一、 教学目标：
使学生初步体会乘法的含义；认识乘号，会写、会读乘法算式。
二、 教学过程：
（一）、关注真实，感知意义
师：同学们看我们班后面的板报漂亮吗？
生齐说：漂亮。
师：再看每朵小花上面有5片花瓣，有9朵小花，你能提出一个数学问题吗？
生1:9朵小花一共有几片花瓣？
师：你会解决这个问题吗？列出式子。
生2:5+5+5+5+5+5+5+5+5=45(板书)
师：你能根据“每朵小花上有2片叶子。”再提出一个数学问题吗？
生 3：一共有多少片叶子？
生列式：2+2+2+2+2+2+2+2+2=18(板书)
师：我们班一共有5个组，每组10个人，一共有多少人？
听汇报，板书：10+10+10+10+10=50
师：观察这三个算式，你发现了什么？
生4；我发现这三个算式都是连加。
生5：我发现这三个算式加数都相同。
（板书： 相同加数 相加）
[反思：课本中游乐场的图画虽然美丽无比，但比起真实情景来说，距离又远了些。建构主义者认为，儿童的实际经历更有利于形成强烈的体验。于是，教师努力挖掘儿童现实生活中已有的具体事例，拉近了学习与生活之间的距离，以此来导入新课，显得更加自然、真实。]
（二）、引导类推，体验意义
师：像这样算几个同数连加，除了用加法外，还可以用另外的方法——乘法（板书：乘法）
师：（指着第一个式子）这个式子表示什么？
生1：9个5连加的和是45。（板书：9 5）
师：求9个5相加是多少，可以用乘法计算。
（板书：9×5）
师；“×”叫乘号，先写“/”，再写“”。
师：9×5=45读作“9乘5等于45”。也可以先写加数5，写作：5×9=45。这个算式怎样读？
生2：5乘9等于45。
师：下面请你尝试把黑板上的其他加法算式写成乘法算式。
听汇报，板书：9×2=18 或2×9=18
10×5=50 或5×10=50
师：说说你是怎样想的？
生3：2+2+2+2+2+2+2+2+2=18就是9个2相加的和是18。所以可以写成9×2=18或2×9=18。
生4：10+10+10+10+10=50就是5个10相加，所以可以写成5×10=50或10×5=50。
[反思：新课程过于强调自主学习的学习方式，而忽略了接受学习的学习方式。对于一些概念的提出是学生难以独立完成的，教师有必要进行指出，如上述案例中乘法这一概念的提出，应该直接把答案告诉学生。然后，再采取自主学习的方法，引导学生用类推的方法，试着把其他加法算式改写为乘法算式。这样更遵循学生的认知规律，符合学生的认知特点。]
（三）、动手操作，建构意义
师：下面请同学们用小棒摆出几个形状相同的图形。
生动手摆，组内交流摆出的图形
师：你能根据所摆出的图形提出一个数学问题吗？
生1：我摆的是小伞，每把小伞用5根小棒，4把小伞一共用了多少根小棒？
生独立解决问题，并汇报：5+5+5+5=20 4×5=20
师：说说这个乘法算式的意义？
生2：4表示4个5，5表示相同加数是5，4×5表示4个5相加的和。
其余算式小组交流。
[反思：在学生初步体验乘法意义的基础上，教师让学生动手摆图形，学生可以自由、大胆地创想，在这个过程中进一步更深刻地感悟、建构乘法地意义。学生先独立尝试、再交流共享，进一步充实了学习材料，丰富了数学知识的现实意义，有效的突破了教学的难点。]
（四）、激活联系，应用意义
师：学了知识，肯定有用，想一想，我们学了乘法有什么用？
生1：可以用乘法来代替同数连加的算式。
生2：可以写起来方便些。
师：下面做一个练习，打开书46页完成做一做。
生独立完成，然后汇报交流。
小结：今天我们学习了乘法的初步认识，以后遇到同数连加的算式都可以写成乘法。
[反思：数学知识的应用价值，不应由教师全盘托出，而应由学生亲身体味。于是，教师引导学生联想知识用途，并让学生动手做题，亲自体验乘法的意义和用途，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力。]
[后记反思]
纵观课例，固有的课堂模式得到了适度的重构。下面结合本课教学谈三点启示：
1、加深体验，增强数学教学的实效性。
事实上，教材编排在一定程度上注重了学生的亲身体验，而要想使教学效果落到实处，就必须注意体验的深度和广度。心理学研究表明，学生对知识的领悟程度直接取决于外界事物对大脑皮层所产生的刺激强度。因此，教师选择了以学生的真实背景为教学资源，更紧密地与实际联系起来，从而加深了体验。
2、多维互动，体现数学教学的开放性。
多维互动是指课堂教学中师生之间、生生之间的交流对话活动。教师不是使用命令的语言，而是平等地与学生对话，运用引导性、鼓励性地语言引领学生走进课堂教学中。再加上学生个体之间的交流，可以促进学生思考，营造宽松、愉快、和谐的学习氛围，共同分享学习的快乐。
一、教学目标：
使学生初步体会乘法的含义；认识乘号，会写、会读乘法算式。
二、教学过程：
（一）、关注真实，感知意义
师：同学们看我们班后面的板报漂亮吗？
生齐说：漂亮。
师：再看每朵小花上面有5片花瓣，有9朵小花，你能提出一个数学问题吗？
生1:9朵小花一共有几片花瓣？
师：你会解决这个问题吗？列出式子。
生2:5+5+5+5+5+5+5+5+5=45(板书)
师：你能根据“每朵小花上有2片叶子。”再提出一个数学问题吗？
生3：一共有多少片叶子？
生列式：2+2+2+2+2+2+2+2+2=18(板书)
师：我们班一共有5个组，每组10个人，一共有多少人？
听汇报，板书：10+10+10+10+10=50
师：观察这三个算式，你发现了什么？
生4；我发现这三个算式都是连加。
生5：我发现这三个算式加数都相同。
（板书：相同加数相加）
[反思：课本中游乐场的图画虽然美丽无比，但比起真实情景来说，距离又远了些。建构主义者认为，儿童的实际经历更有利于形成强烈的体验。于是，教师努力挖掘儿童现实生活中已有的具体事例，拉近了学习与生活之间的距离，以此来导入新课，显得更加自然、真实。]
