在前面的学习中，学生已经学习了积的变化规律，在上课一开始，我列出几个乘法算式，让学生复习一下乘法的相关知识点：
2×6=12 20×6=120 200×6=1200
复习完后，我们将积的变化规律进行总结，共经历了四步：观察算式、提出猜想、举例验证、总结规律，然后我们利用这四步继续学习商不变的规律。
一、唯美情境，自信起航
今天我们先学习一道口算题：4÷2=？谁能给大家介绍一下，在这道除法算式中各部分的名称是什么？通过学生的回答和课件展示考察学生的掌握情况，然后引导学生想一想如果被除数和除数发生变化，商会变吗？在这一环节鼓励学生大胆猜想，有的同学猜商会变化，有的同学猜商不会变化，那究竟怎样呢？我们一起验证一下，课件出示以下几组除法：
4÷2= 8÷4= 12÷6= 24÷12= 36÷12=
观察这组算式，被除数和除数发生变化，商有的会变，有的不会变。接下来，我引导学生思考这几道算式被除数和除数同时发生变化，商为什么没有变呢？
二、美妙体验，自信成长
1、观察算式
首先引导学生观察算式，找学生说一下观察到的现象，教师此时要发挥引导作用，如按什么顺序观察，是从上往下观察还是从下往上观察？对于学生提出的方法，教师要加以鼓励和赞许。将全班学生以小组为单位分组讨论，其中一名学生负责将成员讨论算式的变化过程以及总结发现的规律填写在记录单上，其他学生则共同讨论算式的变化过程与规律。
2、汇报
讨论时间过后，找学生上台给大家汇报本组的讨论结果，包括按照怎样的顺序来观察的，最好能结合具体的算式进行讲解。
如学生1上台汇报：我们小组是按照从上往下的顺序观察的，第2个算式和第1个算式相比，被除数4乘2变成8，除数2也乘2变成4，商不变。第3个算式和第1个算式相比，被除数4乘3变成12，除数2也乘3变成6，商不变。第4个算式和第1个算式相比，被除数乘6变成24，除数也乘6变成12，商还是不变。我们小组发现：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。
学生2也上台汇报：我同意你们组的发现，我们组是从下往上观察的，第3个算式和第4个算式相比，被除数和除数同时除以2商不变；第2个算式和第4个算式相比被除数和除数同时除以3，商不变；第1个算式和第4个算式相比，被除数和除数同时除以6，商不变。我们组的发现是：被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变。
在每位学生上台汇报结束后，教师要及时点评并给予鼓励或奖励。最后，教师进行总结：通过大屏幕我们可以看到，从上往下观察，和第1个算式相比，被除数和除数同时乘2、乘3、乘6，商不变，得出的结论是被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。从下往上观察，和第4个算式相比，被除数和除数同时除以2、除以3或者除以6，商也不变，得出的结论是：被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变，那么学生会得出什么结论呢？
学生3会回答：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。
这时教师要引导学生思考为什么0除外，并且帮助学生验证。
师：你能给大家解释一下，为什么要0除外吗？
3、举例验证
这个过程主要是学生自己动手探究的过程，学生可以在练习本上任意写几个算式，验证猜想，并展示验证结果。
4、总结规律
最后是总结规律的过程，引导学生观察验证过程，并总结规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。
教师总结道：“我们经历了观察算式、提出猜想、举例验证、总结规律这四步，最终得出了商不变的规律。数学家也是经历了这样的过程总结出了商不变的规律。所以我们是走在数学家走过的道路上，并且有了自己收获，每位学生都值得表扬。”
三、美丽展示，自信分享
规律总结出来后，需要有一个应用的过程，在这个环节，可以利用PPT，让学生做练习题。
根据36÷12=3，你能快速判断下面的题目是正确的吗？
例1：（36×2）÷（12÷2）=3 （ ）
学生答出答案后，教师要及时说明理由：同时乘或者同时除非常重要，并且被除数和除数要乘都乘，要除都除，不能一个乘一个除。
例2：（36×5）÷（12×10）=3 （ ）
回答这道题时，教师要引导学生思考：这一次是同时乘的，为什么还是不对？并继续提出新题型，让学生继续思考。
例3：（36÷4）÷（12÷2）=3 （ ）
例4：（36+10）÷（12+10）=3 （ ）
通过上面几道题的练习，引导学生进行总结，并运用这些新认识做检测题，巩固知识。
文/沈玲玲
【摘要】化归思想，是结合“转化”和“归纳”这两种思想的一种数学思想。它是指能够根据人们的需要把一件事转化为另一件事物，然后归纳出事物要点的思想。数学教师可把化归思想融入到数学教学中，提高数学教学的效率。
关键词 小学数学；数学教学；化归思想
化归思想，是结合“转化”和“归纳”这两种思想的一种数学思想。它是指能够根据人们的需要把一件事转化为另一件事物，然后归纳出事物要点的思想。应用这种数学思想，人们能将比较复杂的数学问题转变为较为简单的数学问题。小学数学教师可将化归思想渗透到数学教学中，提高数学教学的效率。
一、有概念教学的环节应用化归思想
在小学数学的教学中，部分教师提出一个问题：怎样能够让学生迅速的吸收新的知识？这些教师认为如果直接给学生讲述新的知识，学生会觉得新的知识太难，从而不愿意自主的学习数学知识；然而如果结合旧的数学知识引导学生学习新的知识，那又该如何着手开始教学呢？数学教师可用化归的思想解决这个难题，即引导学生先回忆一个旧的知识，然后结合旧知识的特点引导学生理解新的知识。
以小学数学教师引导学生学习百分数的应用为例，数学教师可引导学生做习题1：
