父亲是个老实人，40多年的人生经历，他总结出了一套自己的人生加减法。
1+1≥3—1
父亲是个死脑筋，两件完全可以合在一起做的事情，父亲偏偏要分**一件一件地做，而且是慢慢地仔细地做，为此母亲没少说他。每当这时，父亲总是停下手中的活看着母亲憨憨地笑，他这么一笑，反倒使想要严肃但严肃不起来的母亲露出笑意，嘴角挤出一个“傻”字。这多少有点像是说给我听的，父亲也肯定是听了，还是不以为意地傻笑，像个孩子又不是孩子，其实母亲和我都知道，这是父亲的习惯。父亲得了空儿，有时也会抱着茶杯跟我说起这事：“事情嘛，总要一件一件慢慢地做，做好了，做对了，别看这样好象很笨，不节约时间，但其实这做法聪明着呢！你虽然在进行中用去很多时间，但你却避免了翻二回工的麻烦，不也很划算么？”
1+1+1=0
父亲在事业上是棵常青树，雨打不动，风吹不摇，别人向父亲打听这其中的秘诀，父亲总是笑着摇摇头说：“这里哪有什么秘诀，要说有，最多就是我不去和别人争什么第一。”这么一说，问的人听不懂了，不争第一争什么？难不成争那倒数第一？但静下心仔细想想也就想明白了，老是争着抢着要当第一的人，慢慢地也就应得急功近利了，得了很多的第一到头来出了事落了马还不是一个零，还不如放*了心，把自己做到最好，把**看淡了，自身有多少能耐自然会不知不觉表露出来，这样，事业之路还能不**稳稳****？
100—1>100
父亲是个喜欢观光旅游的人，**许多地方都曾留下他的足迹，接触的人又形形**，有时难免会有些不快与龃龉。这倒反练出了父亲谦和宽容的脾气，他有时也问我：“知道为什么有时候我明明在理儿，却还是让了呢？”
“因为谦让是我们*人的传统美德，而且遇事各退一步海阔天空，又不是什么大事，让一让又不会痛不会痒，还免伤了和气。何乐而不为呢？”
“对，有时候事情不要做得太绝，退一步，给大家之间留个位置，说不定有120%的效果。”
父亲辛苦工作了那么多年，一直都用着的这套加减法，里面似乎包含着朴素的人生哲学，让我终生受益。
人生如白驹过隙，有得有失。我们慢慢长大，多了成熟，少了轻狂；多了稳重，少了浮躁；多了责任，少了玩闹；多了城府，却也少了纯真……我们人生就是在这加加减减中行进，那么，到底怎么对待这些加减、这些得失呢？
社会上的人情世故比我们想象的要复杂的多，我们早晚会脱离青涩和稚气，踏上这个社会并且融入这个社会，我们那些肆意飞扬的个性和棱角，或多或少的都会被打磨。单纯的心境、真诚的待人、纯洁的友谊……那些我们曾经那么看重的东西，也许会被利益、**、名誉等等身外之物而取代。但是到那时。我们必须看清自己的心，看清自己到底要什么，看清什么对我们是重要的。不管是加是减，心里的尺度不能打折扣，心里的准绳不能变，任何的加减都必须要对自己人生负责。
怎么才是正确的加减呢，减去轻狂，但要留下纯真；减去玩闹，但要留下快乐；减去浮躁，但要留下勇敢，减不是单纯的删除，而是带有选择性的，有智慧的舍弃；如果仅仅是毫无保留的减掉，那么我们原本拥有的品质便是一无所用的`了。要用批判的眼光去看问题，学会“取其精华，去其糟粕”。同样的，加法也不是什么都可以任意添加的，这个世界浮躁的品质和**的事迹太多了，我们不能不分青红皂白的全盘接受，不能听任谗言的教唆，要有明辨是非的能力，看清楚隐藏在背后的是什么，可以有志向，不能有贪欲；可以有私心，不能有害心；可以有压力，不能被压垮。我们添加的是助我们飞翔的翅膀，不是增加累赘的负重物。若想飞的更高，那么用心去体会，在加加减减中，找到最适合自己的*衡点。
加，增加人生的阅历，情感的体验，肩上的责任，加的是我们不断前行的动力；减，减去性格的轻浮，胆怯的脚步，繁冗的杂念，减的是我们需要摒弃的糟粕。人生加减法，每个人的选择都掌握在自己手中，你的加减法的运算规则又是什么呢？
现代人的欲望日益膨胀，人们似乎永无休止地往自己的人生行囊中塞进各种各样的什物，食有鱼，出有车，尚思别墅和出国；五十九，快退休，此时不捞待何时？凡此种种，不一而足。于是有的人精神疾患越来越严重，甚至频传“过劳死”的噩耗；更有一些人的人生戏剧最终完全变味，上演了一幕幕闹剧和丑剧，最终难逃锒铛入狱的下场。
