关键词：几何画板；立体几何；函数；解析几何
数字化与信息化已是现代社会的一个主流，计算机已经在各
个领域都得到了普及，我们的教学也不例外。计算机在中学各个学科中所体现的共性为：极强的控制性、极大的容量性、快速灵活性等。而在中学教学中一般运用的是PPT软件，有时运用Flas软件等。就数学学科特点，几何画板软件在教学中的辅助作用有较强的效果，能够使数学中很多抽象的问题形象化，想象的东西具体化，一般软件中粗略、估计的地方准确化，从而有效提高教学效率。本人就自己在高中数学运用几何画板辅助教学谈谈以下心得。
一、几何画板在高中立体几何教学中的作用
立体几何在实践上大致就是我们的生活空间，所以有时候研究空间中立体图形的一些定性定量的问题主要靠我们的空间想象能力和直观感知能力，这对于高中学生来说是一个难点，也是一个重点。有时候学生能够想象出具体的实体，但是如果去画一个具体的图形难度是相当大的。下面是一个具体的问题，和大家一起感受一下。
案例一：有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱都相切，第三个球过正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。
这是我在教学中遇到的一个具体问题，学生普遍反映比较难
想象。案例中的第一个球和第三个球，学生比较容易能够想象，但是对于第二个球，学生就较难想象了。于是，我通过运用几何画板把图形一做出来，他们就觉得问题较易解决了。如下图是我运用几何画板给学生做的图形。有了这个图形学生就容易知道第一个球的直径就是正方体的棱长，第二个球的直径是正方体的面对角线的长，第三个球的直径是正方体的体对角线，这样他们再计算这三个球的表面积就不是问题了。
二、几何画板在高中函数教学中的作用
几何画板在函数教学中的运用有利于突破难点，突出重点，因为它有极强的动感和变化功能以及准确的计算功能。
案例二:在讲三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，如果不用几何画板，只用粉笔和直尺的教学只能代入A、ω、φ有限个值，观察各种情况的函数图象之间的关系，这一过程我们都有体验，会显得比较麻烦且不是非常精确，花了很大力气但是学生听完后效果却不一定很好，并不能得到本质上的认识。而利用几何画板则可以拖动点去改变A、ω、φ的值，当拖动三个点时分别改变了三角函数的A、
ω、φ（如图，拖动点A时改变A值，拖动点B时改变ω的值，拖动点C时改变φ的值），同时图象就在画板中进行变化，学生会有非常直观的感受。这样教学的话既快速灵活，又能突破难点，突出重点。
三、几何画板在高中平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科。它的基本思想和基本方法是:根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式做运动，曲线和方程的对应关系比较抽
象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，几何画板又以其极强的运算功能和图形图像功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能做出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
案例三：已知A为圆x2+y2=4上一顶点，P为圆上的动点，求线段AP中点的轨迹方程。
我们借助于几何画板在平面直角坐标系中画出圆x2+y2=4，在圆上任取点P（如图）然后选准点P和点A在作图下拉菜单中选择线段，紧跟着继续在作图下拉菜单中选择中点，再在显示下拉菜单中选择追踪中点，即达到了目的。这下你拖动点（当然点P只能在圆上跑动）时就会看见红色跟踪点M即所求的轨迹。即先给学生以直观和动感的印象点M的轨迹就是圆，再经过分析求解它的轨迹方程，轨迹方程为：（x-1）2+y2=1。
案例四：如图，O的半径为定长r，A是圆内一定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
我们还是先可以在几何画板中作出这个图形，选择点Q，在显示下拉菜单中选择追踪点，然后拖动点P（当然点P只能在圆上跑动），学生就会看见如图（红色轨迹是个椭圆）所示的效果，让学生先有了直观和动感上的认识，然后再给学生做理论上的解释（因为直线l是线段AP的垂直平分线，这样很容易得到QP=QA，于是QO+QA=r>OA，符合椭圆的定义）。
【关键词】向量；教学主线；探索
在苏教版高中数学课程中，“向量”部分的内容是教学的重点，不仅是因为这部分教学内容的知识点非常重要，还因为“向量”内容的学习对于数学课程学习有一个承上启下的作用，并且在高考试卷中占有较大的比重.