（二）、引导类推，体验意义
师：像这样算几个同数连加，除了用加法外，还可以用另外的方法——乘法（板书：乘法）
师：（指着第一个式子）这个式子表示什么？
生1：9个5连加的和是45。（板书：95）
师：求9个5相加是多少，可以用乘法计算。
（板书：9×5）
师；“×”叫乘号，先写“/”，再写“”。
师：9×5=45读作“9乘5等于45”。也可以先写加数5，写作：5×9=45。这个算式怎样读？
生2：5乘9等于45。
师：下面请你尝试把黑板上的其他加法算式写成乘法算式。
听汇报，板书：9×2=18或2×9=18
10×5=50或5×10=50
师：说说你是怎样想的？
生3：2+2+2+2+2+2+2+2+2=18就是9个2相加的和是18。所以可以写成9×2=18或2×9=18。
生4：10+10+10+10+10=50就是5个10相加，所以可以写成5×10=50或10×5=50。
[反思：新课程过于强调自主学习的学习方式，而忽略了接受学习的学习方式。对于一些概念的提出是学生难以独立完成的，教师有必要进行指出，如上述案例中乘法这一概念的提出，应该直接把答案告诉学生。然后，再采取自主学习的方法，引导学生用类推的方法，试着把其他加法算式改写为乘法算式。这样更遵循学生的认知规律，符合学生的认知特点。]
（三）、动手操作，建构意义
师：下面请同学们用小棒摆出几个形状相同的图形。
生动手摆，组内交流摆出的图形
师：你能根据所摆出的图形提出一个数学问题吗？
生1：我摆的是小伞，每把小伞用5根小棒，4把小伞一共用了多少根小棒？
生独立解决问题，并汇报：5+5+5+5=204×5=20
师：说说这个乘法算式的意义？
生2：4表示4个5，5表示相同加数是5，4×5表示4个5相加的和。
其余算式小组交流。
[反思：在学生初步体验乘法意义的基础上，教师让学生动手摆图形，学生可以自由、大胆地创想，在这个过程中进一步更深刻地感悟、建构乘法地意义。学生先独立尝试、再交流共享，进一步充实了学习材料，丰富了数学知识的现实意义，有效的突破了教学的难点。]
（四）、激活联系，应用意义
师：学了知识，肯定有用，想一想，我们学了乘法有什么用？
生1：可以用乘法来代替同数连加的算式。
生2：可以写起来方便些。
师：下面做一个练习，打开书46页完成做一做。
生独立完成，然后汇报交流。
小结：今天我们学习了乘法的初步认识，以后遇到同数连加的算式都可以写成乘法。
[反思：数学知识的应用价值，不应由教师全盘托出，而应由学生亲身体味。于是，教师引导学生联想知识用途，并让学生动手做题，亲自体验乘法的意义和用途，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力。]
[后记反思]
纵观课例，固有的课堂模式得到了适度的重构。下面结合本课教学谈三点启示：
1、加深体验，增强数学教学的实效性。
事实上，教材编排在一定程度上注重了学生的亲身体验，而要想使教学效果落到实处，就必须注意体验的深度和广度。心理学研究表明，学生对知识的领悟程度直接取决于外界事物对大脑皮层所产生的刺激强度。因此，教师选择了以学生的真实背景为教学资源，更紧密地与实际联系起来，从而加深了体验。
2、多维互动，体现数学教学的开放性。
多维互动是指课堂教学中师生之间、生生之间的交流对话活动。教师不是使用命令的语言，而是平等地与学生对话，运用引导性、鼓励性地语言引领学生走进课堂教学中。再加上学生个体之间的交流，可以促进学生思考，营造宽松、愉快、和谐的学习氛围，共同分享学习的快乐。
一、精心设计预习题,提升学生的预习能力
教师第一步就是要精心设计预习问题,让学生通过自主学习探究后,带着问题进课堂,不断提升预习能力。
如苏科版初一《同底数幂的乘法》的课前预习设计:首先要让学生懂得幂的概念,分清楚底数和幂,把教材上的“做一做”1稍微变化一些指数,探究得出“做一做”的2和3,通过学生自己的探究,得出同底数幂相乘的法则,整理出字母表达式和文字表述。预习的第二块是法则的简单运用:(1)指数为正整数,底数为正整数、负整数、字母的两个同底数幂相乘;(2)底数为正整数,指数为字母的两个同底数幂相乘;(3)指数、底数都是字母的两个同底数幂相乘等等的例题的变化,让学生懂得如何运用法则来解决相关问题。第三块预习内容,则让学生去思考教材“议一议”,并配有相关习题供学生练习。
二、精心培育数学小助手,提升小组活动的效果
教师在课前一要检查批阅小组长的预习作业,辅导他们预习中出现的问题;二要专门培训小组长,引导他们如何来组织小组成员进行有效的学习讨论。让这些小组长真正成为老师教学中的小助手,能协助其他同学解决预习中碰到的问题。
如苏科版初一《同底数幂的乘法》一课,教师在课堂前几分钟,安排小助手批阅小组成员的预习作业,收集错误信息给老师,同时由他们负责解答这些学生的预习问题。老师同时整理学生信息,编选相应习题供学生活动结束后进行集体辅导,强化预习效果。这样通过“兵教兵”的活动形式,不仅提升了数学好的学生的基础知识和学习能力,也让平时不开口的学生开口有话说,解决些他们学习中的困惑,达到“双赢”的活动目的。
三、精心设计预习检查题,提升学生预习的效果
一些数学生态课的教学中,老师对预习作业的处理,通常采用重复处理或典型错题评析的方式。这样的教学设计,让一部分学生感到课前预习可有可无,或去抄袭,反正老师课堂上会评讲,从而造成学生偷懒现象,让课前预习流于形式;重复处理预习作业,会让学生感到小组活动有无都一样,也会让小组活动流于形式。
