一、关于“数的分解”的操作材料
（一）原有的操作材料
在行动研究前，教师提供的关于“数的分解”方面的操作材料如图1、图2所示，如要把8分解成两个数，幼儿就摆出6个点子和2个点子的叶子，或者5个点子和3个点子的叶子。类似材料可能很多幼儿园教师都制作过。这样的材料与纸质练习单相比有所进步，可供幼儿摆弄。但我们发现，幼儿操作几次之后便再也没有兴趣了，而且幼儿并没有“做中学”，而是头脑中先有答案再摆出来的。这样的操作材料对于那些尚没有掌握数的分解的幼儿并无太大益处，也有悖于“通过让幼儿操作材料达到运算的逐步内化和对运算过程反省抽象”的初衷。
（二）调整后的操作材料
1.“玩转保龄球”
如图3，地上摆好10个瓶子，幼儿站在离瓶子一定距离处“打保龄球”，之后数一数自己打倒了几个瓶子，站着的还有几个瓶子。然后取出相应的小木棍插入图表下方的口袋里，并写出相应的分解式和加法算式。比如，打倒了6个瓶子，就在“瓶子倒了”图表下的口袋里插入6根小木棍，在“站立瓶子”图表下的口袋里插入4根小木棍，然后写出“4+6=10”。对于那些还没有接触过加法算式的幼儿，教师可以改用数的分解式。
2.“打滑梯”
如图4，幼儿根据纸上显示的3个点子，将3个小球从“滑梯”上撒下来，3个小球就自然地被分到两个小盒子里。幼儿可以在记录单上记录每次“打滑梯”的结果。
3.“分球”
如图5，幼儿晃动3个球，这3个球会被随机分到两个格子里，幼儿记录分配的结果。
（三）调整后的操作材料的优点
数的分解这一概念涉及“整体与部分”“集合比较”“加减法”等概念。首先，幼儿应知道被分解的数量与分解后的两个数量之间是整体与部分的关系，且被分解的数量比较大；其次，幼儿需要更加精确地知道哪两个集合的数量相加等于被分解的数量。这个概念对于幼儿来说是非常抽象的，而实物和行动过程演示有助于幼儿的理解。我们可以看出，幼儿在运用调整后的操作材料时可以把数的分解过程完全显现出来。比如“10可以分成6和4”，完全可以用“打倒了6个瓶子，站立着4个瓶子”这一动作和形象表征出来。由于学前儿童处于具体形象思维阶段，所以把内部运算过程外显化，有助于幼儿理解抽象的概念。
另外，多种感知觉结合起来能更好地促进幼儿概念的获得。列乌申娜通过让儿童一边沿着几何形状的边缘触摸、一边看、一边说出几何形状的名字（触觉、运动觉、视觉、听觉结合起来），来提高儿童对几何形状的认识（转引自陈帼眉，1993）。调整后的操作材料主要就是将幼儿的数学学习与运动觉联系起来，以促进幼儿对抽象的数量关系的理解。其实，数学教育中还有很多把不同感知觉联系起来促进幼儿数学概念获得的做法，比如利用音乐或乐器让幼儿获得模式的概念（听觉、运动觉），提供不同粗糙程度的材料让幼儿分类（触觉、视觉），等等。
二、关于“加减法”的操作材料
（一）原有的操作材料
在行动研究前，教师提供的关于加减运算的操作材料如图6～9所示：教师转动滚筒出现不同的加减题目，让幼儿口头说出总数；把算术题和得数拼在一起；把得数正确的算式套在相应的手指头上；变换瓶盖列出正确的加减运算题目。这是教师利用各种废旧材料制作的自认为生动有趣的操作材料，但是投放到区角后，教师发现很少有幼儿光顾。即便有时教师“揪”几个孩子过来玩，他们也表现不出太大的热情。经过观察和研讨，我们达成了共识：（1）这些操作材料跟纸质练习单并无本质差别，幼儿只是心算完题目之后摆出正确答案而已。这些材料显然没有给幼儿任何思维上的支持。（2）四种材料中有三种材料都涉及进位加法，这对于大班幼儿来说有一定难度。当然，对那些数概念发展较好的幼儿，教师可以采取个别化教学，让其接触一些进位加法，但教师仍需给予一定的支持。
（二）调整后的操作材料
1.“好长的毛毛虫”
加减运算的过程与位值概念的发展是不可分割的，尤其是在遇到包含进位和借位的加减运算时。有研究证实，儿童对位值的理解与儿童在进行加减运算时所使用的策略存在相关。当儿童的位值概念有所发展时，他们会从使用基本的策略（如口头数数、数手指）向使用高级的策略转化（如凑十法）。〔1〕
