如果考生从最值问题的常见类型、求解策略以及解答时的易错点三个角度来备考并加以掌握，其实最值问题也没想象中那么难、
近几年高考中的最值问题，在考查内容上，涉及的知识点广泛，如求函数的值域，求数列中的最大项或最小项，求数学应用问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题；在解题方法上，求最值的方法有很多，如判别式法、均值不等式法、变量的有界性法、函数的性质法、数形结合法等、
1、二次函数的最值
求解二次函数的最值一般是先配方，再借助二次函数的图像解答、数学中的很多最值问题最后常转化为二次函数的最值问题来求解、
例1 （2008年高考重庆理科卷）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为
难度系数 0、70
解 选C、
小结 二次函数的最值问题是其他很多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性最值问题）的基础、最值问题要特别强调“定义域优先”的原则，本题实质上是求给定区间内的二次函数的值域问题、
2、导数法求最值
导数的引入为函数最值的求解开辟了一条新路，我们通常用导数法求函数的最值要比用初等方法简便得多，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法、
设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与， 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值、
例2 （2011年高考江西理科卷）设上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当在上的最小值为，求在该区间上的最大值、
难度系数 0、60
解 （1）解答过程省略、
（2）令，可得两根所以在和上单调递减，在上单调递增、
当时，有，所以在上的最大值为又即在上的最小值为于是得从而在该区间上的最大值为
小结 本题主要考查函数与导数的基础知识、导数是研究函数单调性及最值的有效工具、
3、均值不等式求最值
均值不等式：若，则当且仅当时等号成立、应用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求、
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知两条直线 和l1与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点C，D、记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b、当m 变化时，的最小值为
难度系数 0、55
解 由题意得选B、
小结 本题除了考查考生对对数函数图像的理解外，还考查利用基本不等式求最值的方法、考生在解题时应注意将配凑成的形式，再利用基本不等式进行求解、
4、辅助角型三角函数最值
求函数y=asin ωx+bcos ωx的最值可以转化为求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函数的有界性可求、
例4 （2011年高考新课标理科卷）在则AB+2BC的最大值为 、
难度系数 0、65
解 最大值为2
小结 本题考查正弦定理的应用及三角函数的性质和公式的应用，熟练运用化一公式并利用函数的有界性处理是解答问题的关键、
不等式的恒成立问题
不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题来求解、如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的有成立，求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明难度系数 0、50
解 （Ⅰ）据题意可知函数 的定义域为由当x变化时的变化情况如下表：
因此， f（x）在x=1-a处取得最小值、由题意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1、
（Ⅱ），取，有，故不合题意、当时，令，即，于是
令，得
①当时， 在上恒成立，因此在上单调递减、从而对任意的，总有，即在上恒成立、故符合题意、
②当时，对于，故在上单调递增、因此，当取时，，即不成立、故不合题意、
综上可知，k的最小值为、
（Ⅲ）证明过程省略、
一、形如“？坌x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立问题中最基本的类型，它的等价转化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，则a≥
[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，则a≤[f（x）]max（x∈D）”、许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型中、
例题1（2012年陕西理科高考压轴题）
设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）、