冰箱里有一块体积为45 立方米米的冰块，当它结成冰的时候，体积膨胀了，变成50 立方厘米，求冰的体积比以前大了百分之几？
学生曾经学过分数的计算，他们经过思考可以得到这一题的分数答案为：
教师引导学生思考，如果把这个分数变成分母为100 的百分数，那么答案应该为多少呢？学生经过思考认为答案应为：
教师可引导学生理解到，对于分母为100 的分数表示方法，人们会应用一个特殊的写法，即11/100 可表示为11%。
此时教师可引导学生思考，应当如何计算一件事物的百分比呢？学生经过思考以后，就能理解到要求一件事物的百分比，可先求出该事物的分数比，再将分母变成100，即该事物的百分比。
二、在数学计算的环节应用化归思想
小学生在做数学习题的时候，觉得最大的困难就是他们找不到解决数学问题的要点，于是他们就做不出数学习题。小学数学教师可在数学计算教学的环节用化归思想引导学生思考问题，数学教师应用这种教学方法，将能初步的培养出小学生抽象思维能力。
以教师引导学生做习题2 为例：
有一件工程，张师傅如何独立完成，需要花费12 天的时间，李师师傅如果单独一个人完成要花费15 天的时间。但是张师生病的时候，工作效率要下效40……，而李师傅生病的时候则只下降10%。现在张师傅和李师傅分别完成一个项目，工作完成时两人的工作进度完全相同，试问张师傅和李师傅共病了几天？
部分学生看到这道题的时候，就觉得这道题非常困难，他们不知道如何计算这个问题。数学教师可引导学生思考，这个问题是哪个类型的数学问题？学生经过教师的引导以后，了解到这个应用题就是个工程问题。教师引导学生思考如果把这个数学问题当作工程问题，那么可以求出工程问题中哪一个重要因素呢？学生经过思考以后觉得可以求出张师傅和李师傅生病时的工作效率。学生的解答如下：
教师可引导学生继续思考，当知识两位师傅生病时的工作效率以后，可以如何解这个数学问题呢？教师可引导学生思考，当已经求出工程张师傅和李傅师生病时的工作效率了以后，虽然可以用工程问题解决问题，但是，也可以从另一种角度解决问题。学生经过教师的引导，觉得可用方程的思想解决这一数学问题。学生列的方程如下：
设两位师傅健康的时间设为x，将两位师傅生病的时间设为y，那么可得方程式：
教师引导学生从工程问题、方程问题、百分比的计算问题去看待这个数学习题，学生将能了解到数学知识和数学知识之间是可以相互转化的。教师可让学生理解到当学生遇到一个数学问题以后，学生可以先思考这是一个怎样的数学问题，然后根据数学类型着手找到解决问题的方法，接下来，为了解决这个数学问题，学生可灵活的转化这个数学问题解决方法的类别。
三、在总结知识的环节应用化归思想
在传统的数学教学方法中，教师会为学生总结这一节课学习到的数学知识，这种数学教学方法存在很大的弊端。学生如果没有参与数学知识总结的过程，他们将不能系统地理解教师总结的数学知识，学生也得不到验证数学知识结构的机会。数学教师可应用化归的方法引导学生总结数学知识系统，让学生在总结的过程中验证知识结构。比如教师可引导学生总结一套分数、小数、百分数的异同，让学生在总结的过程中验证知识结果。
总之，小学数学教师如果能在教学中应用化归的思想引导学生学习，将能引导学生把旧的知识转化为新的知识、能引导学生自主的解决数学问题、能引导学生自主的建立知识结构，从而提高数学教学的效率。
参考文献
[1]王岚、经历过程感悟思想———以化归思想为例谈数学基本思想在教学中的渗透[J]、教育研究与评论（小学教育教学）、2013（04）
[2]夏彧、数学广角:学生体会和运用数学思想的支点———利用化归思想解决“植树问题”[J]、黑龙江教育（小学）、2013（04）
【关键词】小学数学;数学教学;化归思想
化归思想，是结合“转化”和“归纳”这两种思想的一种数学思想。它是指能够根据人们的需要把一件事转化为另一件事物，然后归纳出事物要点的思想。应用这种数学思想，人们能将比较复杂的数学问题转变为较为简单的数学问题。小学数学教师可将化归思想渗透到数学教学中，提高数学教学的效率。
一、有概念教学的环节应用化归思想
在小学数学的教学中，部分教师提出一个问题：怎样能够让学生迅速的吸收新的知识？这些教师认为如果直接给学生讲述新的知识，学生会觉得新的知识太难，从而不愿意自主的学习数学知识;然而如果结合旧的数学知识引导学生学习新的知识，那又该如何着手开始教学呢？数学教师可用化归的思想解决这个难题，即引导学生先回忆一个旧的知识，然后结合旧知识的特点引导学生理解新的知识。
以小学数学教师引导学生学习百分数的应用为例，数学教师可引导学生做习题1：
冰箱里有一块体积为45立方米米的冰块，当它结成冰的时候，体积膨胀了，变成50立方厘米，求冰的体积比以前大了百分之几？
学生曾经学过分数的计算，他们经过思考可以得到这一题的分数答案为：
（50-45）÷45= ;
教师引导学生思考，如果把这个分数变成分母为100的百分数，那么答案应该为多少呢？学生经过思考认为答案应为：
（50-45）÷45= ≈ ;
教师可引导学生理解到，对于分母为100的分数表示方法，人们会应用一个特殊的写法，即 可表示为11%。
此时教师可引导学生思考，应当如何计算一件事物的百分比呢？学生经过思考以后，就能理解到要求一件事物的百分比，可先求出该事物的分数比，再将分母变成100，即该事物的百分比。
二、在数学计算的环节应用化归思想
小学生在做数学习题的时候，觉得最大的困难就是他们找不到解决数学问题的要点，于是他们就做不出数学习题。小学数学教师可在数学计算教学的环节用化归思想引导学生思考问题，数学教师应用这种教学方法，将能初步的培养出小学生抽象思维能力。
以教师引导学生做习题2为例：
有一件工程，张师傅如何独立完成，需要花费12天的时间，李师师傅如果单独一个人完成要花费15天的时间。但是张师生病的时候，工作效率要下效40……，而李师傅生病的时候则只下降10%。现在张师傅和李师傅分别完成一个项目，工作完成时两人的工作进度完全相同，试问张师傅和李师傅共病了几天？
