关键词：几何教学有效性领悟力思考
几何的入门教学是最让教师头疼的事，因此大多数教师只能采用“题海战术”让学生自己慢慢去领悟，其实要提高几何入门教学的有效性，教师应该在引导方法上下工夫，渗透某些数学思想，提升学生的几何领悟力，让学生感受到学习几何的乐趣。笔者就如何提高几何入门教学的有效性谈几点思考。
一、设计铺垫，启发探究
设计铺垫，启发探究，就是为了解决某个问题，巧妙地设计一组与它相关的连环问题，并且这个问题学生一般都能接受，如果深入探究的话，就会发现这很快就接近了我们要解决的那个问题。比如在学习浙教版七下全等三角形（3）时，有这样的一个例题：
已知：如图1，已知AE=AD，∠B=∠C。
求证：BDO≌CEO
这个例题的难度，主要是已知条件中的AE=AD，与求证的结论表面上好像很难联系起来，学生一下子找不到它们的内在联系，因此教师可设计一组如下的探究式问题，进行铺垫过渡：
（1）如图1，已知AE=AD，∠B=∠C，你可得到哪些结论？
（2）在（1）的条件下，连接AO，你还可以得到哪些结论？
这样结论开放，有助于激发学生的学习兴趣，事实上后进生在解决问题（1）时他们也兴趣盎然，因为他们也能得到一些边相等，角相等，三角形全等的结论，有成功的体验。其中通过探究发现ABE≌ACD，得出结论AB=AC，从而发现BD=CE，又进一步得出BDO≌CEO的结论，使学生欣喜不已，充分激发了学生的求知欲望，这比直接让学生根据已知条件说明这两个三角形全等效果好得多，第2问的设计让优等生的思维更加活跃，使知识向纵深的方向发展。
二、一图多变，分层递进
一图多变，分层递进，就是上课时要关注到不同知识基础的学生，要考虑课堂提问、例题、课堂练习的设计是否有层次性，是否有利于不同层次学生的发展。运用一图多变能使学生加深对概念的理解，有利于每个学生的发展，不管是哪一个知识层次的，都会学有所得。
比如在学习浙教版七下2.2轴对称变换时，教材中为了让学生更直观的认识轴对称图形，通常把对称轴画成铅垂线，那么对称点之间的连线就是水平线，但教师如果不刻意提醒，肯定会有一部分学生习惯地认为两个对称点一定是处于水平位置，那么就会出现如右图的错误，导致知识负迁移，所以在上课时，除了讲清对称点的画法外，更应该注重一图多变，进行强化训练，达到预期的教学效果。因此可设计如下一组题：作下列各图形关于直线m的轴对称图形。
这样从画对称点到画对称线段再画对称图形，从易到难，层层递进，有助于学生抓住轴对称的本质特征，深刻理解轴对称的概念，并能正确画图，对提高他们学习几何的自信心，培养他们学习几何的兴趣起到一定的作用。
三、逆向思维，追根溯源
逆向思维，追根溯源，就是上课时考虑逆命题的作用，即把命题的结论和已知条件对换来观察，是否有利于这个命题的破解，这是引导学生如何解题的一个行之有效的方法。
比如在学习浙教版七上线段的长短比较（2）这节课的教学目标是让学生掌握线段的中点的概念，会用中点的概念求线段的长，并能书写简单的推理过程。教材中就有一个例题：
如图，点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。
这节课是初一学生第一次接触几何，中点概念讲完就抛出这个例题，这对绝大多数学生来讲难度太大，明显高于学生的认知起点。所以我想应该让学生知道线段CP与线段AB之间的内在联系，为了更直观地认识它们之间的数量关系，在上这节课时，让学生运用逆向思维进行思考，就是已知整条线段AB的长，求部分线段的长，让学生先解答下面的问题：
如上图，点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段AB的长为24cm，求线段AP，AC，CP的长。
待学生求出了AP、AC、CP的长度后，再进一步提问：
你可发现线段CP与AB之间有怎样的关系？
这样先求AB再求CP，贴近学生的认知水平，课堂上学生参与度高，思维较活跃。当学生发现CP与AB的关系后再抛出书上例题，较多学生能独立解决。这样降低知识坡度，分散教学难点，让学生由易到难，有助于学生积极思维，主动参与。
四、类比联想深化拓展
类比联想，深化拓展，就是几个问题通过类比，发现有许多相似之处，好像是孪生姐妹，再进行联想，可以把原来的问题深化处理，拓展学生的解题思路。类比是一种重要的数学思想，是学生获得知识的有效方法，上课时要充分考虑这种思想的渗透。采用类比联想，促使学生大胆猜测，探究新知。
例如在学习角的计算时，可与线段的计算进行类比，这样学生学习角的运算就轻松了许多。举例如下：
如图2，OD是∠AOB的平分线，∠AOC：∠BOC=3：2，∠COD=200，求∠AOB的度数。