（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间 ，1内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设xn是fn（x）在 ，1内的零点，判断数列x2，x3…xn…的增减性。
解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略
（Ⅱ）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，
对任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等价于f2（x1）-f2（x2）max≤4、
即f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4、
当- >1，即b>2时，M=f（1）-f（-1）=2b>4，与题设
矛盾、
当-1≤- ≤0，即0
当0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立、
综上所述，-2≤b≤2、
二、形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”问题可转化为“a≤f（x）max”来
求解；
而形如“？埚x∈D，a≥f（x）恒成立”问题可转化为“a≥f（x）min”来求解。
例题2（2013年重点中学第一次联考）
设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3、
若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M、
解：由题意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于：
[g（x1）-（x2）]max≥M，g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）、
由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故满足条件的最大整数M=4、
三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
该类问题可转化为“f（x1）max-g（x2）min”来求解。
例题3（2013年重点中学联考模拟试题）
设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3、
如果对任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求实数a的取值范围。
解：由题意，该问题可以转化为：在区间[ ，2]上，f（x）min≥
g（x）max，
由例题3可知，g（x）的最大值为g（2）=1，
f（x）min≥1，又f（1）=a，a≥1
下面证明当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立、
当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，记h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，
可知函数h（x）在[ ，2）上递减，在区间[1，2]上递增，h（x）min=
h（1）=1，即h（x）≥1、
所以当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即对任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立、故a∈[1，+∞）所求、
四、形如“？坌x1∈D，？埚x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
该类问题可转化为“f（x1）max≤g（x2）min”来求解。
例题4（2013年南昌市高三文科第一次模拟题）
已知函数f（x）=ax2-blnx在点[1，f（1）]处的切线方程为y=3x-1、
（1）若f（x）在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，求实数k的取值范围；
（2）若对任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）试求实数c的取值范围。
解：（1）略
（2）设g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根据题意可知g（t）max≤
f（x）min 、
由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），
当c≤1时，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上单调递增，g（t）min=g（1）= +ln2，满足g（t）min≤f（x）min；
当1
g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，