部分学生看到这道题的时候，就觉得这道题非常困难，他们不知道如何计算这个问题。数学教师可引导学生思考，这个问题是哪个类型的数学问题？学生经过教师的引导以后，了解到这个应用题就是个工程问题。教师引导学生思考如果把这个数学问题当作工程问题，那么可以求出工程问题中哪一个重要因素呢？学生经过思考以后觉得可以求出张师傅和李师傅生病时的工作效率。学生的解答如下：
张师傅生病时的工作效率为 ×（1-40%）= ;
李师傅生病时的工作效率为 ×（1-10%）= ;
教师可引导学生继续思考，当知识两位师傅生病时的工作效率以后，可以如何解这个数学问题呢？教师可引导学生思考，当已经求出工程张师傅和李傅师生病时的工作效率了以后，虽然可以用工程问题解决问题，但是，也可以从另一种角度解决问题。学生经过教师的引导，觉得可用方程的思想解决这一数学问题。学生列的方程如下：
设两位师傅健康的时间设为x，将两位师傅生病的时间设为y，那么可得方程式：
x+ y=1 x+ y=1，求该方程的解可得x=6y=10。
教师引导学生从工程问题、方程问题、百分比的计算问题去看待这个数学习题，学生将能了解到数学知识和数学知识之间是可以相互转化的。教师可让学生理解到当学生遇到一个数学问题以后，学生可以先思考这是一个怎样的数学问题，然后根据数学类型着手找到解决问题的方法，接下来，为了解决这个数学问题，学生可灵活的转化这个数学问题解决方法的类别。
三、在总结知识的环节应用化归思想
在传统的数学教学方法中，教师会为学生总结这一节课学习到的数学知识，这种数学教学方法存在很大的弊端。学生如果没有参与数学知识总结的过程，他们将不能系统地理解教师总结的数学知识，学生也得不到验证数学知识结构的机会。数学教师可应用化归的方法引导学生总结数学知识系统，让学生在总结的过程中验证知识结构。比如教师可引导学生总结一套分数、小数、百分数的异同，让学生在总结的过程中验证知识结果。
总之，小学数学教师如果能在教学中应用化归的思想引导学生学习，将能引导学生把旧的知识转化为新的知识、能引导学生自主的解决数学问题、能引导学生自主的建立知识结构，从而提高数学教学的效率。
【参考文献】
[1]王岚、经历过程 感悟思想――以化归思想为例谈数学基本思想在教学中的渗透[J]、教育研究与评论（小学教育教学）、2013（04）
[2]夏、数学广角：学生体会和运用数学思想的支点――利用化归思想解决“植树问题”[J]、黑龙江教育（小学）、2013（04）
关键词：数学思想；突出深化；提炼概括
所谓数学思想，是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，在认识活动中它被反复运用，带有普遍指导意义。数学方法是在提出问题、解决问题的数学活动过程中，所采用的各种方式、途径、手段等。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用，中学教学中一般将数学思想与方法统称为数学思想方法：强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。
《九年制义务教育初中数学教学大纲》明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分。数学思想方法是数学学科知识精髓，是数学素养重要内容之一，是学生获得知识、发展思维能力的动力和工具。
数学教学贯穿着两条主线：明线——基础知识，暗线——数学思想方法，教师在教学中如能抓住隐在知识中的数学思想这一主线，便能高屋建瓴，对教材进行再创造，使教学见效快，收益大。
下面就平时课堂实践浅谈几点自己的体会与总结。
一、挖掘教材中的数学思想方法，展示其迷人魅力
关于数学思想方法的分类归纳起来大体有如下三类：
（1）策略型思想方法，它包括化归、抽象概括、方程与函数、猜想、数形结合、整体与系统等；
（2）逻辑型思想方法，它包括演绎、分类、特殊化、类比、归纳、反证等；
（3）操作型思想方法，它包括构造、换元、待定系数、配方、参数等。
初中数学教材中没有给出以上具体名称，只在知识发生过程中应用或隐含着这些思想方法。在初中数学教师用书中，涉及到数学思想方法高达450次之多（化归思想出现总数共约108次），可见数学思想方法确如灵魂一样支配着整个教材。教师要研究大纲，吃透教材，要用心挖掘，从知识、情感、态度价值观方面中寻找教材蕴藏的数学思想，并把将其设计到教案中去，在教学中合理地渗透数学思想。
譬如我上的一节初一的数学课《去括号法则》中的部分教学情景：
通过对教材的挖掘发现，贯穿整个课堂的核心数学思想是“化归”中的“化简思想”。如在讨论搭建正方形的火柴总根数时，一位学生直接说出了火柴总根数的去括号后的数式，超出了教师预期，先放置不动，在法则探出后，教师与同学一起核对答案，发现结果正确，肯定该同学后发问：“你为何一上来就把括号去掉？”这位学生回答道：“这样感觉式子简单些”。教师：“确实，简单是一种美，人们会不自觉地追求这种美，渗透‘化繁为简’的数学思想方法。”
然后趁热打铁再出一个游戏：“同学们随便给我一个a的确定的数值，老师能够立即说出代数式16-a-[a- 9- （2a+1）] 的值。”学生们非常惊讶，“老师算得真快，为什么呢？” ……“原来通过去括号化简后，式子好简单，怪不得算得这么快啊！”学生再次深刻体验到数学“化繁为简”的美。
在这堂课的教学中，由于将“化简思想”这条主线渗透到课堂每个环节，所以学生始终情绪饱满地投入到课堂教学中，兴趣盎然地完成了学习任务。
二、在“问题解决”的教学过程中，突出和深化数学思想方法
数学问题的解决，离不开数学思想方法的指导、运用和创新。数学思想方法存在于问题解决中，数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向。