因此,在平时的生态课中,要设计一个教学环节,既要提升学生预习的质量,又要能检查学生预习效果的教学环节。那就是在学生活动之后,教师收集他们的错误信息后,编写几道有针对性的习题,再次让学生讨论。如苏科版初一《同底数幂的乘法》中,同底数幂相乘,底数的变化问题、指数的变化问题、底数为负数指数为正偶数时结果怎样表达、底数为负数指数为正奇数时结果又如何表达、超过两个同底数幂相乘如何运算等等,让各层次的学生来点评。让学生在有限的时间内,在自然和谐的教学氛围中,通过回顾概念,掌握要求,了解有关的注意事项之后来反思错误。用批评的眼光去看待自己的解题过程,看看思路是否有问题,概念使用是否正确,计算是否有失误,思考是否周密等等,然后再动手做作业,就心中有数了。在练中学,学中练,在练中评中,达到巩固目的,强化知识,提高能力。
四、精心设计拓展延伸题,提升学生思维变化的能力
我们的课堂教学,就是在传授学生基本知识和基本技能之后,对已学数学问题进行反思和变化,让学生解一题会一类,并训练探究、创新能力,较大限度地提高了解题的效率。
要使师生双方及时接受正确的信息,加快信息反馈的速度。教师不妨设计几组探究题:(1)底数由同底数幂相乘到不是同底数幂相乘的探究:如底数为a或(-a),指数为正偶数或负偶数的两个同底数幂相乘;底数为多项式(a-b)或(b-a),指数为正偶数或负偶数的两个同底数幂相乘,探究底数符号变化规律。(2)同底数幂相乘底数不变,指数相乘法则的逆用等等。总之,数学变式教学要源于课本又要高于课本,要明确目的,遵循课标;要突出重点,以点带面;在教学的过程中要针对实际,因人而异。著名的数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个。”数学课堂教学中,变式教学就是数学教育家波利亚所说的“蘑菇”,它能够充分调动学生的主观能动性,使多向性、多层次的交互作用引进数学教学过程。教师通过变式教学,不但使学生能举一反三,而且能使教学结构发生质的变化,使学生成为创造的主人。
五、精心设计课堂检测题,提升学生自我评价的能力
一堂数学生态课的成功与否,归根到底是以学生是否真正掌握知识的程度和运用知识的能力为评价标准。而实际上,在许多数学生态课中,都缺少这样一个检测评价环节,大部分都把这个环节放在课后进行。其一这样处理,学生只是根据老师的作业批阅,由批改符号只能知道哪个题错了,但不知道错在哪里,得到的只是百思不解的信息;其二我们老师经常发现有些学生作业很不错,但一考试成绩很差,因为学生为了老师“批改”只好抄袭作业,教师也只好“上当受骗”,也就是老师获得的信息失真度很大。
因此,为了能使师生双方及时接受正确的信息,加快信息反馈的速度,数学生态课应设有当堂检测这一教学环节。如苏科版初一《同底数幂的乘法》一课中,教师应在拓展延伸活动结束后,根据本节课的重点难点,中考要求,编制一些问题,立即进行当堂检测。检测题要少而精,也要考虑各个层次学生的实际情况,让他们学而有成就感。同时要注意检测时间的控制,留有时间当堂借助小助手的帮助进行批阅、点评。这样,学生进一步巩固了本节课的知识,又当堂解决了学习中的问题,不带问题下课,进入良性学习的轨道。教师也能通过学生检测信息的反馈,不断调整教学内容和教学方法,来适应学生不断变化的需求。
教师先从一道判断题引入：16？郾8÷0？郾41>16？郾8（ ）。
学生独立解题。
师：遇到这样的题，你认为最基本的解题方法是什么？
生：列竖式。
生：亲自算一算。
学生通过笔算很快求出结果，从而判断不等式是成立的。
师：不用算，你还有什么办法吗？
生：有，我们知道一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大……
由于这位学生平时说话慢，还没等他说完，我就制止了他的发言。
师：这可是除法呀！
生：对呀，这是除法，怎么能用乘法来判断呢？
那位学生欲言又止。
师：好，谁再来说一说自己的发现。
生：老师，我发现只要除数小于1，商就大于被除数。
师：他说的对不对呢？还有谁也是这么认为的？
师：那我们怎么知道这种想法是否正确呢？
生：验证。
师：好，每位同学举一个例子。
学生验证，均得出结果。此时每个人的脸上都绽放自信的笑容。
师：谁能用自己的话总结一下。
生：一个数（0除外）除以大于1的数，商比原数小；一个数（0除外）除以小于1的数，商比被除数大。
生：除数小于1，商就大于被除数；除数大于1，商就小于被除数。
生：老师，我是这样想的……
师：我知道你的意思，你的想法给我们大家提了一个醒，在判断大小时要注意区分乘法和除法的不同，对不对？谁能帮忙提醒一下？
生：在乘法算式中，乘大于1的数，积比原数大。而除法正好相反，除以大于1的数，商比原数小。反之，也同样。
教师又找几位学生说了自己的想法，这时那位学生还举着手。
师：你是不是没有听明白？
生：不是，老师。我是这样想的――因为我们知道一个数乘大于1的数，积比原数大。而用商乘，被除数就应该比1。只有商大于原数，商×除数（小于1）才有可能等于被除数。
听了这位同学的发言，我一时怔住了。仔细想来，原来这位同学是从另外一个角度去判断的。我们不妨简要分析一下：首先将上面算式中的三个数用字母来代替，若A÷B=C（A、B和C是三个不同的自然数，且A≠0，B
如此思考，是利用了乘法中积与被乘数关系，以及乘除之间的互逆关系，是建立在已有知识基础之上的逻辑推理，需要学生具备更高的思维水平。同时这样做可以有效沟通小数乘除运算中两个“规律”之间的内在关系（这里的规律是指小数乘法中积与被乘数的大小关系，小数除法中商与被除数的大小关系）。说白了，两个“规律”就是一个关系的相反过程。相对而言，教了十几年数学的笔者，习惯于引导学生通过归纳推理来得出商与被除数的大小关系，将其完全割裂开来教，两个规律就是两种情况，从未从另外一个角度考虑过，想到这里不禁为自己的粗糙处理和盲目判断感到羞愧，更为这位学生的精彩表现而欢欣鼓舞！