由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此时1+ ≤c
当c≥3时，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上单调递减，g（t）min=
g（3）=- + +ln2、
g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2、
综上，c的取值范围是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）
五、反馈训练题
1、对于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，则实数a的取值范围是__________。
2、若对任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，则实数x的取值范围是__________。
3、（2010年山东理科14题）若对任意x>0， ≤a恒成立，则a的取值范围是__________。
4、已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），对？坌x1∈[-1，2]，？埚x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数a的取值范围是（ ）
A、（0，3] B、 ，3 C、[3，+∞） D、（0， ]
参考文献：
（昭通学院，云南 昭通 657000）
摘 要：函数极值是高等数学的重要组成部分，函数性态是其重要特征之一、函数极值在企业营销中应用非常广泛，利用函数极值思维，可有效确定企业在一定条件下的投入比例，帮助企业获得最大利润、本文首先分析了函数极值的相关知识，并通过举例分析，对企业营销中的函数极值思维应用进行了讨论、
关键词 ：企业营销；函数极值；思维；应用
中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）04-0009-03
数学作为研究现实世界空间形式与数量关系的一门科学，具有很强的逻辑性与抽象性、数学知识赋予了数学原型更为深刻的内涵，现实生活中，我们可以找到很多的数学原型、在快速发展的社会经济时代，经济现象越来越复杂，只靠经验来认识经济活动远远不够，还需要更为科学的方法对经济现象进行分析、人们把高等数学中的函数极值思维应用到企业中，可对企业营销中的市场需求、资金投入、最大收益及库存管理等经济活动进行科学地分析，理清各项参数间的关系，根据已出现的情况进行分析，以获取相关信息，帮助企业营销进行最合理的安排、
2 函数极值的相关知识
2、1 函数极值概念
假设函数f（x）在x0某邻域之内有定义，对邻域中的任一点x且x≠x0，有f（x）＜f（x0），此时，称f（x0）为函数f（x）中的一个极大值、若对该邻域中的任一点x且x≠x0，有f（x）＞f（x0），那么称f（x0）为函数f（x）中一个极小值、其函数极小值与极大值可统称之为函数极值，让函数获得极值点的x0可称之为极值点、
2、2 函数极值存在的条件
在函数极值运算中，包含必要条件与充分条件、其中，必要条件为：如果函数f（x）在邻域点x0处可导，并且能取得极值，那么f’（x0）=0、充分条件为：假设函数f（x）在邻域点x0处是连续的，其左右邻近是可导的，那么具有下列两种情况，如果在x0左侧邻近位置，f’（x0）＜0，而x0右侧邻近位置，f’（x0）＞0，那么x0可称为函数的极小值点；如果在x0左侧邻近位置，f’（x0）＞0，而x0右侧邻近位置，f’（x0）＜0，那么x0可称为函数的极大值点、在实际问题当中，如果已经断定函数f（x）的定义区间存在最大值或者最小值，并且f’（x0）=0的定义区间中，只存在一个根x0值，则能断定在x0处，f（x）能获得最大值或者最小值、通常在企业营销中，涉及二元函数极值思维的问题较多，二元函数极值通常包含无条件极值与条件极值，其中，无条件极值所指的是二元函数当中的两变量是互相独立的，也就是不受其他条件的约束，其极值可称为无条件的极值，被简称为极值、而条件极值问题所指的是在二元函数f（x，y）当中，自变量x、y间，满足一定的条件，即函数ψ（x，y）=0，并且该函数称为约束方程或者约束条件，所求极值是条件极值，两变量间的线性规划问题就是条件极值的问题、因此，运用函数C=f（x，y）中的偏导数及其他方法，可求得函数极值，解决其最大值及最小值在营销中的应用问题、
2函数极值思维在企业营销中的应用
2、1 市场需求中函数极值思维的应用
通常市场对于企业商品需求，不仅会随着价格变化而变化，还会随着其他因素的变化而发生变动，若将消费者收入当作主要的因素，将其他因素当作固定因素，那么商品的需求量则会根据消费者的收入变化而发生变动，并呈现出一定的函数关系，人们把这种函数关系称为恩格尔函数、在企业营销当中，若某商品中的恩格尔函数呈现单调递增的趋势，那么此商品是正常商品；若该商品呈现单调递减趋势，那么该商品则是劣等商品、例如，设定市场中某商品A和人们收入x之间存在恩格尔函数关系，即A（x）=、那么在人们收入x减少时，产品市场需求有这样的趋势：A’（x）=，A’>0，得出产品的市场需求量随着人们收入的减少而减少，这种产品就属于正常商品；当人们收入x=0时，产品的市场需求量为零，市场对产品的饱和需求量为5、再比如，某制鞋厂皮鞋的市场需求量B和当地人们收入x之间的恩格尔函数关系为B（x）=，那么B’（x）=，B"（x）=<0，B（0）=-6，B（3）=0，当人们收入x=0时，人们不会购买这种鞋子；当人们收入x>3时，会有对这种鞋子的需求、通过这样的恩格尔函数与极值的分析，可以帮助企业了解到某种商品在市场需求中的饱和程度，从而调节产品的生产线与库存，更好的促进企业发展、