如我的一堂数学复习专题课《变题》：一、变结论，二、变条件，三、变图形，四、变题解，五、变要求。数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的数学思想方法，探索问题的发展变化。在探究问题、解决问题、提出问题的思维过程中，使学生发现问题的本质、主动地克服思维的心理定式。
在教学中，教师应不依常规，寻求变异，通过处理问题的形式、角度，在寻求问题的答案到学生自己提出问题（到编题）过程中，在学生全面、深刻的理解和掌握知识的同时，对数学思想方法的获得更深刻的领悟，使学生思维品质在探究中得到锤炼，获得了更好的发展。
在课堂中，教师要把数学思想方法与知识技能融于一体，使学生在问题解决中，既领悟一定的数学思想方法，又在运用思想方法时巩固知识技能，真正提高数学素养。
三、知识复习中提炼数学思想方法，并运用探求解题规律
小结复习课是知识系统化、深化及内化的最佳课型，在对所学知识系统整理中提炼归纳思想方法，掌握本质规律，可使学生学习提到一个新层次、新高度，脱离“题海”之苦，使其更富朝气和创造性。
教师困惑：虽然题目讲很多，但条件变则束手无策，更不谈创新能力，究其原因在于教学中搞题海战，学生被动感悟解法，不挖掘知识中尤为重要的数学思想方法。
如初三复习专题课《直角坐标系中等量关系的构建》：在探求二次函数综合题解法过程中，运用“数形结合”“转化”等思想方法来探求解题规律，在深化学生“会学”方面做了尝试。探得规律：直角坐标系中尽量转化成横、纵线段来构建等式。学生质疑根源，探究得到：这是由点坐标意义决定的，直角坐标系中点的坐标与纵、横线段长度易互化。该规律还适用于一次函数或反比例函数问题……
当然，任何一种数学思想方法的学习掌握，非一朝一夕，也非几节专题课能奏效，需有目的有意识地培养，要经历渗透、反复、递进、螺旋上升、不断深化的过程。教材每一章节至每道题，都体现了数学知识和思想方法的有机结合，我们要大胆实践，寓数学思想方法于平时教学中，这样，学生对数学思想方法的认识就日趋成熟而真正领悟，构建出自我的“数学思想方法系统”。
【关键词】高三数学；总复习；教学；关键攻略
高三数学总复习是高中最后关键时刻。采取什么样的复习方法才能提高复习效率，这是我们每个高三数学教师所面临的一个重要课题。本人在教学实践中深刻体会到要搞好高三数学总复习，首先要研究考试说明，研究高考最近几年考题的变化。通过对高考的研究，才能把握好复习的尺度，避免拔深过高、范围过大，避免复习落点过低、复习范围窄小的错误导向，然后明确复习环节之间的关联及各自的标准后，扎实抓好每个环节。下面是笔者具体落实总复习的做法：
一、系统整理，认真构建数学知识网络
将高中阶段所学的数学知识进行系统整理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，构建成知识网络，使学生对整个高中数学体系有一个全面的认识和把握，以便于知识的存储，提取和应用。这是第一轮复习的目标，实现了这一目标，也有利于学生思维品质的培养和提高，这是数学复习的重要环节。
中学数学内容的结构可看作是数与点的集合，数的集合形成了不等式、函数、数列、排列与组合、概率与统计五大块，点的集合构成了图形，可分为平面图形（平面几何）、空间图形（立体几何）、坐标平面上的图形（解析几何）三大块，每块下面再列出具体的内容和要点，纵向横向联系，这就构成了中学数学知识网络图。这项“由厚到薄”的总结归纳工作，在第一轮复习时往往由教师上课时写出。如果这项工作作为必做必交的作业由学生通过自学独立完成，教师批阅，加以指点，再通过课堂引导补充完备，这将大大提高学生的自学能力和概括能力，且加深了学生对所学知识的认识和理解，不易遗忘。
二、重视对数学思想方法的理解和掌握
1、数形结合的思想方法。
数形结合是高中数学学科的基本特征，数形结合的思想方法的是将抽象的数学语言和直观图形结合起来，发挥直观对抽象的支撑作用。通过对数与式的变换，将图形的特征及几何关系刻画得更精细和准确，这样就可以是抽象概念和具体形象相互联系，相互补充，相互转化，求得问题的解决。高中数学中集中反映数形结合特征的内容是函数与图像，方程与曲线，复数与几何，在处理有关问题时，要加深领会，灵活应用数形结合的思想方法。
2、分类讨论的思想方法。
分类讨论是一种逻辑划分的思想方法，根据需要将研究对象进行分类，然后对划分的每一类分别求解，综合后得到一个完整的答案。分类讨论可将条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系解释得更加准确、清楚，在解答数学问题，特别是对象是可变的数量关系和图形关系的问题中有着十分广泛的应用。分类必须满足不重复、不遗漏、简洁、合理的要求。
3、等价转化的思想方法。
把未知解法的问题转化为在已有知识和方法的范围内可解的问题是解决各类数学问题的基本思路和基本途径，是一种重要的的数学思想方法。转化包括等价转化和非等价转化。等价转化才能保证转化后所得到的结果仍是原题的结果。非等价转化要求寻找使原题结论成立的充分条件，这样的转化可使推证的过程得以简化。
4、运动变换的思想方法。
运动变换是高中数学中十分普遍的问题。轨迹、曲线系等概念，函数图像的平移、对称、翻折、伸缩等变换的知识和方法，最大（小）值问题等，都蕴含了运动和变换的思想方法，这些数学内容都在更为抽象的层面上揭示了代数变换和几何变换的相互联系，对于深化理解概念，开阔解题思路具有重要的作用，在近几年的高考数学中也逐步加大了对运动变换的思想方法的考查力度。
三、把握时效，科学听课
一份高考试卷一般有16个客观题（选择与填空），6个解答题，共22题，客观题占76分，解答题占74分，客观题解题时间用得少，就可以有充裕的时间完成解答题，客观题完成的正确率高，就直接影响考试成绩。因此，考前复习一定要加强速度和正确率的强化训练，要在速度，正确率上狠下功夫。可是，速度和正确率常常是矛盾的，因此，平常练习就要自我不断调整这种矛盾，以期得到和谐的统一。