反思以上教学片段，如果不是那位学生一个劲儿地举手，可能就会失去一次让学生深入理解，让自己彻底反省的机会。整个教学中，笔者两次误读学生：第一次以为他看错了运算符号，将乘法套用到除法上，所以直接打断了他的发言。第二次将学生的“错误”想法拿来作为提醒其他学生的一种方式，看起来奇妙，其实漠视了学生的真实想法。这些先入为主的做法与自己平时不善于倾听学生，只按自己心中的路线教学有很大关系。我们经常要求学生学会倾听教师的讲课，却偏偏忘记了教师首先要学会倾听。还是著名教育家佐藤学说得好：“当学生不听讲时，大多数教师是责备学生的‘听讲态度’，而极少有教师反省自己的‘讲话方式’，极少有教师认为以自己的‘倾听方式’或‘身体姿态’为轴心所构成的与学生的交往方式有问题”。
上过五年级“小数乘法”一课的教师，都有一种很深的体会：在列竖式笔算时，学生关于数位的对位问题总是一知半解。列3、5×3的竖式，多有图1、图2两种样子，谁也无法说服谁。还有的学生实在搞不清楚，就想出了如图3的列式。其实不难想象，出现这些问题，正是受到小数加减法列竖式要求数位对齐的负迁移。尽管教师多次强调小数乘法列竖式要末位对齐，但当学生坚持说图1也没错时，教师也显得有些无可奈何了。很明显，图4～图6也说明，在列竖式的过程中学生很难摆脱小数的束缚，带来的后果是，要么算错，要么算不下去。
我们知道，整数乘法的竖式与它的横式思考方式是一样的，都是运用乘法分配律。例如32×14就是4个32与10个32的和，列竖式也正是这样的过程体现。但是到小数就有点不一样了。其实3、2×14也完全可以想成4个3、2与10个3、2的和（从算理上讲，列竖式这样去想也是对的，如图5），但是真正在列竖式时我们却把它们当作整数乘法去推算的，中间过程并不会出现小数。如果认可了图5的正确，那么像图4这样的错误率就更高了。
教师引导学生把小数乘法转化为整数乘法来算（图7），也一起分析了算理，但学生的视觉“告诉”他，这样做“很不和谐”：小数相乘中间过程却是整数，到最后又是小数。所以“小数乘法”教学的真正难点是帮助学生越过这个坎。教师对此一般的做法就是“充分感受、正面强化”，笔者以往也一直都是这样操作的。但是学生升到六年级之后再去问他们，为什么图7竖式中间过程没有小数？他们多是含糊其辞，最后总是以“以前老师是这样教的”来结束问答。于是笔者大胆设想，不妨把小数乘法直接改成整数乘法（在列竖式之前），用列整数乘法竖式进行推算（如图8），效果是不是会更好呢？
二、设计过程及前后比对
【设计第一稿】
在正式决定上这节课之前，笔者对本课教材进行了分析，也进行了多版本教材间的比对，发现了一些共同的地方：一般都在具体情境中引出小数乘法算式，用多种方法思考答案（如转化成加法算、转化单位算、数形结合算等），通过积的变化规律进行算理分析，最后是熟练巩固。遵循这样的思路，笔者设计了教学的第一稿。
（一）复习铺垫
1、出示图9，请学生快速口答。
2、说算法：说说速算的办法。（小数点位置移动引起小数大小变化）
3、环节过渡：3、5×3是否也与小数点位置移动有关？
（二）新授展开
1、给算式3、5×3赋予一定的现实情境（市场里买东西，西红柿3、5元/千克）。
重温数量关系：单价×数量=总价。
2、讨论交流，用学过的方法求出3、5×3的答案。（强调：已学过）学生中一般会出现以下几种方法：
（1）转换算法，用加法做――点拨小数乘法的意义。
（2）转换单位，化元为角――化成整数算。
（3）分解小数，分步计算――运用乘法分配律。
3、尝试用竖式计算，使过程更简洁。一般学生中会出现两种情况（见图10）。
4、找出两种方法的共同之处：都是将3与3、5分别相乘。引导发现与之相关的整数乘法算式（见图11）。从运算角度进行算理分析。
5、及时巩固，强调照样子写出思考过程（图12：6、4×4，6、32×3）。
6、重点讨论：左右两个竖式“保留哪一个”，明白用整数乘法竖式可以解决小数乘法计算的道理。
7、即时练习两道题，特别是两位数乘两位数（5、4×5，5、4×42）。
（三）练习巩固
1、基础练习：口算6道题，强化算法。
2、实践应用：出1道关于解决问题的题目，关注小数末尾去零的问题。
3、拓展提升：同一个竖式可以解决许多小数乘法计算的思考分析。
按照这样的教学设计经过两次课堂试教以后，笔者发现了一些问题。
问题一：在新授展开的第一步，请学生用学过的方法求出3、5×3的答案，学生似乎并不领会，计算这个答案似乎仅凭经验或直觉就可以得到（学生有太多的购物经验了），不需要什么方法。在笔者的一再要求下，转换方法、转换单位、分解小数用分配律算等方式总算都呈现出来了，但总体感觉是算法多样化并没有给学生带来多少课堂兴奋。
问题二：在新授展开的第四步，要求学生从运算的角度进行算理分析时，课堂也比较沉闷。因为前面已经知道10、5这个答案了，为什么还要这么复杂地分析来分析去。学生大多对此表示不理解。
问题三：在新授展开的第六步，笔者意在通过分析与讨论，让学生接受用整数乘法可以推算小数乘法，因此在列竖式时直接列成整数乘法竖式就行。但笔者的良苦用心学生并没有领情。到最后笔者只能强调，右边整数乘法这个竖式其实就是我们很重要的思考过程，在计算时只要保留这一个过程即可，随即把左边的竖式隐去。
问题四：在新授展开的第七步出现了课堂生成，既是问题也是契机。学生在列5、4×42的竖式时，出现了两种竖式，这说明有些学生还没有真正接受前面的知识。列图13的学生很快算出了答案，列图14的学生一直在嘀咕――怎么算呀，我哪写错了。于是笔者进行了干预：“像图14的算法，如果没有列成整数乘法的竖式，大家看看，是不是出现问题了，这位同学算不下去了。请下面哪位同学来帮一下，稍加改动，他就会明白了。”于是有学生上来将竖式21、6中出现的小数点擦去，也算出了226、8，笔者真的很无奈。