2、2 企业资金投入中的函数极值思维应用
一些企业与投资商想通过高效率的资源运作来获得最大经济利润，在这些企业与投资商投资之前，需要对将要实施的投资机遇进行一些论证，这就需要有系统的体系对投资过程的各项参数进行分析，以了解资金投入后可能取得的利益与付出的成本，然后再根据这些数据信息进行投资，从而科学合理地做出投资决策，获得较高的投资回报率、
2、3 最大收益问题中的函数极值思维应用
2、3、1 进货量和最大收益间的关系
随着我国经济不断发展，企业的经济观念不断增强，加强成本核算，搞好生产经营，并有效提高企业效益，已成为企业营销当中必须考虑的问题、在当前企业经营当中，影响经营参数的因素较多，有些因素对于营销能否成功是至关重要的，例如，某商店的进货量问题，因商品存放需要费用，若进货量多了，其成本就会增加，而利润相应减少，并且存在积压现象、可进货量太少，则需要多次进货，其劳务费就会增加，因此，寻找恰当的临界点，才能获得最大的利润、
例如：某商店经营销售某品牌的洗衣粉，其年销售量是6千包，而每包进价为2、8元，但销售价为3、4元，若全年分成若干次进货，则每次进货为n包，每次进货的运输劳务费是62、5元，而全年的报关费用是1、5n元，将此商店营销的洗衣粉利润L表示成每次进货量n的函数，同时，指出了函数定义域，那么为了让收益最大，其每次进货量为多少包？
解：假设每次洗衣粉进货为n包，其全年总收益则为L=6000×（3、4-2、8）-（375000/n+3n/2）=-3/2（）2+2100，其函数定义域为[0，6000]，并且n为6000约数，因此，要让L值最大，也就是n=500时，Lmax=2100元，为了获取最大收益2100元，其每次进货量应该为5000包、
2、3、2 商品价格和最大收益间的关系
商品销售当中，商品的销售量通常与价格是紧密联系的，如果价格太高，尽管每件产品利润较高，但其销售量却比较低；若商品价格定得过低，那么企业就无利可图、在这两者之间存在临界点，临界点价格，能让企业获取最大收益，怎样找出此临界点，需要运用函数极值思维的方法进行分析处理，对前期销售的信息进行分析，获取最佳的销售价格、收益通常所指的是生产者所出售的商品收入，而总收益则是指一定量的产品出售之后，获得的全部收入，其总收益可记为Y，总收益Y是销售数量x与销售价格n的乘积，以营销量x作为自变量，Y为因变量，那么Y和x间的关系式为Y=Y（x）=n、x为总收益的函数，因销售量越大，其收入就会越多，因此，最大收益所指的是总收益的函数Y=Y（x）=n、所求问题为当x值是多少的时候，Y值是最大的、
例如：某商场所批发的某商品进价是80元/个，零售价是100元/个、为了更好地促进销售，尝试采取买此商品就赠送小礼品的方法，一个商品就赠送一个礼品，通过试验可知，此礼品的价格是1元时，其销售量能增加10%，而且在一定的范围中，礼品的价格若每增加1元，其销售量就能增加10%，假设没有赠送礼品的时候，其销售量是x件、求礼品价值是m元时，其所获收益Y与m之间的函数式，并求出礼品价值为多少时，其获得的收益最大、
解：所获收益Y与m之间的函数式为：Y=x（10%+1）m（20-m）、若收益最大，则需要同时满足下列关系式：x·1、1m（20-m）≥x·1、1m+1（20-m-1），x·1、1m（20-m）≥x·1、1m-1（20-m+1）；通过解两方程式可知，当x=9或者x=10的时候，其Y值最大，因这是实际的应用问题，因此，其礼品价值是9元时，可获取最大收益、
2、4 库存管理中函数极值思维的应用
通常企业为了能完成一定生产任务，确保生产的正常进行，需要准备一定的材料、当总需求量不变的情况下，其订购的次数越少，批量越大，订购的费用就会越小，但保管费用就会相应的增加、总需求量不变，订购的费用越大，其报关费用就会越小、如何确定订购的批量，才能让总费用变得最少，这已成为库存管理中值得商榷的问题、通过对整批间隔的进货状况进行研究，也就是某物质库存量下降至零时，那其订购、库存量与到货等就会由零逐渐恢复至最高的库存量，同时每天确保等量供应的生产需求，可保证不出现缺货现象、
例如：某企业为汽车装配厂，其轮胎每年需用量是2、4万个，单个轮胎价格是400元，而平均每次的订货费用之和是640元，每年的保管费用率是12%，求最优的订购批量与订购次数，并求出最优的订购周期与最小的总费用、
解：假设订购批量是Y，订购的次数是x，订购的周期是N，总费用是M、那么全年总共的订购次数是24000/Y，其订购的费用是24000×640/Y，而全年的平均库存量是1/2Y，保管费用是400×1/2 ×12%Y=24Y，而总费用M=24000×640/Y+24Y，总费用M与订购批量Y之间存在函数关系，要让总费用最省，可令dM/dY=0，也就是-24000×640/ Y2+24=0，因此，最优的订购批量Y=800个/批，其最优的订购次数：x=2、4万/800=30批；而最优的进货周期：N=360/30=12d；所以，最小的费用M= 24000×640/800+24×800=3、84万元、