1、把每次数学练习当作一次难得的测试，不仅追求答题的正确率，而且还要控制答题时间，一般一份模拟试卷用120分钟，平常练习用60分钟，不要超时；
2、高三课堂依然是主渠道，教师评点的精彩内容要迅速融会贯通，并能举一反三；同时，对问题的解答，有巧解和傻解之分，学习老师介绍的方法，常常可以化繁为简，缩短解题时间；
3、加强“三多一发展”训练。“一题多问，层层递进”是高考命题的又一特点，复习中，要多练多问，多做“由大到小”的分解训练，多做结论发散训练；发展一问为多问，一证为多证多算等；
4、变“被动听课”为“主动解答”，快速寻找问题的解法。现在我们头脑中已储存了许多解题方法和规律，如何提取运用是考前解决的关键，上课时，教师一般都会讲述问题的解法，被动听课的同学一般都坐等老师给出答案，主动听课的同学不是课前就已经做好准备，就是上课走在教师的前面，当教师准备讲这一题前，就开始紧张地思考，甚至自己动笔写出问题的关键步骤，只有变“被动听课”为“主动解答”，才能改变“考试时不会，老师一讲就通”的现象，才能将所学知识转化为解决问题的能力；
5、科学听课还要求做到勤动笔，我们说“没有纸笔不听数学”，讲的就是动笔的重要性；专业培训还有一句名言：“我看了，我忘了；我听了，我留下印象；我做了，我会了”，也是强调动手的重要性。
四、研究《考纲》，分析考题
《考试说明》是高考命题的依据，高考试题是对《考试说明》要求的具体化。 只有研究《考试说明》，同时分析高考试题，才能加深对它的理解，才能体会平时教学与命题的专家们在理解《考试说明》上的差距，并争取缩小这一差距，才能克服盲目性，增强自觉性，更好地指导考生进行复习。比如，《考试说明》指出：“考试要求分成4个不同的层次，这4个层次由低到高依次为了解、理解、掌握、灵活运用和综合运用”。但如何界定“了解、理解、掌握、灵活运用和综合运用”，《考试说明》并未明确指出。同样，《考试说明》还指出：“考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法，运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学数决问题的能力”。这些能力如何界定，如何具体化？上述种种都只能通过深入研究近年来的高考数学试题才能使之具体化，从而指导我们平时的教学工作。从这个意义上来说，研究《考试说明》，分析近年来的高考数学试题是非常必要的。值得注意的是，在研究《考试说明》、分析高考试题的过程中，切不可搞什么“猜题”、“押题”。比如有人说：高考试题有周期性，去年考了什么。今年一定不考；去年没考的内容，今年肯定要考。纵观近几年的高考数学试题，事实已给猜题、押题者的做法作了最好的回答，实践表明猜题押题的做法是不可取的。
五、以“错”纠错，查漏补缺
这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习，各类试题要做几十套，甚至上百套。有人把试卷看成是一张一张的网，每次考试都相当于在捕鱼。如果发现有鱼从渔网上漏掉，就要及时修好渔网，下次捕鱼时才不至于有鱼再从这个洞里漏掉。学习知识也是这样。有的同学做题只重数量不重质量，做过之后不问对错就放到一边。这种做法很不科学。做题的目的是培养能力，是寻找自己的弱点和不足的有效途径。俗话说“吃一堑，长一智”，多数有用的经验都是从错误中总结出来的，因此，发现了错误及时研究改正，并总结经验以免再犯，时间长了就知道做题的时候有哪些方面应引起注意，出错的机会就大大减少了。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。做一道题你从不同角度想出5种方法，与做5道同类型的题用的时间可能差不多，前者的效果肯定比后者要好得多。高考碰到平时做过的陈题可能性不大，而解题所需的知识、方法和能力要求都不会超出大纲，都会在平时复习中遇到，关键是要能触类旁通。
六、在反思过程中培养学生精益求精的治求态度
古代思想家荀况在《劝学》中曰：“君子博学而日省乎已，则知明而行无过矣”，可见“反思”“反省”对于一个人的发展多么重要！在数学解题中更应如此。波利亚也强调解题后的回顾环节，本质上就是反思，从哪些方面反思呢？西南师大陈重穆教授指出：“问题解决了，作为学习事情还未做完，还要看一看，想一想，有什么经验教训？是否可以作得更好、更美？这里使用的解法能否解决其他问题？这种似乎多余的一看、一想却常常是创造的生长点”。具体地讲，引导学生反思应做到以下几方面：（1）过程的严谨性；（2）问题的存在性；（3）结论与题设的和谐性；（4）答案的完备性；（5）过程的可逆性；（6）方法的优美性；（7）方法的规律性；（8）问题的可延伸性。总之，反思是矫正自己错误的一面“镜子”，反思的过程就是精益求精的过程。反思不仅能通过自我获得反馈信息，从而产生今后的自我调控和继往开来之功效，更重要的是养成了反思的习惯，就构成了一种自我完善的思维机制，从而使学生终身受益，为创新思维能力的发展注入新鲜的活力！
以上是笔者在高三数学总复习中的关键攻略总结。在高三数学总复习中，如何改变以往教师包办代替，满堂灌的旧模式，建立充分调动学生积极主动学习的复习模式，符合高考由知识立意向能力立意转变的要求，提高学生现实生活的观察分析能力，创造性的想象能力，探究性试验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新问题应变理解能力，从而实现应试教育向素质教育转轨，这是一个重要的课题，有待今后在教学实践中进一步探讨和研究。
参考文献：
[1] 孙维刚：《孙维刚高中数学》，北京大学出版社，2007 年10月
一、深刻认识*在新的历史起点上继续解放思想的重要性和紧迫性