有人问大师罗丹雕塑的秘诀，答日：“减去多余部分。”印度诗人泰戈尔说：“鸟的翅膀一旦系上了黄金，就永远也不能飞腾起来。”人生亦然。学会人生的“减法”，已成为我们的当务之急！
传说，有一个人觉得生活很沉重，便去见哲人，寻求解脱之法。哲人给他一只篓子背在背上，指着一条沙砾路说，“你每走一步就捡一块石头放进去！”那人照哲人的话做了，哲人便到路的另一端等他。再见面时哲人问：“有什么感觉？”那人说：“越来越觉得沉重。”哲人说：“这也就是你为什么感觉生活越来越累的道理。当我们来到这个世界上，每个人都背着一只空篓子，我们每走一步都要捡起一样东西放进去，而不知剔除那些累赘无用的东西，那么，就难免会产生越走越累的感觉，甚至有的还会被累死拖垮。”
有一个踌躇满志的老板，从事铝合金经营，几年内大赚了一把，不仅建了一座别墅，还买了一辆私人轿车，但出差时吃的是方便面，住的是小旅馆。一次押货回来，路上汽车翻了，他双腿受重伤住进了医院，经治疗两条腿总算保住了。经历了这场劫难，他前后简直判若两人。有人问他为什么，他直言不讳：以前，我是用加法来衡量人生的，认为人活着就要不断地发展，就要像滚雪球一般地赚钱。自出事后，我发觉人生适宜用减法，不要把人生的目标定得太高，比起健康地活着，一切都显得微不足道。现在，无论是在家中，还是出差，他都尽可能地照顾好自己，然后才是业务。他对待员工的态度也大变，一改往日的凶狠蛮横，开始以温和谦恭的面目出现。
人生如酿酒，“减”去无味的水，量虽少了，味反而醇厚了。过去在乡下，锄地时老爸告诉我说，想得大果实、好果实，必须要用“减”法，即玉米苗一尺来宽留一棵，其余的锄掉，一垄下来几十棵嫩生生的苗被“斩杀”。著名科普作家高士其原名叫高仁镇，后改成了高士其。有些朋友不解其意，他解释说：去掉“人”旁不做官，去掉“金”旁不要钱。高士其以惊人的毅力创作了50年，写出了500万字的科普作品。他们的“减法”人生哲学值得我们去思考和学习、借鉴。
一、活动目标
1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流有关分数加减法的相关资料与问题。
2.能够进一步明确分数加法的定义，分数加法定义的合理性。
3.能够经历分数加法交换律的证明过程，体会数学推理的严密性。
4.能够进一步明确分数加法定义与减法定义的不同。明确分数减法定义的优点。
二、活动时间
教研组教师先不集中，每人自己安排时间阅读并独立解决本方案中的问题，先独立思考解决问题，再阅读本方案中的参考答案。时间约3小时。再以年级组（或教研组）为单位集中交流问题的答案，时间约1.5小时。
三、活动前准备
数学组的每一个教师解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。（注：本活动方案主要涉及分数加减法的算术理论，试图让教师通过对以下问题的解答，回忆与增加数学的本体性知识。）
1.想一想，写一写，什么叫分数的加法？阅读下文关于分数加法的定义，并回答问题。
定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分母乘另一个分数的分子，把所得的两个积的和作为分子，把两个分数分母的积作为分母，所得的分数叫做这两个分数的和。求两个分数的和的运算叫做分数的加法。
如果两个分数分别为和（b、d均不为零），
那么+=，
其中与都是加数，是它们的和。
问题：
（1）想一想，这样定义的分数加法，是不是任意两个分数就一定可以求出它们的和？也就是两个分数的和是否一定存在？两个分数的和是否唯一？为什么？
（2）在上面这个分数加法定义中，是否已经包含了分数加法的运算法则（分数加法的计算方法）？如果已经包含了，那么根据定义得到的分数加法的运算法则是怎样的？请你写一写。
（3）根据分数加法的定义，计算+；+。
（4）平时教师在计算同分母分数加法时，计算方法是“分母不变，分子相加”。用这样的计算方法得到的结果与按照分数加法的定义得到的计算结果相等吗？为什么会相等？请你举一个例子说明。