5、 生产成本及利润关系中的函数极值思维应用
在实际的生产当中，会遇到此类问题，当生产条件一定的情况下，怎样生产才能让成本最低，企业获取的利润最大，这也需要用到函数极值方法、
例：某企业在生产某产品时，其固定成本是5千元，每生产百台产品所直接消耗的成本会加大2、5千元，如果市场对此产品年需求量是500台，那么销售收入函数是Q（n）=5n-1/2n2，且0＜n＜5，n为产品售出数量，那么Q（n）是收入，将利润L表示成年产量函数，那么年产量是多少的时候，企业获得的利润是最大的？
解：利润L为生产数量n售出后的总收入Q（n）和总成本M（n）间的差、它们需要同时满足下列两个方程式：L=5n-（1/2+1/4n）-1/2n2，且0≤n≤5；L=（5×5-52×1/2）-（1/4n+1/2），且n＞5、通过解方程式可知，n=b/2a=475台时，Lmax=10、78万元、因此，当企业生产475台的时候，能够获取的利润是最大的、
3 结语
在社会经济生活当中，函数极值思维应用非常广泛，尤其是在企业营销当中，函数极值思维对于资本投资与最大收益获取等方面具有重要影响作用、通过合理运用函数极值思维，可有效解决企业资金投入、商品价格和最大收益、库存管理及生产成本和利润之间的关系等问题，更合理的利用投资数据，从而促使企业获得良好的投资回报，做出准确的投资决策，提高企业的市场竞争能力、
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关键词：二次函数、单调性、最值
中图分类号：G633、6
在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。下面我把自己在多年的职高数学教学中对二次函数在高一数学中具体应用做一个小结。
一、可以帮助学生进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射 :AB，使得集合B中的元素 与集合A的元素X对应，记为 这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知 ，求
这里不能把 理解为 时的函数值，只能理解为自变量为 的函数值。
类型Ⅱ：设 ,求
这个问题理解为，已知对应法则 下，定义域中的元素 的象是 ，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成 的多项式。
，再用 代 得
(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令 ，则 从而
二、进一步论证了二次函数的单调性与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 在区间 及 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。
类型I：函数 在区间 上单调递减，求：实数 的取值范围
解：因为函数 的图象的对称轴为直线 ，且在区间 上单调递减，所以
，即
类型Ⅱ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
三、巧妙求二次函数的最值
解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论，一般分为对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况。
1、 正向型
正向型指已知二次函数的解析式和定义域，求其最值。对称轴与定义域的相对位置关系的讨论是解决此类问题的关键，此类问题包括三种情形：轴定，区间定；轴定，区间变；轴变，区间定。
轴定，区间定
类型I：已知函数 ，当 时，求最大值和最小值。
解：
当 时， ，则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 。
轴定，区间变
类型Ⅱ：设函数 ， ，求函数 的最小值。
解： ， ， ，对称轴为 。
当 ，即 时，函数 在区间 为减函数，所以最小值为
当 ，即 时，在对称轴为 处取得最小值，最小值为
当 时，函数 在区间 为增函数，所以最小值为
综上可知， ，
，
，
轴变，区间定
类型Ⅲ：求函数 在 上的最大值
解： 的对称轴为
当 ，即 时， 在 上的最大值为
当 ，即 时， 在 上的最大值为
当 ，即 时， 在 上的最大值为
综上可知， ，
，
，
2、 逆向型
逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数解析式或区间中的参数值。
已知函数 在区间 上有最大值 ，求实数 的值。
解：
当 时，函数 在区间 上的值为常数 ，不符合题意，舍去
当 时，函数 在区间 上是增函数，最大值为 ，解得
当 时，函数 在区间 上是减函数，最大值为 ，解得
综上可知， 的值为 或
从这个例子中我们发现，对于同一个对应法则的函数，不同的定义域可能会引起函数值域的改变（即使值域没有改变也应视为不同的函数）、更为关键的是，当定义域是连续变化的数集时，值域就是连续变化的数集，当定义域是离散的数集时，那么相应的值域也就相应变成了离散的数集、这就说明，尽管函数的值域是由定义域和对应法则共同确定的，但值域本身的连续或离散的特性只是由定义域本身决定、