位值（placevalue）是指在一个多位数中单个数字的值是根据它所处的位置决定的。我们所使用的位值制，是以“十”作为基底的，也就是十进制位值制。〔2〕比如“11”中第一个“1”代表“1个10”，第二个“1”代表一个“1”，虽然幼儿不会这样绕口地表达，但是幼儿对此有自己的感知。比如，教师提供捆在一起的10支铅笔，还有一些散落的铅笔，然后让幼儿拿出11支铅笔。有位值概念的幼儿会很快拿一捆（10支）铅笔，再拿1支铅笔。位值概念没建立起来的幼儿则会直接拿11支散落的铅笔。
那么如何促进儿童位值概念的发展呢？有研究者指出，“部分―整体概念”（如上述10支铅笔捆在一起就变成了一个更大的单位：1个10）、“分群”（以不同的群来计数：大班点名时，有的幼儿2个2个数，有的幼儿5个5个数）是幼儿理解位值的关键。〔3〕所以，我们制作了有利于幼儿获得这两个概念的操作材料。
如图10所示，我们提供不同长度的单位（分别是：1个圈为一个单位，2个圈为一个单位，5个圈为一个单位，10个圈为一个单位），第一行的毛毛虫由那些10个圈为一个单位的长度组成。第二行中，让幼儿用其他单位长度与第一行的毛毛虫对应。在摆弄中，幼儿可以获得“部分与整体”及“分群”的概念，从而慢慢获得位值的概念。
2.“雪花条”
沃建中对5～10岁儿童加法策略运用的研究表明，我国儿童运用的加法策略主要有：从头开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略和心里盘算策略。〔4〕我们通过对班上幼儿的观察发现，在进行加减运算时大部分幼儿会选择从大数数策略，有些幼儿会用凑十法。我们在之前的教学中非常希望幼儿会用凑十法这种“更高级一点”的策略，所以会让幼儿背诵“口诀”，比如“8+3”的口诀是“8说，我多么想变成10啊，3说，我借给你2，3就剩1个了，最后得11”。但是，幼儿在背诵“凑十”口诀时是凭空想的，靠的是头脑里的表象，所以往往比较困难。于是，我们在区域投放材料（见图11）供数概念发展较好的幼儿操作。
我们把10个黄色雪花片用透明胶带粘成一长条（作为一个单位），摆在第一排作为参照。把其他超过5的雪花片也粘成长条，再提供给幼儿一些散落的雪花片。比如，幼儿操作“8+3”时，第一步，拿出一整条黄色的10个雪花片放在第一排作为参照，然后拿出一整条红色的8个雪花片，把两条雪花片的左端对齐；第二步，拿出散落的3个雪花片，接着往后摆8个雪花片，然后会发现与第一排的10个雪花片相比，第二排多出了1个雪花片，从而得出“8+3=11”。其实，这个操作材料就是把凭空背诵的“凑十法口诀”视觉化。
在幼儿操作这个材料时，我们并不要求幼儿心里想着“凑十法”或一定要运用“凑十法”。有些幼儿在操作时，只是在8个雪花片后面接着再数3个雪花片，这是完全可以的。因为幼儿的发展水平不一，选择的策略也不一。但是，幼儿即便是在运用“大数接着数”的策略，也会在视觉上感知位值，感知加数、被加数、得数与10的关系。
这里需要指出的是，《3～6岁儿童学习与发展指南》只提出了“学前儿童掌握10以内加减法”的要求，但《指南》是针对全国大多数幼儿的发展水平而言的。对于那些对数概念较为敏感、发展水平较高的幼儿来说，我们也应该为他们提供一些具有挑战性的学习内容，与此同时一定要提供帮助他们发展思维的脚手架，不然很容易造成“小学化”。
（三）调整后的操作材料的优点
调整后的操作材料虽然不那么花哨，却是真正从幼儿数学概念获得的过程出发，为幼儿数学概念的发展作铺垫的。位值与幼儿加减法尤其是与涉及进位和借位的加减法关系密切，位值概念的获得会影响幼儿加减法策略的选择。所以，我们首先提供材料让幼儿了解“部分与整体”“分群”，以促进幼儿位值概念的获得。然后提供“雪花条”，为幼儿理解十进位和凑十法提供视觉上的提示。这两种操作材料是在教师真正理解了加减法、位值、部分与整体、分群等概念及其相互之间关系的基础上设计出来的，更加符合幼儿学习加减法概念的思维特点。
三、启示
（一）以幼儿数学学习过程为出发点