改革开放30年来，*经济社会的发展取得了重大成就，经济总量一直位居全国前列。*年全省生产总值突破3万亿元，继超过亚洲“四小龙”的香港、新加坡之后又超过了台湾。当前，*的发展已经站在一个新的历史起点上，正处在经济社会全面转入科学发展的关键时期。因此，继续解放思想，锐意改革创新，对于*来说显得更加重要和迫切。
首先，在新的历史起点上继续解放思想是深入学习贯彻党的十七大精神的必然要求。党的十七大报告指出，解放思想是发展中国特色社会主义的一大法宝。实践证明，改革开放每前进一步，都以思想解放为先导；中国特色社会主义事业每取得新的成就，都是解放思想的产物。党的十七大根据世情、国情和党情出现的新变化新特点，提出了一系列重大理论观点、重大战略思想、重大工作部署，本身都是解放思想的结晶。新的历史条件下，只有坚持解放思想，才能完整准确地把握党的十七大精神，才能结合新的实践，创造性地贯彻落实好党的十七大提出的各项战略任务，加快全面建设小康社会、率先基本实现社会主义现代化的步伐。
其次，在新的历史起点上继续解放思想是深入推进改革开放伟大事业的迫切需要。思想解放是社会变革的先导。30年改革开放的历程，就是借助解放思想这个强大武器予以有力推动的过程。无论是破除“两个凡是”的禁锢，还是打破姓“社”姓“资”的枷锁，都是得益于思想的大解放，进而促进了社会主义现代化事业的大发展。*在改革开放中之所以能够先行一步，创造令人瞩目的成就，并为党的理论创新和实践创新提供新鲜经验，关键也在于解放思想、敢闯敢冒，率先从教条主义和僵化体制的桎梏中“杀出一条血路”。实践充分证明，解放思想是扫除障碍、引领发展的重要法宝，思想解放的程度决定改革创新的力度。当前，*的发展仍然面临许多思想观念束缚和体制机制障碍。改革开放没有止境，解放思想不能一劳永逸。只有继续高举解放思想的大旗、保持敢为人先的锐气、弘扬改革创新的精神，*才能在新的历史起点上开创改革开放新局面，为发展中国特色社会主义做出新贡献。
再次，在新的历史起点上继续解放思想是努力争当实践科学发展观排头兵的当务之急。科学发展观是发展中国特色社会主义必须坚持和贯彻的重大战略思想，是*破解发展难题、开辟发展新路的重要指导方针。近年来，*坚持以科学发展观统揽经济社会发展全局，推动经济社会初步转入科学发展轨道。但是，站在新的历史起点上，以“排头兵”的标准来审视，深入贯彻落实科学发展观还面临着一系列深层次矛盾和问题。这些问题既是*发展阶段性特征的反映，也是贯彻科学发展观还不够深入，推动科学发展的新思路新措施还不够多的反映。由于*的经济社会转型走在全国的前面，有些问题凸现得更早、更突出、更集中。继续解放思想，深刻审视所处的环境和变化，深刻分析*的优势与不足，深刻反思干部群众的思想及精神状态，切实把思想观念从不符合科学发展的认识中解放出来，以思想的大解放推动经济社会的大发展，是*努力争当实践科学发展观排头兵的当务之急。
为此，省委精心组织开展了“继续解放思想，坚持改革开放，努力争当实践科学发展观的排头兵”的学习讨论活动，活动以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，深入贯彻落实科学发展观，紧紧围绕科学发展这个主题，解放思想、开动脑筋，广泛讨论、畅所欲言，更新观念、转变思维，着力解决影响科学发展的思想障碍和突出问题，开启科学发展的新途径。目前，学习讨论活动正在既轰轰烈烈又扎扎实实地进行。
二、着力破除影响科学发展的思想障碍
解放思想，说到底是要自觉地把思想认识从那些不合时宜的观念、做法和体制的束缚中解放出来，从对马克思主义的错误的和教条式的理解中解放出来，从主观主义和形而上学的桎梏中解放出来。*开展继续解放思想的学习讨论活动，根本目的就是要切实解决影响科学发展的思想观念、精神状态和突出问题，推动经济社会全面转入科学发展的轨道。
第一，克服“小富则满、小进则安”的思想，树立居安思危的意识。总书记在党的十七大报告中要求全党同志一定要居安思危、增强忧患意识，这对于我们具有很强的针对性。改革开放以来，*由于长期捧着“总量第一”这块“金字招牌”，一些同志自觉不自觉地产生了某种优越感，甚至骄傲情绪开始蔓延起来。对于*取得的成就，我们必须看到“一高一低”两个方面：一方面，经济总量位居全国第一，确实很高；另一方面，人均GDP水平却相对较低，与全国一些先进省市和亚洲“四小龙”比还有一定的差距。因此，亟需克服“小富则满、小进则安”的思想，居安思危，超越自我，奋起直追。如果盲目自满，缺乏忧患意识，不仅不能当好科学发展的排头兵，甚至连原有的地位和优势也会丧失掉。
第二，克服“夜郎自大”的思想，树立全球视野的意识。加强战略思维，树立世界眼光，统筹国内国际发展两个大局，是在当代中国同世界的关系发生了历史性变化的条件下推进改革开放的必然选择。*地处改革开放的前沿，领风气之先，*的经济已经成为世界经济的组成部分，世界政治、经济的变化对*的影响已经越来越大。古人讲，不谋全局者不足以谋一域。*必须破除“夜郎自大”的思想，突破小农经济、计划经济、小商品经济的发展局限，以战略思维和全球视野来谋划*的未来和发展。当前，特别要密切关注世界发展理论的新思想、世界经贸规则标准的新变化、国际分工的新动向，着眼国家发展总体战略，自觉融入世界发展潮流，在激烈的国际竞争中主动应战、趋利避害。
第三，克服“以物为本”的思想，树立以人为本的意识。以人为本是科学发展观的核心，满足人民群众日益增长的物质和文化生活需要是经济社会发展的根本目的。但是，在一些领导干部那里，追求物质财富的增加甚至是追求GDP的增长，似乎渐渐地从改善人民生活的手段变为了目的，一谈发展就是经济总量的增长、经济速度的提升，而忽视了城乡居民收入水平的提高，忽视了总量增长的资源环境代价和社会成本，忽视了发展应当注意的民生和社会问题等，“见物不见人”的观念成为其典型的思想特征。因此，一定要从事关*未来发展的战略高度贯彻落实以人为本的发展观，坚决克服和纠正“见物不见人”的发展观和政绩观，按照科学发展观的要求，贯彻对人的价值的尊重、对人的生存状况的关怀和对人的作用重视的精神，创造让每一个个体都能得到充分发展的机制，真正做到发展为了人民、发展依靠人民、发展成果由人民共享。