我们平常要求的函数的值域大多数都是定义在连续数集上的函数，以下我们所研究的话题如未作特殊说明均基于此、从函数值域定义可以发现，要求出所有的函数值是不现实的，我们只能求出有限的几个，那么究竟要求出几个呢，聪明的同学当然想到了，只需求出函数值中的最大和最小的就可以了、随之而来的问题是，是不是所有的函数都有最大和最小值呢，这些最值又是在哪里取到的呢？
要想弄清这点，我们还得从函数最值的概念说起、对于函数y=f （x），其定义域为x∈D，如果同时满足：①对于任意的x∈D，均有f （x）≤M；②存在x0∈D满足f （x0）=M，则称实数M为函数的最大值，最小值的概念只需将条件①中的不等号调整为“≥”即可、从形的角度，函数的最大（小）值就是函数图象上最高（低）点对应的纵坐标、这里其实已经揭示了函数值域的一个求法：图象法、
当然，我们不可能每次都通过图象来解决，而且也不必如此、我们的目标是图象的最高（低）点，而这是由函数的单调性决定的、对于一个定义在闭区间上函数而言，如果它在定义域内单调，那么它的最大（小）值就在区间端点处取得；如果函数在定义区间内某点x=x0的左右单调性发生改变，该点称为极值点，相应的函数值f （x0）称为相应的极值，则函数的最大（小）值就在区间端点及极值点处取得、特别值得一提的是，如果该区间内仅有一个极值点，那么在该点处取得的极值必为相应的最值、
到这里我们就不难明白前面给出的错误案例中同学错解的原因了，他知道要去求函数的最值，但是不清楚函数的最值并不一定在定义区间的端点处取得、正确的解答应该是：
现在我们应当清楚，函数值域的最根本的求法就是单调性法（图形求解的数化）；我们要想跨越“函数值域求解”这道鸿沟，只需做到下面两点：①熟悉常见基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、勾形函数等）的单调性；②能利用配凑、换元等手法将复杂的函数化归为基本初等函数、
关键词 三角函数 最值 思维方法
中图分类号：G633、6 文献标识码：A
Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function
ZHANG Jianlu
（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）
Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge、 In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role、 The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function、
Key words Trigonometric function； the most value； thinking method
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。
1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值
求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。
求 = + 的最值。
解： = （ + ）（ + ）
= （ + ）23 = 1
= 1 （1 ） = +
当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。
2 应用平均值定理求最值
求函数 = （为锐角）的最大值。
解： = >0
= = 4·≤4（）3 =
当 = ，即 = 时， = 。
应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。
3 应用二次函数判别式求最（极）值
求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。
解：原函数化为 = [ ]
+ 2 = 0
= 8 ≥0 ≤≤
当 = 时， = = ，
所以当 = = 时， = 。
此题也可用放缩法解
= · ≤
= - （ ）2 + ≤。
注意在用放缩法时，等号必须成立。
4 应用函数的有界性
求 = 的值域。
解：由已知得：（） + （） = ——①
令 = ， =
①式化为 （ + ） =
∣∣≤
解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。
5 应用函数的单调性
已知 = + ， （0，），求的最小值。
解：令 = = ，则（0，）。 = + 。
6 利用数形结合
求函数 = 的最值。
图1
解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。
前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如
求 = 的极值，用什么方法好呢？
解：
方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。
方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，
原式化为 = + · = 0时， = 8。
当 = 1时， = 4。