（5）平时教师在计算异分母分数的加法时，如果两个分数的分母不是互质数，通常用两个分母的最小公倍数做公分母，进行通分，然后用这个公分母做和的分母，用通分后两个分子的和做和的分子。用这样的方法计算得到的结果与用分数加法的定义计算得到的结果相等吗？为什么会相等？请你举一个例子说明。
（6）上面的分数加法定义中并没有区分同分母分数加法与异分母分数加法，为什么在小学数学教材中，要分成同分母分数加法与异分母分数加法两块内容来教学？
（7）先阅读下面的文字，再以+为例，说明分数加法的含义与整数加法的含义是相同的。
如果两个分数是和，b、d的最小公倍数是n，即[b，d]=n。
根据最小公倍数的含义，假设n=bq1，n=dq2
（q1，q2是自然数），
那么+=（根据分数的基本性质）
=（根据假设）
=（分数加法定义）
=（整数乘法分配律）
=（分数的基本性质）
由上面的过程可知和相加，通分后是把aq1个与cq2个合并在一起，所以分数加法的含义与整数加法相同。例如，2+5，就是从2开始，接连数5个1，结果是7。分数是同分母的情况下，可以类似地进行。分数+就是8等分后，以为分数单位，从开始接着数5个就得到，即+=。从数轴上看，两个分数相加，就是相应的两条线段叠加后线段的长度。这和整数加法也是一样的。
这种分数加法的实质是“数量相加”（也可以称为分数的数量加法），也就是在计数单位统一的前提下，加法就是对计数单位的累计。本质上可以通过数数的方法来计算出结果。
2.在人教版教材五年级下册分数加减法的教学中，先创设了一个三口之家吃饼的情境，然后列出分数加法的算式：+，接着运用图示与对话来说明计算的过程。最后出示了一个问题：想想整数加法的含义，你能说出分数加法的含义吗？
你估计，学生可能会怎样表达分数加法的含义？你觉得，分数加法的含义怎样表达，比较适合于五年级下册的学生学习？
3.在学生还没有学习分数加法前，如果让学生独立去计算+，你估计会有学生运用“分子、分母分别相加”的计算方法得到计算结果是吗？如果有这样的学生，产生这样的计算方法的原因主要是什么？当学生得出这样的结果时，你如何反馈评价与引导？
4.下面有三个问题以及解决这三个问题的过程，你觉得这样的解题过程是正确的吗？为什么？
问题1：三（1）班共有50人，其中男生25人，男生占全班人数的几分之几？
答：把三（1）班的全班人数看成一个整体（单位1），平均分成50份，男生是25份，所以男生占全班人数是，根据分数基本性质可得：=，因此，也可以说男生占全班人数的。
问题2：三（2）班的总人数也是50人，其中男生也是25人，男生占全班人数的几分之几？
答：解决过程类似于上面的问题1，男生占全班人数的，也可以说是。
问题3：如果把上面问题1与问题2中的三（1）班与三（2）班合并在一起组成一个大班，那么，在这个大班中男生占全体人数的几分之几？
答：因为三（1）与三（2）班的总人数都是50人，所以合并以后大班的总人数是100人。又由于两个班的男生人数分别都是25人，因此，合并以后大班的男生总人数是50人。把合并后的大班总人数看成一个整体（单位1），平均分成100份，男生是50份，所以男生占总人数是，也就是。算式是：
+===
5.从上面的问题3中我们可以看到，分数加法如果定义为“分子、分母分别相加，即+=”的话，在有些情况下，也有其合理性。这种“分子、分母分别相加”的方法，有人称它为分数的“比例加法”。请你再举一个例子，说明这种分数的“比例加法”有其合理性。
6.从上文分数加法的定义中，我们可以知道，两个分数相加的和还是一个分数，但这个作为计算结果的分数的分母不是原来两个分数分母的和，分子也不是原来两个分数分子的和。也就是分数加法的定义不是规定为：
而是规定为：
从外形上看，①式“很对称”“很漂亮”，②式就不如①式“好看”。从计算繁简程度看，用①式的方法计算“很方便”“很简单”，用②式的方法计算就比①式来得“麻烦”。
（1）想一想，为什么分数加法不用①式来定义，也就是“分子、分母分别相加”来定义？如果用①式来定义分数的加法，有什么不合理的地方？阅读下面的两段文字，并归纳这种分数的“比例加法”的“缺点”。