第四，克服“因循守旧”的思想，树立改革创新的意识。改革开放初期，*以敢为天下先的气魄，引领了中国的改革创新，探索总结了许多宝贵经验，比如创建了“经济特区”，创造了“三来一补”、“四通一平”、“筑巢引凤”、“两头在外”、“外引内联”、“借船出海”、“以路养路”等解放和发展生产力的有效方法，从理论和实践上探索回答了什么是改革开放、怎样搞改革开放，什么是社会主义市场经济、怎样发展社会主义市场经济等重大课题。进入新的历史时期，*虽然在科学发展上迈出了新的步伐，但总体上在发展思路、发展模式、发展方式等方面还没有实现根本性转变。我们决不能躺在原有的成就上酣睡，决不能让温饱式小康的生活消磨掉改革创新的锐气和勇气。改革发展到今天，*还能不能“特”，还有没有“特”，关键取决于能否继续坚持改革创新。目前，*遇到了土地制约、技术瓶颈、结构难题、社会矛盾等许多深层次问题。如果不继续解放思想，锐意进取，用改革创新的勇气来解决这些问题，排头兵的位置必将难保，全面实现小康的目标难以实现。
第五，克服“经验主义”的思想，树立科学理性的意识。30年的改革开放，*以务实精神创造了辉煌的历史业绩，塑造了“敢为人先，务实进取，开放兼容，敬业奉献”的*精神。但是，这种“务实”一旦变成了“经验主义”，就必然是过犹不及，容易导致重经济、轻文化，重物质、轻精神，重眼前、轻长远，重战术、轻战略，重实际、轻理论等现象的出现。现在*正处于改革发展的关键时期，单纯依靠原有的经验和做法已经不足以解决新的矛盾和问题。*经济社会发展要上新台阶，必须坚持解放思想与实事求是的统一，正确处理好“务实”与“务虚”的关系，依靠科学理论的指引，理性思维的支撑，把科学理性的精神内核贯穿到改革发展和现代化建设的方方面面，这样才能真正当好实践科学发展观的排头兵。
【关键词】转化思想；渗透；运用；概括；挖掘
《新课标》（修订稿）把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这里所说的基本思想，是大的思想，就是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。因此，在数学教学中要结合教学内容适时、适当地渗透数学思想方法，培养学生自觉地运用数学思想方法解决问题的意识，才能真正使学生获得良好的数学教育，为学生的后续学习和可持续发展打下基础。
一、在复习引入环节渗透转化思想方法
小学生的数学学是在原有的知识结构或经验基础上进行的，因而复习引入环节对学习新知起着铺垫作用，数学思想方法的渗透也应从起始环节开始。
【课堂回放】复习引入环节
师：我们学过哪些图形的面积计算？请说出它们的面积计算公式？
师：同学们再回忆一下，平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是如何推导的呢？
师：这三个图形的面积计算公式的推导过程有什么共同之处？
新课伊始，教师精心设计了三个问题，引领学生在回顾旧知的同时，感悟到这几个图形面积计算公式的推导过程都是将面积计算公式未知的图形转化成面积计算公式已知的图形，利用已学过图形的面积计算公式推导出新图形的面积计算公式。此时，“将没学过的知识转化成已学过的知识来解决问题”思想暗线与“再现已学图形的面积计算公式”知识明线同时植入学生的头脑之中，让学生从“最佳发展区”中唤醒了新知探究所必备的知识技能及数学思想方法，为学生“跳一跳摘桃子”做好了充分的准备。
二、在探究新知环节运用转化思想方法
在新知识的学习过程中，作为教学主体的教师不能为了教知识而教知识，应该是在教学过程中充分尊重学生的学习过程，引导学生利用已有的知识经验，积极、主动、自觉地运用转化数学思想方法去认识新知识，巧妙地将数学知识的学习上升为数学思想方法的学习，并将它从隐性的数学知识中提取出来，使学生的思想受到熏陶和感染，能力得到提升，方法得以创新。
三、在总结提炼环节概括转化思想方法
数学课程的内容所包含的数学思想方法往往暗含在数学结果及数学结果的形成过程中，学生常常是无意识地运用这些思想方法来解决问题，表现为仅仅会运用，但不知为什么运用、运用的是何种思想方法，此时，需要教师适时地引导学生将数学思想方法提炼概括出来，加深学生对数学思想方法的认识。
【课堂回放】总结提炼环节
师：刚才通过同学们积极开动脑筋，得到了三种分法，如果要你给这三种方法分分类，你会怎么分呢？理由是什么？
生：前两种都是分成2个简单的图形再相加。
师：是的，你能给这种方法取个名字吗？
生：分一分（板书）。
师：而这一种呢？
生：添补上一个图形，变成几个简单图形相减。
师：你也能给这种方法取个名字吗？
生：补一补（师板书）。
师：那这三种方法又有什么相同的地方呢？（生答）
师：（板书）组合图形 基本图形。
结合学生探究问题时得到的多种方法，教师及时引导学生对这些方法进行分类比较，使转化思想方法这条暗线浮出水面，使学生模糊的认识一下子变得清晰，这种在思维积极亢奋状态下的学生顿悟，有效地消除了学生对数学思想方法的神秘感，使数学思想方法的渗透水到渠成。
四、在应用拓展环节挖掘转化思想方法
《数学课程标准》在总体目标中明确提出：“学生能获得适应未来的社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”因而数学教学中不仅要适时、适当地渗透数学思想方法，而且要有意识地培养学生会用顿悟得到的数学思想方法去解决实际问题。教学中，教师如果能将学生熟悉的事例引入课堂，引导学生挖掘其中蕴含的数学思想方法，会使学生较好地感受数学思想方法的应用价值。