良好的设计意图并没有达成理想的教学效果，是需要反思的。回到教材，对比教材中的示例（例1：3、5×3与例2：0、72×5）。例1主要是在具体情境下理解不同的算法（有单位支撑），例2是脱离了具体情境，运用转化整数的方法，从积的变化规律的角度去进行分析的，并且这两个例题所出示的具体算式是不一样的。而笔者在自己的教学设计中，试图将例1与例2通过同一个材料3、5×3给以集中体现，学生显得有些思维疲倦。在知道答案的情况下还要进行不断的思考分析，让学生提不起精神。反思整个设计，总的来说学习材料缺少吸引性，思考力度缺少挑战性，教师给予的多，学生体验的少。笔者想重点体现的“用整数乘法（竖式）推算小数乘法结果”这一核心思想并没有出自学生主动的发现与积极的感悟，多的是“被发现”与“被灌输”。为破解问题，笔者进行了重新设计。
【设计第二稿】
（一）复习铺垫
口算
（设计意图：三组题逐一先后出现，图15因为数据简单，学生可以直接算答案，也可以根据积的变化规律算，图16迫使学生自觉地运用积的变化规律算，图17更抽象，在54还没给出之前是算不出来的，给出54以后，有学生会去想是多少，然后再进行填空计算，有的学生会沿用积的变化规律填空，这样的学习面向的是全体学生，又伴随着不断地“发现”，他们会体验这种“发现”的乐趣，这是用数学本身去吸引学生。）
（二）新授展开
1、口算。
6组题逐一先后出现，特别在图18、图21、图22、图23处作重点展开讨论。
（1）讨论图18：学生受到前面复习的迁移能很快算出3、5×3的答案10、5，教师反问：以前整数乘法里我们会运用积的变化规律，难道小数乘法也适合用积的变化规律？你能说明理由吗？由此学生将主动寻找各种算理来说明问题。方法主要也是前面第一稿中讲到的“转换为加法”“借用或转换单位”“分解小数用乘法分配律”等方法，但是这种学习状态是积极的，因为他们想努力证明自己的“猜想”是正确的，是为自己找理由。这里教师重点写出35―3、5、105―10、5这两个数之间的关系。
（2）讨论图21：这里有一个数未知，你竟然也算得出答案？这样的提问一下子将学生的地位抬高了，他们的解释是积极的、愉快的，因为他们觉得自己“很有能耐”。
（3）讨论图22：这题上下要反着出。先出3、15×14=，然后提问，你想知道哪个整数乘法算式？根据学生的要求，教师再给出315×14=4410，学生很快就推算出答案，并主动给出推算的过程。教师重点写出315―3、15，4410―44、1这两个数之间的关系。
（4）讨论图23：继续图22的方式，上下两题反着出，先出6、42×13=，然后提问，你想知道哪个整数乘法算式？学生提要求，但教师只给出642×13=，并不像图22那样直接告知整数乘法的答案，由此学生的思维与行动将合一指向642×13的竖式解答， 他们会快速算出答案8346，进而推算出小数乘法的正确答案。学生在计算答案的过程中体会到了学习的快乐。
2、小结提炼。
（1）呈现板书并交流。
（设计意图：小数乘法通过整数竖式推算出来，此时已是学生积极主动的行为，无须强调，教师只需追问一下学生：你是怎么想的？进而将扩大、缩小的倍数关系补充完整，让思维外显出来。然后重点强调，以后这样的小数乘法计算我们就可以通过整数乘法竖式将它推算出来，为书写简便，整数乘法的横式与板书中的扩大缩小的书写都可以省略不写。整数乘法这个老朋友可以帮助我们解决小数乘法这一新知识，随后与下一环节中的巩固练习相衔接。）
（三）练习巩固
1、基本练习，注意写竖式过程与书写格式。
2、算用结合，解决实际问题。
3、拓展提升，引导学生思考同一个整数乘法竖式可以解决许多小数乘法问题。
重新设计的“小数乘法”一课，经过课堂检验，顺利地解决了第一稿设计中存在的问题。学生在课堂中时而紧张、时而愉悦、时而兴奋，专注力很高。教材中强调小数乘法的计算结果一般要舍去小数末尾的0，这作为一个知识点，在传统的课堂教学设计中，教师讲了多次，还是会有学生忘记。有的学生搞错了先后顺序，先去掉了末尾的0，再添小数点。而在笔者的教学设计与课堂实践中没有任何提及，学生很自觉地省略了，这是一个很意外的发现。仔细想来，因为根据整数除法的学习经验，一个整十，整百…数除以10，100…在心算过程中，它们末尾的0早已被自动抵消掉了。
三、写在最后
在文中，有一问是值得我们关注的：以前整数乘法里我们在运用积的变化规律，难道小数乘法也适合用积的变化规律？笔者以为，这种规律的迁移是否合理虽然不需要证明，但需要讨论，就像整数加法交换律、小数加法交换律、分数加法交换律，虽然难度很小，但教材都安排了新课，因为在学生看来，整数与小数毕竟长得不一样。这也就是为什么全体学生并非一下子都能想到“将小数乘法转化为整数乘法最后将答案进行推算”的最重要的原因。
［摘 要］在小学数学教学中，计算教学是自始至终贯穿于其中的一条主线。因此，在小学数学教学中，教师要依据计算教学的要求，努力挖掘其中的思维训练因素，把发展学生的思维能力作为教学的主要目标，提高计算教学的有效性。
［关键词］小学数学 计算教学 策略 思维能力
［中图分类号］ G623、5
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1007-9068（2015）08-031
在小学数学教学中，计算教学是自始至终贯穿于其中的一条主线，不仅学习时间长，而且训练机会多。如果教师本着考什么、教什么、练什么的心态进行教学，会使学生思维能力的发展受到影响。因此，在小学数学教学中，教师要依据计算教学的要求，努力挖掘其中的思维训练因素，把发展学生的思维能力作为教学的主要目标，提高计算教学的有效性。
策略之一：整体进入
现象描述：
教学“两位数乘一位数”时，教师投影呈现例题图，问：“请同学们仔细观察，图上告诉了我们哪些信息？你能根据这些信息提出一个数学问题吗？”学生思考后回答：“每头大象运20根木头，3头大象一共运了多少根木头？”教师在学生列出算式后，揭示今天要学习的内容。