大家知道，自然数可以看成特殊的分数，即把任意一个自然数都可以看成是分母是1的分数。如自然数2，可以看成。自然数3可以看成，于是可得：2+3=+，如果按照“比例加法”，即按照“分子、分母分别相加”的方法计算可得：2+3=+==。
这样计算得到的结果与自然数加法2+3=5相矛盾。
如果+==成立，那么，等式的两边同时乘12，
根据等式的基本性质可得：（+）×12=×12
根据乘法的分配律可得：×12+×12=×12
根据分数乘法的意义可得：6+9=8，不成立！
（2）想一想，用②式定义分数的加法有什么合理性？
7.人们对于一种运算的研究，常常是先研究这种运算的定义，再研究这种运算的性质或规律。现行人教版教材五年级下册在“分数加减混合运算”这节中写着：“整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。”
（1）你觉得这句话是什么意思？请你举一个例子说明。
（2）请你证明分数加法交换律（要求写出已知、求证、证明的过程以及每一步推理的根据）并体会数学推理的严密性。
8.从上文中我们可以看到，在定义分数加法时，先定义了什么叫两个分数的和，然后再定义什么叫分数加法。想一想，写一写，什么叫分数减法？
阅读下面的分数减法定义，并回答问题。
定义：已知两个分数分别为和（b、d均不为零），求一个分数，使得与的和等于，这种运算叫做分数的减法。
记作：-=。
是被减数，是减数，是与的差。
问题：
（1）比较分数加、减法的定义，它们有什么不相同的地方？
（2）如果也要像分数加法那样先定义两个分数的差，然后再定义分数减法，那么，分数减法的定义应该怎么表达，请你写一写。
（3）上文中的分数减法定义有什么优点？
（4）根据上面分数减法的定义，对于任意两个分数，它们的差是否一定存在？如果差存在，是否一定唯一？
附：部分问题的参考答案
1.（1）答：由上面的定义可以看出，两个分数的和，其分母是确定的不为零的整数的积，分子是两个确定的整数的积的和。根据整数加法和乘法的定义，这样的分母和分子总是存在且唯一的，所以这样定义两个分数的和总是存在且唯一的，也就是说，分数集合对于加法运算是封闭的。
1.（2）答：分数加法的定义已经包含了运算法则：用两个分数的分母的积做公分母，进行通分，然后用这个公分母做和的分母，用通分后两个分子的和做和的分子。
1.（3）（4）（5）略。
1.（6）答：主要是考虑到计算的方便。特别是在同分母分数的加法中，没有必要根据定义给出的方法去求出两个分数的和。按照“分母不变，分子相加”的方法计算更为简单。
1.（7）略。
2.略。
3.答：会有部分学生这样计算。产生这样的算法的主要原因是受整数加法计算方法的负迁移。可以创设情境，结合图示与分数的意义来解释。如把一个长方形平均分成5份，先把1份涂上红色，问红色部分是整体的几分之几？再把2份涂上绿色，问绿色部分是整体的几分之几？红色与绿色合起来称为涂色部分，涂色部分是整体的几分之几？
4.问题1与问题2的解决都是正确的。问题3得到的结论是正确的，但列出的算式是错误的。因为，在分数加法的定义中已经规定了：
+===1
因此，在解决问题3时，合并的含义与原来的“+”号已经不是同一种含义了。也就是不能列出+这样的算式，一旦列出这样的算式就要根据定义来加。事实上，这里有了另一种加的含义。可以列出一个新的表达式+，这样的加法也可以有新的计算方法，即+=。
5.下面的两个例子都是可以说明合理性的。
例1：甲容器中装有糖水200克，含糖20克；乙容器中装有糖水300克，含糖30克。那么将甲、乙两个容器中的糖水混合在一起，混合后的糖水的浓度是多少？混合后糖水的浓度不是+=而是+===。
例2：某人投篮，第一次投了2个球，进了1个，这一次投篮的命中率是，第二次投了3个球，也只进了1个，第二次投篮的命中率是。这个人两次投篮共投了5个球，共进了2个，因此，两次投篮的命中率是，即+=。
6.（1）答：从中我们可以看到，这种分数的“比例加法”，它不能和自然数的加法相容。从中发现，这种分数的“比例加法”，不能与等式的基本性质或整数的运算定律或分数乘法的意义相容。
6.（2）答：合理性可以通过以下的过程来说明。