以往，我们在制作操作材料时，首先想到的要么是“好玩”“有趣”，要么是“达到练习的目的”。但是，这样的操作材料有时候却不那么受幼儿欢迎，因为那些不符合幼儿思维发展特点、花哨的操作材料对幼儿并没有持久的吸引力。
操作材料的确要“好玩”“有趣”，但仅仅如此还不够。我们更应该从专业的角度去思考以下问题：“我要制作的操作材料是想让幼儿获得哪些关键经验？”“想让幼儿获得的这个关键经验与其他数学概念有何关系？”“幼儿在获得这个概念的过程中会有哪些不同的阶段？”“应该针对幼儿思维发展的不同阶段制作哪些不同的操作材料？”“制作的操作材料是否有助于外显那些抽象的数量关系？”
（二）提高自身的“幼儿园数学学科教学知识”水平
我们大体能说出“幼儿加减运算时应该是从具体到抽象”，但不能详细指出“从头开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略和心里盘算策略”，也并不清楚加减运算与其他数学概念之间的关系，比如与位值之间的关系，这就急需补充“幼儿数学学科教学知识”。厘清幼儿数学学习过程、思维发展特点、数学概念及其相互之间的复杂关系等问题，有助于我们制作符合幼儿学习特点并吸引幼儿的操作材料。
参考文献：
〔1〕刘易.4～6岁儿童数表征和位值概念的发展研究〔D〕.上海：华东师范大学，2006.
〔2〕MIURAIT，OKAMOTOparisonsofU.SandJapanesefirstgrader’scognitiverepresentationofnumberandunderstandingofplacevalue〔J〕.JournalofEducationPsychology，1989，81（1）：109-113.
关键词：高中物理概念教学学习策略深度学习
在高中物理教学中，笔者经常发现不少学生在物理概念的学习上出现较为严重的分化现象，学习效果有明显的差异，相当一部分学生无法正确把握物理概念的学习方法和技巧，缺乏学习策略的有效引导，学习积极性与实际效果存在极大反差。在物理概念教学中注重对学生学习策略的指导尤为必要。下文，笔者结合物理概念教与学的实际，从三个方面谈谈物理概念学习策略的具体应用。
一、遵循认知规律，借巧法促识记
在高中物理概念教学中，教师积极把握和遵循学生的认知规律，这是开展有效教学、促进深度学习的先决条件。只有充分认识了学生的心理特征和认知规律，教师采取的方法和策略才更有针对性，才能为因材施教奠定必要的学情基础。
1.遵循认知规律
相比于初中物理，高中物理概念更具有抽象性。但高中生在智力活动中的感觉、知觉、观察、想象、记忆和思维等方面能力都达到了较高水平，具备学习概念的良好认知基础。所以，教师首先必须认识并把握学生的认知规律，引导他们不仅学会掌握物理概念的形成过程，而且领会概念中蕴含的物理方法和科学探索精神。如，在必修一《运动的描述》单元中，学习物理学科的第一个概念――“机械运动”时，笔者先联系了学生在初中已学过的物理知识，启发他们阅读教材图例并进行讨论，再利用已有的学习经验和现有的辅助资料认识了各种运动形式，从而得出结论：“运动是宇宙中的普遍现象。”按照一般到个别的思维演绎方法，沿着学生讨论获得的学习成果，继续设置问题：“（1）你从座位走到黑板前来，在这一过程中，你的发生了变化？（2）一辆停在路边的轿车和正在路上行驶的轿车有何不同呢？（3）如果说，天上的飞机是运动的，你是根据什么呢？”教师结合这些问题指引学生开展发散性思考活动，启发学生思维。最后，教师启发学生一起成功归纳出“机械运动”的概念。可见，学生在教师的巧引妙导之下经历了从已学经验到讨论学习、从演绎到归纳的思维活动过程，体验到了由现象到本质的认知进程，这些都是教师善于把握学生认知规律和求知心理的充分体现。
2.巧用识记策略