我的思考：
类似这样计算教学的引入我们司空见惯，教师完全是根据教材的编排顺序，按照一个知识点、一个例题、一组练习的方式进行教学。这样的教学方式，学生由于不知道知识的来龙去脉，往往被动地跟着教师学算法、记算法、用算法，导致机械模仿多，思维含量少。所以，我们应摆脱和超越具体的每一节课教材的限制，在思考整个单元知识结构、育人价值的基础上，采用整体进入的方法，让学生先从整体上把握乘法的知识结构类型，再逐步把握部分知识，从而培养学生的整体思维能力，提高计算教学的有效性。
反思重建：
师：前面我们学习了一位数乘法，即表内乘法，今天我们学习两位数的乘法。那么，两位数的乘法会出现哪些情况呢？
生：整十数乘一位数，两位数乘一位数，两位数乘两位数。
师：今天，我们学习整十数乘一位数。
……
课堂中，采用整体进入方法进行教学，可用以下两种方式：（1）如果学生前面有类似的学习经验，可以提醒学生根据两位数的加法来推想乘法可能会有哪些类型。如上述教学中，教师提问“那么，两位数的乘法会出现哪些情况呢”，学生回答有困难的话，教师可提示：“请同学们回顾一下，我们前面学过的两位数加法有哪些类型？”在学生回答的基础上，教师引导学生猜想两位数乘一位数有哪些类型。（2）如果学生前面没有接触过这样的学习方式，教师可列举一些数，让学生根据材料写算式，然后进行分类，引导学生了解两位数乘法的类型。如教师出示20、30、3、5、12、35等数，请学生每次选两个数组成乘法算式，然后将写出的乘法算式进行分类，在分类的过程中明确两位数乘一位数的类型。这样教学，培养了学生的有序思维，渗透了分类等数学思想方法。
策略之二：合理想象
现象描述：
教学“9的乘法口诀”时，在师生共同找出有关9的乘法口诀算式后，教师通过各种形式的练习，让学生记住9的乘法口诀。在这个过程中，学生或齐读，或小组说，或个别说。
我的思考：
9的乘法口诀共有9句，要一下子记住这些口诀，对于二年级的学生来说，单靠死记硬背显然是不可取的。其实，看似简单的计算中可以发掘出很多有意思的规律。通过师生之间的有效互动，可充分发挥学生的想象力，让他们大胆合理想象，突破原有知识的限制，尽可能地从不同角度、不同方向去思考问题，从而提高计算教学的有效性。
反思重建：
那么，如何引领学生巧记口诀，发展思维呢？通过找规律这一途径，即对一列9的乘法算式的整体观察，学生能发现多个规律：（1）按这样的排列，得数每个多9。数学知识一环扣一环，教材采用螺旋上升的方式编排，这样易于学生找到新旧知识的“生长点”，找出新旧知识之间的区别，便于归纳出规律。（2）得数的个位数字、十位数字相加，均等于9。（3）得数的个位数字是9、8、7、6……变化，十位数字是1、2、3……6、7、8变化，且十位数字比这道算式的乘数少1。（4）得数与几十相比：1个9比10少1，2个9比20少2，3个9比30少3……（5）得数9、18、27……72、81按顺序一单数、一双数出现。（6）得数成对比变化，如18和81、27和72、36和63、45和54等。几道算式中竟藏有这么多的秘密，学生面对自己的发现又惊又喜，很快便记住了9的乘法口诀。这样教学，在学生寻找规律的同时，培养了他们的发散性思维。
策略之三：数形结合
现象描述：
教学“十几减9”时，尽管课堂上学生会出现各种算法，如“想加算减”“平十法”“破十法”等，但许多教师考虑到“想加算减”更有利于学生形成计算技能，便会让学生简单地罗列算法并进行优化，然后通过不断反复操练“想加算减”的方法，使学生达到计算的熟练程度。
我的思考：
“想加算减”这种算法固然沟通了加减法之间的联系，但不难发现，在这样的过程中，学生只不过是在运用已学过的加法知识解决减法口算问题，学生内部的心智活动很少，思维得到的训练不多，只是便于学生形成相应的计算技能。相比“想加算减”的算法，“平十法”和“破十法”对于培养学生思维的深刻性与灵活性更具意义。比如13－9，采用“平十法”，计算者就需要在头脑中经过这么一个过程：把9分成3和6，先从13里去掉3，再从10里面去掉6。这里需要理解“为什么把9分成3和6”的问题，使学生在一系列问题的思考过程中明晰算理。如采用“破十法”，则在头脑中必须经历这样一个过程：把13分成10和3，先算10减9等于1，再把1和3合起来是4。很明显，这种数形结合的思考过程相比“想加算减”算法而言，心智活动要复杂得多。在这个过程中，计算者要将计算分割成几个小的步骤，要将各种信息在头脑中进行合理的拆分、拼组等，并要在短时间内完成所有的步骤，得出正确的结果，这是一种很高级的心理活动。计算者正是通过这样的心理活动，锻炼了自己思维的深刻性，发展了创造性思维。
反思重建：
在教学过程中，教师应引导学生把动手操作的要领与计算的算理相结合，并用记录的方法呈现。如13－9，先从10根小棒里拿走9根，可记录为10－9＝1；再把剩下的1根小棒与3根小棒合起来是4根，可记录为1＋3＝4。在这个过程中，学生要思考小棒的呈现、小棒的分与合，并与相应的算式建立起联系，发现运算的一般规律（十几减9的一般规律）：得数比被减数的个位多1。这样数形结合的学习方式，不仅保证了探索活动的有效进行，而且促进了学生形象思维向抽象思维的发展。
策略之四：口、估、笔、简算有机融合
现象描述：
二年级下册“乘法”单元教材是这样安排的：先学习两位数乘一位数（不进位），包含整十数乘一位数的口算和两位数乘一位数的笔算，然后安排“求一个数是另一个数的几倍”的实际问题和“求一个数的几倍是多少”的实际问题；接着学习两位数乘一位数（一次进位），安排乘加、乘减两步计算的实际问题；最后学习两位数乘一位数（连续进位）学习，安排乘减、加减两步计算的实际问题。
我的思考：