一、“向量”内容教学的主线探索
“向量”部分内容的教学主要有两个方面的教学主线需要把握，一是对于向量基本概念的认识和理解，这是向量部分内容学习的基础.另外一个教学线索就是空间向量的运算和性质，这对于学生更加深入地了解向量内容和向量知识的应用也是具有重要意义的.
1.对于向量基本概念的理解
向量，是指在空间具有大小和方向的量，对于这种量，我们称之为向量.对于向量的表示，我们一般用有向线段进行，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.两个特殊的向量是零向量和单位向量.共线向量又称平行向量，要注意与线的平行、线（点）的共线的区别.在空间范围内的两个向量，可以用同一平面内的两条有向线段来表示.这是向量的存在和表达方法.在向量中，如果两个向量能够平移到同一平面内，那么这两个向量就是我们平时所说的共面向量.共面向量也是我们的向量教学中常用的一种向量表达式，在向量运用和运算中被广泛应用.除了共面向量，空间向量也是一个重要的向量内容.在进行向量的运用和计算中，空间向量也是一个重要的工具.
在向量部分的内容教学中，向量的基本概念是一个重点教学内容.向量部分内容的学习，对于高中数学学习有很大的帮助.学科不是一个孤立的体系，在课程安排中，每一部分数学知识的学习都不是一个单独孤立的体系，向量的内容更是如此.在苏教版数学课程教学中，向量的内容作为一个独立的章节出现，要求我们在教学中对于这部分内容进行开拓讲解，不仅有利于知识的讲授和学习，在另一方面，向量内容的教学也为其他部分的教学提供了帮助.所以，在“向量”部分知识的教学中，基础的概念知识要把握好.这是对于向量知识学习的基础，也是对于其他方面的知识学习的基础.
2.对于向量运算的把握
在向量知识的学习中，另一条教学主线就是向量的运算.在向量知识学习中，向量的运算也是一个重点的教学目标.在学习了向量的基本概念之后，就要对向量知识进行深一步的理解，这部分的教学内容，就是向量的运算.向量在应用中可以通过运算进行一些问题的解决，向量的运算也是有一定的公式可套用的.例如，向量可以和数字相乘，用来表示一个和它平行或者共线的向量，这种运算方法和普通的数学运算方法相同，在向量部分内容的学习中同样适用.在向量的运算中，我们也有一些运算定律可循.例如，在向量的运算中，存在数量积定律，特别需要注意的是，相互垂直的向量，它们的数量积为0.这也是向量内容学习中的重要运算定律之一.除此之外，还有平面向量基本定理，也是在向量内容运算中常见的向量运算定律.
这是在向量教学中的两条教学主线，把握这两方面的教学主线对于向量内容的教学研究有着重要的意义.在向量内容学习中，以这两个方面的内容为主体进行学习，对于这部分内容的教学是非常有意义的.
二、向量教学中要抓住教学典型，促进教学的发展
在向量内容教学中，抓典型、抓重点是主要的教学原则.向量内容教学对于数学课程中其他部分内容的学习也是非常有帮助的.向量教学中的抓教学典型，主要是抓住典型的教学案例进行内容的教学，案例在数学教学中的作用是非常大的，典型教学案例是数学教学的精华所在.向量教学关系到其他部分的数学知识的学习.例如，立体几何和平面几何方面的知识，都可以利用向量进行学习.特别是在立体几何的学习中，向量内容的辅助作用也是非常大的.立体几何在解析方面有一定的抽象性，需要把抽象的数字和具体的立体几何图形结合起来，这对于课程教学是一个重要的考验.面对这样的问题，我们可以把向量知识运用到立体几何问题的解决中来.通过构建立体坐标系，运用向量来表示立体几何的边和线，由此，在坐标系中可以构建出一个合理的数学模型，这个模型就是我们用于解决立体几何问题的重要辅助工具.立体几何知识抽象性比较强，通过向量坐标系的辅助，我们建立了相对具体的几何模型，这样就能够把抽象的问题具体化，更方便于我们解决问题.向量是带有方向的数学数据，这个数据用于解决具体的几何问题是具有很大优势的.在现代数学教学中，向量模型的构建和应用也是非常广泛的.立体几何问题的解决就是向量运用的典型案例，无论是对于立体几何问题的解决还是向量知识的应用，都具有非常好的效果.在向量部分的内容学习中，要多注意这类教学典型的把握.