总之，转化思想方法广泛应用于数学学习的各个领域，它是以已知的、简单的、具体的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部制定、义务教育数学课程标准（2011年版）[M]、北京：北京师范大学出版社，2012
【关键词】数学教学；函数思想；渗透
数学思想方法是数学的精髓。《数学课程标准》（2011年版）明确提出 “通过义务阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的总目标，给数学教学指明了方向，要求我们要不失时机地向学生渗透一些基本的数学思想方法，指导学生运用数学思想方法科学地思考解决问题，从而促进学生数学素质的提高。
函数思想是诸多重要数学思想方法之—。小学数学内容的知识体系是培养小学生早期函数思想的极好载体。结合有关知识的教学渗透函数思想，让学生初步感受事物间的不断变化与联系，有助于训练学生的思维品质，加深学生对知识的理解和掌握，初步培养学生利用函数思想分析、解决问题的能力。
小学数学教材可从以下几个方面对函数思想加以渗透：
一、抓住变量思想的引入。
在苏教版小学数学一、二年级教材中有如下形式的一些练习题：
这种形式的练习一方面弥补了加、减、乘、除运算题型的单调与不足，更重要的是为了引入变量思想。其实质是给出了两个集合及其元素间的对应法则，根据对应法则，找出一些元素的对应元素。通过这种题型的练习，可使学生初步认识到：两个变量之间，当一个确定后，另一个随着确定（按照某种法则），一个量变化时，另一个量也跟着变化（按照某种法则），两个量之间的变化是相关联的。初步培养学生用变化、联系的观点看问题。
二、抓住用字母表示数的教学。
用字母表示数是从算术过渡到代数的转折点。没有用字母表示数这一基础，在某一过程中可以取不同数值的量就无法加以表示，变量之间的相互依存、相互制约的数量关系就难以得到完美的表述。从这一意义上来说，用字母表示数是函数的基础。
用字母表示数渗透函数思想主要表现在以下两个方面：
1、对于整数四则运算性质及变化规律和分数的基本性质，除了用文字加以叙述外，还辅之以字母表示。
如苏教版小学数学四年级下册第106页例题：
摆1个三角形用3根小棒；
摆2个三角形用小棒的根数是：2×3；
摆3个三角形用小棒的根数是：3×3；
……
摆a个三角形用小棒的根数是：3a；学生通过摆三角形，发现小棒的根数随着三角形个数的增加（减少）而增加（减少），但二者之间的关系是不变的。再如商不变的规律a÷b=（a×m）÷（b×m），a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（b≠0，m≠0）；利用字母表达式进行分析：a、b确定后，商的值就确定了。当m “变”时，被除数和除数的值在变，但商的值不变。引导学生用变动的观点分析问题，可加深学生对规律的掌握和性质的理解，同时也为后续的学习做了很好的孕伏。
2、用字母表示几何图形的周长、面积、体积公式。
如：正方形周长C=4a，正方形面积S=a2。学生通过应用公式，对不同边长的正方形周长、面积的计算，会逐步认识到：正方形的边长确定后，周长、面积也随之确定。正方形的边长变化时，周长、面积也随之变化，且周长、面积的变化与边长的大小是相关联的。进一步培养了学生用运动、变化、联系的眼光看问题的观点。
三、抓住正反比例概念的教学。
正反比例关系式是引入函数概念的一个极好例子。下面以苏教版小学数学六年级下册正比例概念的教学为例来说函数思想的渗透。
建立正比例概念时，教材中举了两例。
例1 一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。
写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值。你发现了什么？
试一试：购买一种铅笔的数量和总价如下表。
（1）填写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。
（2）写出几组相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。
（3）这个比值表示什么？你能用式子表示它与总价和数量之间的关系吗？
教材中采用列表法给出了两个变量（时间与路程、总价与数量）的若干组对应值。利用对应值表，结合概念的建立过程可以从以下三个方面进行渗透：
1、从每一组对应值看，时间（数量）确定后，路程（总价）就随着确定了。即两个变量中的一个量随着另一个量的确定而确定，培养学生按照一定的法则进行量与量对应的思想。
2、从各组对应值整体分析。时间（数量）扩大，路程（总价）也扩大，时间（数量）缩小，路程（总价）也缩小。即路程（总价）随时间（数量）（按照一定规律）的变化而变化。培养学生用运动、变化、联系观点看问题的思维习惯。
3、引导学生观察分析，总结变化规律：路程和时间（总价与数量）的比值是一定的。在文字说明的基础上给出关系式： =速度（一定）， =单价（一定）。用字母表示，抽象为 =k（一定）。最后给出成正比例关系的概念。在分析过程中，要始终抓住“两个量是相关联的”、“比值一定”这些关键词。使学生逐步明确：在相对应的两个量的变化过程中，这两个变量之间是相互依存、相互制约的关系。
函数思想的核心之处正在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解需要一个过程。而在小学数学教学中，我们教学以上内容时，要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想，帮助学生形成初步的函数概念，为他们今后的数学学习和发展奠定良好的基础。
参考文献：
[1]《全日制义务教育数学课程标准》（2011版）
[2]义务教育课程标准实验教科书《数学》江苏教育出版社 2007、6 2007、12