在物理概念学习中，识记能力是学生在把握物理概念文字符号中准确地感知、辨识有关信息，捕捉关键词、句式结构和主体等重要元素，并有效培养整体性联系的能力。它是物理概念学习中最浅层次的能力要求，也是理解、运用能力的重要基础。笔者在教学中主要借鉴了复述认知策略。例如，在必修一“相互作用”教学单元中，笔者引导学生了解了各种“奇特的力现象”，又学习了重力与重心、形变与弹力等关于“力”的知识之后，进入了第三课“摩擦力”的学习；此时，先结合设计好的“摩擦力”流程图，利用复述策略进行延伸拓展，引导他们在“静摩擦力”和“滑动摩擦力”两部分内容的多次复述中更好地识记“摩擦力”概念：“静摩擦力――依据物体的状态确定在0至Fm之间，它与物体间的相对运动趋势相反；滑动摩擦力――F=Fn，与物体间的相对运动方向相反。”教师适时引导学生参与复述，借助形象的“摩擦力”流程图，更进一步激发了识记的目的性，深化了概念识记活动，敏锐准确地提取了概念中的关键信息，保持了概念的稳定记忆。
另外，我们经常发现学生在识记物理概念时存在“先快后慢”的遗忘现象。为了促进学生较长时间地保持良好的识记效果，笔者利用了重复策略指引他们巩固概念记忆效果。其中，有效方法就是指导学生坚持做好“物理概念记忆手卡”，鼓励他们动手在卡片的正面写上主要物理概念的定义、字母符号和中文意义，而在背面写上物理概念所涉及的公式和公式的字母符号代表式，等等。这样，学生就能充分利用闲余时间开展分散记忆。同时，启发他们每隔一些时间段就要做好回忆和自我小测，如果发现在哪个概念上回忆失败了，就在手卡上用红色笔做好标记，下一次回忆时要更加关注，有效提高回忆效率，促进对物理概念的学习。
二、搭建认知结构，深联系获新知
在高中物理概念学习中，促进学生深度学习，不仅要遵循学生认知规律，而且要紧密联系他们的知识经验、思维习惯和学习情感，在此基础上搭建起有益于认知发展的有效结构。当学生建立起符合自己学习特质的认知结构，在学习过程中自觉深入地把握概念的深层意义和内在联系，自由调节学习进程，不断获取新知，深度学习的意义就自然形成了。
1.巧建认知结构
学生的学习效果很大程度上与他们头脑中已形成的知识结构、面临物理新概念时所采取的加工方法有直接联系。如果教师能在学生激发兴趣和迫切求知的时候，恰如其分地指引他们关联新旧知识，探求知识的内在规律，缕清知识点之间的结构关系，就能建立起新的知识结构。如在“直线运动”概念学习时，教师就利用了认知的群集策略，借助知识网络图对概念、特征及类别进行组织整理、归类，建立起概念之间的有机联系，促进概念信息的记忆与理解，使学生在有机的概念体系中形成新的认知结构。
2.精加工获新知
高中物理概念之间存在密切联系，需要教师有效指引学生找寻已学知识与新学概念之间的内在联系，促进新概念的深化理解，更好地激励学生在概念的识记、理解和应用等过程中“生成”新知。在此，笔者经常利用精加工学习策略，巧妙地通过类比和类化的方法，让学生在形象化的认知环境下积极探寻概念的深层内涵。如，在“加速度”概念的学习中，师生一起学习：“速度与加速度二者的方向可能相同或相反，甚至二者的方向不在同一条直线上；加速度与速度二者的方向相同或相反，二者的方向关系决定了速度是增加或减少。”可是学生对这些存在较大的理解难度。于是，教师设置了一个类比：“速度箱子里的苹果总数；加速度每一次放进箱子或从箱子里拿出的苹果数。”通过类比推理，学生理解了：加速度与速度二者的方向相同或相反，二者的方向关系决定了速度是增加或减少，这就好比向箱子里放进或拿出苹果，决定了箱子里的苹果是增加或是减少一样。加速度的大小影响的是速度的增减变化的快慢，这就好比每一次向箱子里放进苹果或从箱子里拿出苹果数目多少，影响了箱子里苹果数目增减变化的快慢，是一样的道理。在此，教师围绕“加速度”和“速度”这两个相似概念，将概念学习与学生已有的生活经验相关联，借助形象的类比，引导学生自觉开展推理精加工，深化学生对加速度与速度变化影响的关系的“生成”。笔者还利用类化的方法，积极把某些相近信息的不同物理概念有机整合在同一网络结构中，如在“比值定义法”学习中，将电容C=Q/U、电阻R=U/I、电场强度E=F/q、磁感应强度B=F/IL等物理量，或将速度V=S/t、加速度a=ΔV/Δt、角速度ω=Δθ/Δt、线速度v=ΔL/Δt等物理量进行类化概括，通过这些物理概念之间的共同本质特征的把握，有利于在类化相似知识的网络结构中促进物理概念性知识的储存，获取更多新知识。