结语向量内容在高中数学教学中是重点内容，对于一系列数学模型的构建和应用都有着重要意义.向量知识在教学中，要充分把握好两条教学主线，教学主线的把握是向量知识教学的重点.除此之外，在教学中还应该注意典型教学案例的收集，在教学中把握主线和典型，才能更好提升数学教学的质量，实现课堂教学的有效性.
【参考文献】
[1]张莹.向量在高中数学教学中的整合探究[J].中国校外教育，2012（8）.
关键词：哥特式建筑花窗格肋拱几何图案
15世纪末是哥特式建筑艺术创造性发展的辉煌时期，这些建筑的形式对于官方权威的设计是一种巨大的颠覆。这个时期，极其精致和赋予想象力的哥特式建筑艺术在欧洲许多文化中心发展起来，在著名的赞助商和负有盛名的艺术家滋养下，哥特式建筑风格的兴盛一直延续到1540年左右。1520年，随着各种风格的技术处理成为可能，哥特式艺术风格和意大利艺术风格呈现出并肩发展的面貌，这在欧洲北部的很多城邦都有表现，以及著名的艺术家如荷兰的扬・戈萨尔特（JanGossaert）、巴黎的皮埃尔・尚毕日（PierreChambiges）、诺曼底的罗兰・勒洛克斯（RolandLeRoux）、阿尔萨斯的伯纳德・洛勒马彻（BernardNonnenmacher）、巴伐利亚的艾哈德・海登赖希（ErhardHeydenreich）和波希米亚的本尼迪克特・列特（BenediktRied）都同时表现出这两种风格。本文重点研究的是哥特式建筑中的几何装饰，侧重于图形的视觉符号意义，探讨窗花格图案和肋架结构可能实现的潜在功能。
一、欧洲各城邦的哥特式建筑中几何图案装饰的表现形式
对15世纪末到16世纪初的建筑师来说，丰富的想象力和创新的装饰是同等重要的因素。事实上，人们现在常常用“火焰式”来形容晚期的法国哥特式建筑风格，这个术语来源一个特别的装饰特征：1500年左右在一些法国教堂中出现像火焰一样的花窗格造型――这是装饰三角墙的典型图案，以及建于16世纪初期的圣三一教堂的玫瑰窗花和外墙面。16世纪的建筑师洛伦茨・莱歇尔把晚期哥特式风格称为Zippernwerkh，这个词也和装饰语汇有关，似乎是形容一个不规则花窗格的形状演化而来。
在许多重要教堂的装饰中，几何图案装饰成为内部结构中不可缺少的特征。与德国一样，奥地利、尤其是捷克共和国，晚期的哥特式建筑师在教堂的内部相应地雕刻出明显的几何图形。15世纪末，分散的几何图形组成的错综复杂和新颖的装饰越来越普遍地被放在突出位置：中殿和小教堂的拱顶，画廊栏杆，教堂配备设施和装饰的金属包层部分。布切曾说，这些越来越复杂的装饰，将很快成为建筑中的独立领域，许多幸存下来的建筑中的几何结构就是证明，而其他因素诸如纸的运用为其发展提供了支持，使更多的哥特式建筑草图创造得以实现。事实上，大多数哥特式建筑图纸都是从十五世纪到十六世纪创作的，有的图纸画得非常复杂，甚至于它们的样式从来就没有建造出来，它们只是作为脱离客观现实的艺术表现。当然，如果这些几何图案以雕刻的花窗格或是拱顶装饰的形式布置在教堂内部时，它们就可以读解成宗教神圣的象征了。