如果两个分数分别为和，（b、d均不为零），
设x=，y=。如果整数的运算规律（包括定律、性质等）适合于分数，那么，由x=，y=，可得bx=a，dy=c。
则有bdx=ad，bdy=bc。
两式相加可得：bdx+bdy=ad+bc
得bd（x+y）=ad+bc
x+y=
可见把+定义为和是，具有合理性，这样的分数加法能够与自然数中建立起来的一系列规律相容。
7.（1）略。
7.（2）已知两个分数分别为和（b、d均不为零）。
求证：+=+。
证明：+=（根据分数加法的定义）
+=（根据分数加法的定义）
又ad+cb=cb+ad（根据整数加法的交换律）
bd=db（根据整数乘法的交换律）
=（根据两个分数相等的定义）
+=+（根据等量代换）
8.（1）答：主要有以下几点不同：①分数加法的定义是先定义两个分数的和，再给出加法的定义。分数减法的定义不是先定义两个分数的差，再给出减法的定义。②分数加法的定义中已经包含了加法的运算法则，也就是两个分数的和是怎么求的，在加法的定义中已经有了说明。分数减法的定义中没有明确包含运算法则。
8.（2）答：定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分母乘另一个分数的分子，把所得的两个积的差作为分子，把两个分数的分母的积作为分母，所得的分数叫做这两个分数的差。求两个分数的差的运算叫做分数的减法。
如果两个分数分别为和，（b、d均不为零）。
那么-=，
其中叫做被减数，叫做减数，是它们的差。
8.（3）答：这样给出的分数减法定义主要有以下优点：①充分利用分数加法的知识，把减法转化为“求一个加数”的运算；②明确分数加减法之间的关系，即分数减法是分数加法的逆运算；③统一了分数加法与整数加法意义，也就是这样定义的分数减法的意义与整数减法的意义完全相同；④文字表达简洁。如果分数减法也类似于像分数加法那样定义，那么，就要先定义两个分数的差，再定义分数减法运算，文字表达就比较长，不如现在这样的定义简洁。
人生似波涛汹涌，起起伏伏。海浪冲刷，减去的是颇为闲适的随波逐流，还是不忘初心的坚韧执着？——题记
你想写出怎样的文字？自己喜欢的，亦或顺应大众潮流的？
我热爱写作。我迷恋于思绪从笔尖倾泻而出的感受，伴随着笔尖与纸面轻微的摩擦声响，方块字投射在白纸上，是那样鲜活、生动。在字里行间加上对梦想的执着追求，文字一点一点变得丰满、多彩起来。当然，我自知个人阅历尚浅，很多想法还不懂得如何恰到好处地表达，对于写作的方法也只是停留于个人摸索的阶段。于是我开始在纷纷扰扰的网络世界中学习、模仿、参考。
但事情似乎慢慢变样了。
我渐渐减去字里行间的稚嫩表达，减去一些不太合时宜的观点想法。眼前的文字柔软优美，但似乎少了那么一点儿灵气，显得死气沉沉。反复看了几遍，我手中的笔停滞了——毫无思绪。眼前的黑色墨迹似乎只是方块字的单纯堆砌，无法激起我内心的丝毫波澜。
我就此笔耕停息。
后来一个年长一些的姐姐来我家做客，偶然间看见我的文字，沉思片刻。“嗯……文笔和想法都很不错但……”她抬头直视我的眼睛，“这不是你的文字。”我有些疑惑地看着她。她接着说：“简单来说，我在这些文字中看到了很多影子，很多他人表达方式的影子，但唯独缺了你自己的。”
一语惊醒梦中人，似当头一棒，撼动坚不可摧的心防。是的，我在写作时想的不是自己的感触，而是一味模仿他人的笔法，一味迎合当下写作的走向。那不是我的文字。
“看看这个。”姐姐抽出另一份稿子，那是我的初作之一，文笔稚嫩，描述有些苍白，但全部都是我自己的想法，自己的笔触。“写作不仅要加，加上新的表达方式，加上更完美的句式，还要减。”我盯着手中的白纸黑字。是的，还要减。戒骄戒躁，减去一味的随波逐流，留下初心——对写作的单纯热爱，对自身感想的纯粹表达。
我好像卸下了重担，心底的压抑减少了一些。文字不是囚牢，潮流不是囚牢，人生完全可以在“减”重获得重生和**。抛去对**的追逐，用纯粹的热爱开辟出一条更为宽广的道路，一条更为光明的通向未来的路，属于我自己的人生路。
文思泉涌。
海浪冲刷，减去随波逐流和纷乱浮躁。这是属于我自己的文字，来源于我自己的人生。