三、调控认知进程，激思维塑能力
在物理概念教学中，教师还应引导学生通过深入阅读、讨论思考、经验分享、实验操作等学习行动，调节和控制概念的认知学习过程，提升学生的思维品质，培养学习能力，完善能力结构。
1.问题单导学
笔者在引导学生学习物理概念时，注重坚持以目标为驱动的学习方法，加强师生之间的互动合作，并在围绕概念目标的学习过程中利用元认知策略，灵活设置问题单指引学生计划、监控、调节概念学习，促进学生计划学习、自主监控、自觉调节，提高学习效率。如，在必修一“摩擦力”教学中，设置如下问题单：（1）制订计划：①摩擦力的概念是什么？②针对摩擦力的概念，我已掌握了哪些关键信息？这些信息对开展摩擦力概念的学习有何作用？③如何计划更好地处理信息、学好概念？④是否还有其他有效办法？⑤我下一步的计划是什么？（教师在此利用了计划策略设计学习计划，引导学生主动捕捉概念中的关键信息，激发学生生成问题，学会分析如何完成学习任务。这样的计划使学生学会了规划和预测自己的学习进程，促进了主动学习。（2）自主监控：①我是否坚持了学习计划？需要采用新计划吗？②我的学习目标改变了吗？目前的学习目标是什么？③我是否正在接近学习目标？（教师在此指引学生对学习进行追踪、自我审问，能让学生在概念学习中增强警觉性，主动注意和修缮学习中出现的问题。）（3）自觉调节：①在学习过程中，哪些方法是有用的？哪些是无用的？②下次我该利用什么不同方法？（教师引导学生根据自己的认知结果做好自我检查，鼓励发现问题，采取必要的补救措施，调节、矫正后续的认知学习，教导他们使用更多的有效策略。）学生在问题单的设置指引下，不断修正和激励思维活动，逐步深化对新概念的感知、识记、理解，提高认知程度和学习能力。
2.激思维塑能力
思维是科学素养的核心。在概念教学中，教师启发学生参与思考交流，锻炼逻辑思维，养成思维品质，提高思维能力，这是组织教学、促进学生能力发展的突破点。如，在必修二“向心加速度”概念教学中，特别注重这一概念的有序引入与探究推导，创造有利条件指引学生参与互动交流、讨论探究。教师围绕向心加速度的方向和大小展开推导，设计了如下探究环节：（1）建模型，激思维。先借助建立“一个物体以速率v、做半径为r的匀速圆周运动”物理模型（图略），接着启发学生应用假设思维：“假设经过Δt时间间隔，物体从A运动到B，转过的圆心角为Δθ，从而可以确定出物体一定时间Δt内在A、B两点的速度变化Δv”；（2）分析，归纳。教师引导学生开展动态分析：“当A运动到B的时间Δt变得越小，物体转过的圆心角Δθ则越小”，从而归纳出速度变化Δv的方向；（3）提问题，建概念。教师及时提出问题，引发学生思考：“速度在变化，想一想，加速度的大小与方向如何变化呢？”学生积极参与思考分析，凭借已学的加速度定义、加速度大小与方向、速度变化方向等知识，很好地建立起了“向心加速度”概念。可见，通过具体的探究活动，学生不仅领略了有效的推导方法，而且体验了物理概念的推导探索过程，在活动中激活了创新思维，更强化了推理探究能力。
总之，高中物理概念的学习过程就是一个富于严密逻辑性的学习推理过程。教师坚持应用有效策略，在优化概念教学的活动中促进学生有效识记、获得新知、发展思维，使学生在深入学习物理概念的同时，掌握应用学习策略的技巧，体验自主自觉的学习活动，促进能力和素质的发展，品味有“深度”的学习进程。
参考文献：
一、注重化学概念的教学，加强化学用语的训练，为化学计算夯实基础。
涉及初中化学计算的一些重要化学概念，首先在形成它们时尽可能通过实验或其它具体事物分析、概括导出，其次注重概念同化，进行新旧概念对比，弄清相近概念间的本质区别与内存联系，然后加强运用概念的训练，加深对基本概念的理解，提高运用基本概念的能力，最后还要加强与基本概念相关的化学用语的训练，掌握化学学科独特的学习语言。