相对来说，一些人却很少关注装饰形式，一方面是长期以来装饰与建筑的基本属性无关，另一方面是人们存在一种偏见，认为繁复的装饰是颓废和衰败的象征。就连善解人意的晚期哥特式评论家弗朗索瓦・布赫尔也认为卢维尔斯、阿尔比和斯特拉斯堡的门廊装饰过分繁复。他还指出位于英戈尔斯塔特西部小教堂中华丽的拱顶是“那个垂死风格的最后一个坚持者，基于规则的几何网格发展成了令人难以置信的技术和复杂的火焰设计形式。”这是流行的现代主义美学代表性评论，他们认为装饰和结构是必然冲突的，与建筑的功能原理必然相对立的。然而，从伊斯兰的雕刻到20世纪的建筑，人们逐渐认可了装饰属于建筑体系中的一部分，这表明装饰能够强烈地吸引参观者的眼球，扮演着宗教表达和文化革新的有效媒介物。
二、几何图形的拱顶结构
在15世纪时期，拱顶结构的艺术发展显著，在教堂设计方面不断担任着越来越重要的地位，人们逐渐对墙部的关注越来越少，过去的柱子都是多种多样的复合式柱身，吸引人的目光慢慢的往上延伸，现在这些柱子被简单的圆柱或八角形扶壁取而代之，人们直接关注的是雄伟华丽的拱顶上肋架的装饰样式，肋拱日益从基本建筑结构的必要条件中分离出来。
这种风格的典型例子是诺德林根的圣乔治教堂，这座教堂于15世纪初开始修建，在大约1500年才加拱，是由斯蒂芬・卫雷尔和奥格斯堡的建筑师布尔克哈德・恩格尔伯格两人协作完成的。在唱诗班坐席上方，卫雷尔配置了单曲线和双曲线的肋架，在拱顶顶点创造出了直线和弧线交叉的复杂线汇。这些肋架形式在每一个突出结构中都形成一个独特的图案，即六边形里包含了四角星。此外，多边形的肋拱在交集处都稍微有一点突显出来，像僵硬的光点。从光学上讲，这个细节在视觉上使得它们与周围的环境相分离，并强调它们作为装饰图案的特性。装饰性的表现是至关重要的，中殿上方的拱顶设计采用了不同的布置：一个由三角形、菱形和长菱形交叉组成的网状图形。和以前一样，几何形状的图案被集中在建筑的特定区域内供人观赏。
在1500年左右时尚的拱顶设计在德国可谓是人尽皆知，它们非常受人们欢迎，就连最小的村庄里的教堂也采用这种拱顶。有时，人们在灰泥制成的廉价肋架外多余的空间表面上习惯地刻印出几何图形。SS教堂和泰洛・拉万特河的保罗教堂顶部极度平滑的木质天花板，为图纸完完本本的诠释成建筑提供了绝佳机会，1516年，教堂的顶部固定了一连串交叉的尖顶拱，在一系列交叉的对角线重叠后形成大的四方形。在奥地利的魏格斯道夫，相交正方形的灰泥装饰线，以及半圆形和四分之一的圆形附在中殿上方的框架里，虽然独特的装饰图案很容易在教堂空间里识别出来，但一些有规则秩序的完美几何图形却只能在水平面草图中才能看到。
这些晚期出现的拱顶画面，对建筑师的创作和成就来说是关键因素。图纸的设计和在立体空间内的实践之间存在一个必然的辩证关系，绘制图纸是最基本的环节，一旦把这些几何图案勾勒在画板上，它们就会被应用于各种建筑装饰之中，尽管拱顶的建造受工程的实际因素所制约，但建筑师还是不断地勇于挑战有创新的拱顶设计。许多建于1500年的德国教堂拱顶上的几何图形设计最让人印象深刻，它们如苍穹般在教堂、唱诗班坐席和中殿上方延伸开来。维也纳的一张绘图显示几何图形设计成拱顶上的网状肋架形式，在德国、法国、奥地利和捷克也发现了这样的装饰形式，而且，肋架处的链接意味着一个信号，表示到了新的聚集点，这个图纸绘制出很清楚的二维图像，但是在实际施工中会模糊这个几何图形构造的规则性。当然，某些图纸的绘制只是为了表现设计者的自我炫耀，它们的功能不是为充当未来制作阶段的辅助手段。