这种编排体系很好地联系了计算与生活，体现了计算与解决问题之间的关联，但计算本身之间的联系被割裂了。而且，将估算放在笔算之后进行教学，学生会先计算出实际结果，再把这个结果看成整十数。如48×2＝96≈100，这说明学生不理解为什么要进行估算，而且有可能对精确运算产生错误的理解。因此，教师在教学时可以口算为主，将估算、笔算、简算融合在其中，使学生形成判断的自觉意识，养成根据自我需要做出正确选择的主动学习习惯。
反思重建：
第一课时：整体进入，口算为主，渗透笔算。此时出示乘法笔算就可以了，不用解释法则，而将重点放在口算方法的探讨上，让学生利用表内乘法进行拆分。如13×3，可以拆为6个3和7个3、8个3和5个3，也可以拆为10个3和3个3……让学生在比较中感悟拆成整十数和一位数相乘这种方法的一般性与简便性。
第二课时：估算为主，渗透笔算，落实口算。这节课主要体现估算的意义，虽以教学乘法的估算为主，但实际上是巩固口算。当然，学生也可以利用数位关系进行笔算。这时教师可以引导学生将估算结果与实际结果进行比较，进一步帮助学生认识估算的意义。
策略之五：重视检验
现象描述：
在计算教学中，学生的错误总是层出不穷，不是抄错数字，就是背错乘法口诀。这都是一些极小的错误，但却经常出现，让人忽视不得。
我的思考：
心理学家桑代克认为：“尝试与错误是学习的基本形式。”在学习过程中，犯错是在所难免的，教师要允许学生犯错，深入分析学生错误背后存在的心理因素，引导学生在错误中吸取教训，使自己下次不再犯错。学生对自己和别人的学习情况难以做出正确的评价，这就要求教师在教学中要经常引导学生对自己和别人的思维过程及结论进行检查、评价，使之养成良好的验算习惯。
反思重建：
课堂教学中，在学生回答问题之后，教师应追问“为什么”“你是怎么想的”等，并指名学生说一说“你认为他说得对吗”。在练习中，教师应要求学生做完后认真检查，如查一查题目有没有抄错、查一查算式和运算方法是否合理等。久而久之，这样不仅使学生养成良好的自评、验算习惯，而且有效地发展了学生的批判性思维。
一、通过练习指导学生思维
为什么要练习？一方面，练习有巩固意义，有将知识转化为能力，促进知识运用的作用；另一方面，练习提供了一种将内涵思维方式、思维过程，通过做题外化为文字、符号、动作语言的机会，教师可以根据学生表达的语言理解学生的思维，进而指导学生思维。同样的道理，学生在练习中交流与讨论也是一种思维的表达，关注了学生的练习也就是关注了学生的思维。
二、通过动手操作、观察，掌握多种思维方法
学生思维能力的发展，需要一个长期的训练过程。教学时，教师要遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程。我在教三年级“列式计算除法”时，主要学习“一位数除两位数，商是两位数”的笔算方法。有两个算式：一个是“48÷2=”，一个是“8÷3=”，在教学中我发现了值得反思的新问题：
1、学生并不清楚除法竖式中横线的意义
十位上的商出来以后，中间的横线有的不写，有的写了但不知道后面该做什么。为什么会出现这样的问题呢？我认为是分小棒中的活动与除法算式中的数学思维结合不够紧密。如何分小棒？首先是分“捆”，“捆”代表“十”，“根”代表“个”，先分“捆”再分“十”，它表明除法算式是从高位算起的。整“捆”不能再分的时候，告一段落了，用一根横线来表示。同时也意味着要分“根”了。我体会到，横线在很大程度上是告一段落，该下一个环节的意思。
2、48÷3=？分完了“捆”，剩下一“捆”怎么处理，学生也不太清楚
我注意到，学生在操作活动中，有一个小组是拆散了一“捆”和8“根”和在一起。拆散的活动是什么？是把1“捆”拆成10“根”。反映在算式中，就是把十位未分完的“1”写下来当做“10”和个位上的“8”和成“18”用3除。我认为，“拆散”的方法就是把商位没有商尽的数写下来，再和下一位数结合再商的规则。
教学中充分体现了小学生思维发展由直观行动思维发展到学生获取知识的思维过程。这一系列的操作活动使学生掌握了多种思维方法。值得反思的是：数学教学要仔细思考数学活动背后的数学思维，同时又要尽可能把内隐的数学思维外化为有意义、有价值的可以操作、观察、分析和讨论的数学活动。
三、要训练学生思维的创造性
在教学中，教师要充分发挥创造性，依据小学生的年龄特点和认知水平，设计创新和开放性的问题，给学生提供自主创新的机会。让学生在观察操作、讨论、交流、猜测、归纳和分析、整理的过程中，理解数学问题的提出、数学观念的形成和数学结论的获得以及数学知识的应用。例如，教学“三角形的分类”一课时，我为学生提供了六个三角形为学具，以小组合作的形式，让学生先分别量出各个角的度数和各边的长度，然后各小组进行讨论，最后再把六个三角形进行分类。学生各抒己见，发现划分的标准不一样，得到的种类也不同。学生置身于主体地位，把学习数学知识转化为数学活动，学生学得轻松、学得灵活，从而最大限度地挖掘了学生的潜能，激发了学生的创新意识。
四、给学生提供足够的思维材料
学生的思维能力是在数学知识的学习过程中潜移默化地培养的。因此，培养学生的思维能力必须为学生提供足够的思维材料。
1、提供感性材料
感性认识是通过表象向理性认识过渡的，是促进小学生思维发展的重要途径。对于低年级学生，教师更应提供具体的感性材料，让他们通过声音、颜色、图像、动作获取充分的感知。可以利用课本上的插图，也可以利用教具演示或学具操作、多媒体课件等，让他们画一画、摆一摆，通过观察、比较、分析、综合，获取数学的初步概念。同时，教师提供的感性材料应是充分的，而且要有思维阶梯。
2、提供理性材料
新课程数学教材呈现的概念和规律都是具有逻辑意义的。但是对学生来说，教材是外在的，如何内化为学生自己的知识，教师必须进行教学方法的加工。在学了分数乘法以后，学生已经知道一个数乘真分数乘积必小于原来的数，那么在什么情况下乘积必须大于原来的数呢？于是，我便提供了以下几个算式：