实践证明，当学生理解了化学式、相对原子质量、相对分子质量等基本概念，化学式含义及化学式前系数的含义等内容后，有关化学式的基本计算就可以说是“轻而易举”了；当学生理解了质量守恒定律、化学方程式能够表示反应物及生成物各物质间质量比的含义等内容后，学生基本都能够进行化学方程式的简单计算了；当学生理解了溶液、溶液的组成（溶质、溶剂）、溶质的质量分数等基本概念后，溶质质量分数的计算也就不再难倒学生了。
二、初中化学计算是化学“量”的思想与数学计算方法的结合，化学计算的关键是化学“量”的思想。
各种计算类型在教材上都出示了相应的例题，它们以清晰解题步骤阐述了运用化学概念进行化学计算的思想，以简明的解题格式规范正确运用化学概念进行化学计算，表述逻辑思维过程的方式。故而要特别注重发挥教材上例题的作用。如何发挥例题的作用呢？从接受式和探究式两种学习方法来讲形成两种策略，即传授性和探究性两种教学策略。
关键词：数学教学核心知识点策略
认知心理学认为，数学教学的中心任务是塑造学生良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。而良好的认知结构，是以数学核心知识为联结点形成的、具有自我生长活力的知识网络系统。核心知识是指在数学知识体系中，具有明确要求的、结构性的知识，是有广泛运用的、自我生长和迁移能力强的基础知识，而且某些知识间的联系是以这个“核心”点来进行辐射的。它们在数学课程和教材中处于重要的、不可或缺的基础地位，具有内在的逻辑连贯性和一致性。在新课改中，我们站在课堂教学的角度，不仅要关注《新课标》中列出的核心知识，还要关注如何进行核心知识的教学突破。在教学中，教师是课堂教学的引导者、组织者，因此，数学核心知识的突破，不仅仅是一种教学设计，更是一种教的智慧。本文从认知冲突、错误成因、相似类比这三方面入手，谈谈突破数学核心知识的策略。
一、认知冲突策略
认知心理学家认为：当学习者发现不能用头脑中已有的知识来解释一个新问题或发现新知识与头脑中已有的知识相悖时，就会产生“认知失衡”，因为人有保持认知平衡的倾向，所以认知失衡会导致“紧张感”。为了消除这种紧张的不舒服感觉，就会产生认知需要（内驱力），努力求知，萌发探索未知领域的强烈愿望。没有认知冲突的课堂教学就像一潭没有涟漪的死水，课堂气氛平淡，没有教学高潮，学生的思维松弛，大脑皮层出于惰性状态，认知兴趣不能得以维持，教学效果较低。教师在教学中设置认知冲突，一方面可以唤起学生的思维注意，活跃课堂气氛，另一方面也能激发学生的情绪注意，使学生从情感上参与课堂教学。在学生努力求知，变“失衡”为“平衡”的过程中，学习的主体地位得到了有效体现，思维得到了发展，解决问题的能力得到了提高。如：在有理数范围内，你会求方程的解吗？这样学生在认知上产生冲突，教师就可以顺势引导学生学习新的一类数――无理数。
二、错误成因策略
错误是学习的必然产物，学生的认知基础、接受能力、思维方式、情感体验相差各异，在学习过程中出现的错误也各不相同。错误的出现并不可怕，这是学生学习中的宝贵经历，也是教师实践中的宝贵资源，作为教师应学会宽容，同时需站在新的视角对其价值进行重新定位，根据错误产生的各种成因，结合学生的心理特征和认知规律，从学生和教师的不同层面探求策略。从学生层面来讲，一要加强理解知识概念，掌握知识的内涵和外延;二要学会全面处理信息，培养综合分析能力;三要克服心理障碍，培养良好的数学学习品质。从教师层面来讲，教师应将知识系统化、结构化，完善学生的认知结构;同时可将学生的典型错误及错误产生的原因、反馈矫正的对策进行搜集、整理、记录。
三、相似类比策略
初中数学教学中存在许多可以类比的知识与方法。比如一次函数、正比例函数、二次函数之间的学习过程的类比;分式概念、计算与分数概念、计算的类比;立方根与平方根的概念学习的类比等等。著名教育家波利亚曾形象地说过：“类比是一个伟大的领路人。”在初中数学学习中，类比思想是理解概念、锻炼思维、构建知识网络的重要手段。为此，教师在教学中要加强类比思想和方法的渗透与引导，强调类比的作用和意义，使学生更好地理解数学，促进自主学习与创新意识的培养，建构完整的数学知识结构，形成知识网络，提高数学学习的有效性。相似类比策略可从以下四方面进行：1.概念类比，理解本质辨异同;2.方法类比，讲究学法求效率;3.知识结构类比，构建网络促升华;4.思维方式类比，突破难点会创新。