三、几何图案的花窗格装饰
大教堂内部经常采用含有几何图形的花窗格的栏杆与围栏来呼应拱顶的装饰，与早先的装饰不同，16世纪的装饰更加出色，设计也更复杂，倾向不完整和互相穿插的图案形式。诺德林根的圣乔治教堂就有几个是这样的花窗格，讲坛是由奥格斯堡的工匠于1499年连接到旋梯的，旋梯前是错综复杂的网状结构，这个几何结构的特点是破碎、交错的圆聚集成一个网格结构。虽然个别的元素可以识别，但整体设计的逻辑仍然是一个隐匿的不解之谜。1506年由史蒂芬・卫雷尔设计的讲坛中的栏杆与西部楼廊相结合，这也是一个由破碎的圆弧和圆组成的图案，给参观者留下深刻的印象。
这种设计的另一个突出体现就是奥格斯堡大教堂唱诗班席位的西面墙壁和关口，气势恢宏的屏障是迎接参观者进入教堂的首要入口。这个结构来自布尔克哈特・恩格尔伯格的作坊，大约1501年完工，网状的栏杆位于装饰带的上端，装饰带雕有连续的半圆图案，各种弧线都在弧的另一端结于一点，显示出三种不同的尺寸，一旦观察出这个图案的特点，就很容易发现通过逐步增加最小圆圈的半径来增加半圆的直径的规律。即使紧凑和重复的图案模糊了精确的数值关系，构图的顺序和比例还是能很容易地被察觉。
老式庄严的建筑如斯特拉斯堡大教堂和弗赖堡教堂的结构也修建了新样式的走廊，并很快蔓延到哈布斯堡帝国的各个角落。在提洛尔的奈德兰纳教堂，宽广的西部楼廊装饰有网状花窗格的栏杆，花饰是四分之三的圆形，里面填充着叶状三角形和其他的几何图形，沿着教堂中殿隐蔽的花窗格装饰带也是独特的景致。这些装饰虽然不属于建筑的功能结构，却能说明几何学的很多理论,这些花窗格从墙壁上分离出来，像笼子一样将墙壁包裹住，它们吸引参观者进行猜谜，激励人们尝试去发现这些工序在过去通常是怎样制作出几何图案来的。以这种方式，尤・尔根・尤利耶尔在晚期小型哥特式建筑中复杂的几何图形里发现了很多透视技巧和谜语，如斯特拉斯堡大教堂洗礼圣水盆，他认为这些物品的设计者表现了建筑的幽默或讽刺，故意不顺从参观者的期望。玩弄视觉的习惯也成为16世纪荷兰的哥特式设计师重要的喜好，在荷兰，许多雕刻的祭坛装饰品的复杂画面都像谜一样。例如，在罗姆比克的教堂装饰，似乎是用不规则的图形故意让人混乱，找不到头绪，这些作品，激励参观者去发现潜在的比例规则，使它的有序结构得以复原。
结束语
几何图形的拱顶和花窗格设计是为了满足宗教体验的复杂艺术现象，一旦几何图案装饰运用到宗教建筑中，它就变成一种非物质化的、精神性表现的载体。建筑不再满足于把石块仅仅作为具有某种实用目的的材料，不再只根据材料的严格特性处理它，而是寻求从石块无生命的本质中唤醒或发掘出一种先在的、与艺术意志相呼应的表现。在欣赏哥特式建筑时，参观者能够凭直觉感受到这些抽象的几何化装饰暗示或象征着上帝在人世间的存在。
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