师：哪几道题乘积大于原来的数？
生：一个数乘整数，乘积就会大于原来的数。
师：0是整数吗？
生：一个数乘自然数乘积就会大于原来的数。
师：3是自然数吗？
生：一个数乘不是0或不是1的数积就会大于原来的数。
师：能不能更简单些？
学生讨论后总结：只要是乘一个大于1的数，积就会大于原来的数。
一、注重培养学生对数学规律的认识
数学是一门规律性很强的学科，知识环环相扣，一个环节掌握不好就无法接受新知。因此我们在教学过程别注重培养学生掌握数学规律。例如：在一年级教学数的认识时，我紧扣大纲的要求，让学生在认识数的同时，对他们进行规律数数的练，首先让他们数单数，再让他们数双数，最后让他们数间隔是3、4、5、6、7等数，经过这样的训练同学们不仅掌握了数的规律，又提高了计算的能力及速度，同时也为以后学习乘、除法奠定了坚实的基础。例如：拿间隔是3的数3、6、9、12、15等来说，当学生学到3的乘法口诀时，老师可以引导学生想一想以前练过的间隔是3的数，同学们马上就会意识到根据这一数数的规律就会很快记住3的乘法口诀，这样既加快了同学们的记忆速度，又找到了新旧知识间的联系，同时也会让同学们体味到数学知识是有规律可循的，可大大消除怕学数学的心理，起到激发学生学习数学兴趣的目的。在教学过程中让每一个学生都做到爱思、乐思、学有所获，时刻都能品尝到成功的快乐。因此在教学过程中我们有必要进行规律教学，使学生熟练掌握知识，达到举一反三的目的。
二、注重采用比较教学法
比较法是一种常见的教学方法，比较就是通过观察发现新旧知识间的联系，找出新旧知识间的异同点，从而发现知识的增长点。这样我们就可以让学生发现本节课应该掌握的重点内容，因势利导，让他们针对知识的增长点进行讨论。例如：在教学乘数是两位数的乘法时，我们首先让同学们想一想乘数是一位数的乘法法则，再让学生找出例题与准备题之间的联系。（准备题：12×4=？例题：12×24=？）同学们经过观察得出准备题与例题之间的不同之处就是准备题的乘数比例题少了一位数，老师首先让学生把相同的部分计算完，再组织学生讨论例题中的乘数中的“2”怎样进行计算，首先确定“2”在什么位上，同学们异口同声的回答在十位上，接着讨论“2”和被乘数个位上的“2”的乘积应写在哪一位上，经过讨论同学们得出应该把乘积写在十位上。解决了这个问题，其他问题就迎刃而解了。同学们经过自己比较、讨论得出结论，可加深记忆，提高掌握知识的灵活性，从而提高了同学们提出问题、分析问题、解决问题的能力，大大锻炼了学生的思维能力，同时培养了学生举一反三的能力，增强了学生思维的灵活性。
三、培养学生多思的好习惯
孔子说：学而不思则惘，思而不学则怠。我们在数学课教学中要培养学生多思的好习惯。在教学补充条件的应用题时，要尽量让学生多思考，有几个可补充的条件，就补充几种条件，直到再也没有可补充的条件为止。这样大大活跃了学生的思维，促进了学生的智力发展。在教学加法时，我们从不把知识局限于加法的范围之内，每教一道加法算式都要和两道减法算式联系起来，也就是让学生根据一道加法算式，立刻能想出两道减法算式。经过长期的训练可以使学生在头脑中建立起完整的知识体系，以达到多思的目的。同样在学习乘法、除法、减法时也采取同样的方法。通过这样的练习同学们增强了加减法、乘除法之间的联系。使同学认识到数学的各个知识点之间不是孤立存在的，而是互相联系、互相渗透的，只有抓住了知识间的衔接点，才能把知识学活，在知识的运用上才能灵活多变，应用自如，以达到触类旁通举一反三的目的。
四、培养学生求异思维的能力
求异思维就是要求教师要引导学生从不同的方向，不同的角度探索客观真理，力争有所创见。要想让学生随时都有求异的意识，在平时的教学过程中必须给学生发展求异思维的环境。例如：我们在教学学生认识除法算式的意义时，我们出了这样一道题：请同学们说出24÷4=？的算式的意义，有的同学说：“24÷4表示24里面有几个4”，有的同学说“24÷4表示24是4的多少倍”。在得出这两种意义后，我们又组织同学讨论是否还有其他意义，最后终于得出了第三种意义，把24平均分成4份，每份是多少？经过这样的训练同学们就会对除法的意义有更深一步的理解，加深知识的牢固性，使学生在教学过程中提高自己分析问题、解决问题的能力，大大开发了学生的智力，也使学生所学的知识更加完整、充实。因此求异思维可提高学生举一反三的能力，避免教师教多少学生会多少，而是让学生通过思考找出问题的答案，真正成为学习的主人。
五、培养学生逆向思维能力
逆向思维能力就是从事物的相反方向去思考问题，以得出问题的答案。在提倡素质教育的今天，我们需要创造性地解决问题，就应逆转一下正常的思路，多从反面想问题。因此我们在数学教学过程中要注重培养学生逆向思考问题的能力。例如在教学一年级数的认识时，可以在同学们正着数数的同时，进行倒着数数。刚开始有的同学很不习惯，跟不上数数的步伐，常常接不上，但是经过一段时间的训练，同学们都适应了这种训练，这意味着同学们逆向思维能力有了进一步的增强。我们在教学应用题时采用从问题入手，往前找出解决问题的条件，一个一个对号入座，例如，在教学例题：工人们修一条路。每天修12米，10天修完。如果每天修15米，几天修完？要想知道几天修完，必须知道这条路的长度和现在每天修多少米？回到题中一看现在每天修15米是已知条件，这条路的长度是未知的，因此确定这条路的长度是间接条件，也就是我们要求的中间问题，再根据与中间问题有关的已知条件求出这个中间量，以达到解决问题的目的。我们的学生如果从一年级就进行这样的训练，一定能达到事半功倍的效果。因此我们在日常的数学教学中要大力发展学生的逆向思维能力，以增强学生的创新意识，跟上教育教学改革的步伐，培养出适应时展需要的合格人才。
六、注意安排灵活多样的练习题