综上所述，教师只有找准课堂教学的着力点，把握数学核心知识，巧妙地进行课堂教学设计，才能让学生积极地参与到教学活动中，体验探索知识的形成过程，并形成自己的数学理解力。教师要引领和帮助学生准确把握核心知识之间的内在逻辑关系，提高数学教学质量，减轻学生的学习负担，提高学生独立获取新知识和解决问题的能力。
参考文献
[1]黄超骏《高中数学解题策略与策略性知识的教学》[D].西南师范大学，2002年。
[2]胡艳丽朱会明《新课堂背景下初中数学课堂有效教学的策略研究》.教师，2011年，第34期。
关键词：数学教育；分类思想；教学反思
一、分类思想的内涵和价值
所谓分类思想，就是人们对比较复杂的问题，有时无法统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐步进行讨论，再把每一类的结论进行综合，使问题得到解决。分类思想的实质是分类讨论，将整体不统一转化为局部统一，再综合归纳。分类可以使数学知识条理化、系统化，帮助学生建构知识网络。当知识积累到一定程度，运用分类能够帮助学生有顺序、不重复、不遗漏地归纳整理知识，将所学知识序列化，形成完善合理的知识结构，培养思维的概括性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、分类应遵循的原则
分类是数学抽象的必要基础，是一种重要的认识事物的方法。任何标准的分类，都必须遵循以下原则：1.一种分类必须根据同一标准，否则就会出现分类重叠或分类过宽的逻辑错误，如把有理数分为正整数、0、分数三类，该分类标准不确定，从而导致分类错误。2.分类要完备，即划分所得到的各子项之和必须与被划分的母项相等，不能出现遗漏。如把正整数划分为质数与合数两类，这样划分所得到的各类种概念的外延总和小于被划分的属概念的外延，漏掉了既不是质数又不是合数的1。3.分类必须按照一定的层次逐级进行，即每次的分类应取被分属概念最邻近的种概念。否则，就会出现超级划分的逻辑错误。如将实数划分为正有理数、负有理数、零、正无理数和负无理数五类就是越级划分。4.分类必须做到任何两个不同类之间是互斥的，即划分得到的任何两类概念的外延是不相交的。亦即被划分的种概念中的任何一个元素不能同时属于两个以上的类。如将三角形划分为不等边三角形、等腰三角形与等边三角形三类就违背了本原则，因为在等腰三角形中已包含了等边三角形。5.要从现象分类进入到本质分类，建立科学的分类系统，还必须运用辩证的逻辑思维。除了有关材料的必要积累外，正确地选择分类标准是十分重要的，只有将研究对象的各种特征看作一个相互联系的特征体系，区分出特征的主次并研究它们之间复杂的因果联系，才能揭示出研究对象之间的规律，找到适当的分类标准，只有这样，才能建立起科学的分类系统。
三、分类思想的教学策略
分类思想贯穿于整个小学数学阶段，教师要挖掘教材中隐含的分类思想，结合具体的教学内容，向学生渗透分类思想，从初步体会分类的意义开始，逐步掌握分类的原则和方法，最后逐步学会运用分类的思想解决问题。
（一）建立概念时，进行分类比较
在新知的教学过程中，对于一些典型的学习材料，教师要带领学生对这些材料进行适当的分类，这样有利于学生弄清概念之间的联系与区别，建立清晰的概念。例如，建立“质数和合数”概念时，学生先找出一些数的因数：2的因数有1、24的因数有1、2、41的因数有13的因数有1、35的因数有1、56的因数有1、2、3、619的因数有：1、1928的因数有1、2、4、7、14、28学生观察比较后进行分类，可分为：（1）只有一个因数的；（2）只有2个因数的；（3）有2个以上因数的。然后教师带领学生分类重点考察，抽象概括出：（1）一个数只有1和它本身两个因数叫质数；（2）一个数除了1和它本身外还有别的因数叫合数；（3）1既不是质数也不是合数。通过对每一类对象进行同一性抽象，揭示概念的定义。这时，分类为学生进一步学习新的数学概念提供了资源，为加深对自然数的认识提供了条件。
（二）概念混淆时，进行分类区别
在教学中，我们常常可以发现，学生在初步接受某一新的概念时，由于缺乏对概念在本质上的理解，往往会被一些已有的相似概念所干扰，以至混淆不清。我们可以积极引导学生对这些易混的概念进行分类区别，弄清它们之间的异同，帮助学生形成良好的知识结构。例如，“质数与奇数”“合数与偶数”这两组形貌相似的概念，学生往往会混淆，因此可设计下图帮助学生进行分类区别：
（三）复习小结时，进行分类梳理
在复习阶段，我们有必要对学生一阶段所学的知识进行分类梳理，通过分类可以使数学知识系统化、结构化，有助于学生更好地掌握知识和形成良好的认知结构。例如，在概念相对集中的“因数和倍数”这一单元，复习时为能使学生对所学知识的回顾条理化、系统化，可设计下面的“分类梳理图”作为复习的思路。
（四）解疑排难时，进行分类讨论
利用分类思想解题是小学数学中一个重要且有效的解题方法。尤其是对一些疑难题、灵活题的剖析，我们可以进行分类讨论，做到既不重复又不遗漏，从而做到全面地思考和解决问题。这样有利于提高学生解题的条理性和正确率，培养学生思维的严密性，提高综合分析的能力。例如，两根同样长的绳子，第一根截去15米，第二根截去它的15，剩下的绳子哪根长？这道题中绳子长多少没有告诉我们，可以设绳子长为a米，a的取值有三种情况：a=1米，a＞1米，a＜1米。（1）当a=1米时，截去a的15就是截去15米，所以两根绳子剩下的长度相等。（2）当a＞1米时，15a＞15米，所以第二根截去的比第一根长，第二根剩下的就比第一根剩下的短。（3）当a＜1米时，15a＜15米，所以第二根截去的比第一根短，第二根剩下的就比第一根剩下的长。
（五）解决问题后，进行方法分类
在教学中，教师引导学生解决一些实际问题后，出现了多种解决问题的方法，这时教师有必要带领学生对这些方法进行分类，从而使解决问题条理化，提高学生灵活解决数学问题的能力。例如，“组合图形”的教学设计了如下的练习：这是学校教学楼占地的面积，你能用几种方法解决这个问题？学生讨论交流后，汇报如下几种方法。教师及时引导学生对上述几种方法进行总结：（1）前3个图形的解决方法我们把它叫做“分割法”，就是把一个组合图形根据它的特征和已知条件分割成几个简单的规则图形，分别算出各个图形的面积，最后求出它们面积的和。（2）第4个图形的解决方法我们把它叫做“添补法”，就是将原图形补充为基本图形，然后求出整个图形的面积，最后再减去补充部分的面积。（3）第5个图形的解决方法我们把它叫做“移补法”，就是把图形的某一部分割下来再通过平移补到另一部分上，使它变成一个我们已学过的几何图形，然后再进行计算。
（六）综合练习后，进行策略分类
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合p概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释p1n＝n，c1n＝n（n∈z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由p1n或c1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
图1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
图2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得c12c299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990