此题与可下题类比：
如图3，C是线段AB的中点，点D分线段AB和长度为3：2，已知CD=10cm，求AB的长。
这样通过类比，学生就能看出问题的本质，解决问题就会得心应手，可有效地提高学生学习几何的悟性，体验感悟几何的快乐。
五、一题多解，拓宽思路
一题多解，拓宽思路，是指针对某个几何问题，采用多角度多方位的立体探究方式，拓宽学生的解题思路。比如浙教版七上一元一次方程的应用（2）这节课的第1个例子为：
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3米的正方形框。已知铺这个框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑底面的边长是多少米？
这个问题的难点是这个边框的面积与标志性建筑底面的边框宽x有怎样的关系？好多学生容易想到大的正方形面积减去小正方形的面积得到（x+6）-x，但完全平方公式还没学过，问题不能解决。因此可让学生先独立思考一段时间后，再分组讨论边框的面积如何用其他方法表示成含有x的代数式，考虑能否用分割的方法得到，通过合作交流，各小组汇报，教师概括总结，可得如下四种正确的表达方式，难点得以突破，同时也拓宽了学生的解题思路。如图：
（1）把正方形边框分解成4个梯形。
（2）把正方形边框分解成4个小长方形与4个小正方形。
（3）把正方形边框分解成2个小长方形与2个大长方形。
（4）把正方形边框均匀的分解成4个长方形。
一题多解的目的不是为了解决一个问题，而是为了拓宽学生的解题思路，培养学生的发散性思维，提高几何入门教学的有效性。
以上虽然是笔者的一些粗浅想法，但确实也是本人在教学实践中行之有效的引导方法，当然要提高几何入门教学的有效性，方法还有很多，所谓“戏法人人会变，各有巧妙不同”，这都有待于我们去进一步研究发现。
参考文献：
[1]张大华.《初中数学课堂教学有效性的再思考》[J].《中学数学教学参考》，2009（10）.
[2]臧学流.《初中数学的有效教学新课程》[J].《教育学术》，2009（08）.
【关键词】高中数学课堂教学高效
高效课堂是针对课堂教学的无效性、低效性而言的，课堂教学高效性是指在常态的课堂教学中，通过教师的引领和学生积极主动的学习思维过程，在单位时间内（一般是一节课）高效率、高质量地完成教学任务，促进学生获得高效发展.高效发展就其内涵而言，是指知识与技能、过程与方法和情感、态度、价值观“三维目标”的协调发展.
一、数学目标明确化
教学目标是教学大纲的具体化，是教材所包含的知识因素和能力训练的具体要求，是评估教学质量的依据。教学目标决定着教学活动的方向，决定着教学内容、方法、途径的选择，决定着教学效率的提高。在数学课堂教学中，如果目标制定明确，便能发挥如下功能：对指引师生的教与学，有定向功能；对教改程序的有效进行，有控制功能；对知识与能力的双向发展，有协调功能；对减轻学生因题海战术而盲目训练所造成的负担，有效率功能；对教改工作的科学评价和管理，有竞争功能；对统一标准大面积提高教学质量，有稳定功能。由此可见，要提高数学课堂教学效率，就应制定完整、明确的课堂教学目标，注意根据教材内容定出基础知识、基本能力、思想感情教育等项的达标要求。例如教学《两条直线的位置关系》，可制定如下教学目标：⑴基础知识方面：两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角公式，点到直线的距离公式；⑵基本能力方面：培养学生数形转换能力和简化运算的能力，提高分析问题和解决问题的能力；⑶思想情感教育方面：培养起学生学数学的兴趣、自觉性和克服困难的意志。并且把这些相互促进、相互制约的各项要求组成一个整体，做到在教基础知识的同时培养能力，发展智力。这样就能使学生在知识、能力、思想情感教育三个方面得到协调发展，全西完成课堂教学任务，收到良好的教学效果。
二、高效课堂教学要根据具体内容，选择恰当的教学方法
所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识。而在立体几何中，我们还时常穿插演示法，来向学生展示几何模型，或者验证几何结论。如在教授立体几何之前，要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型，观察其各条棱之间的相对位置关系，各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时，就可以通过这些几何模型，直观地加以说明。此外，现代化的多媒体教学手段可以提供声音动画等多种信息，能使抽象的概念、复杂的公式形象化，学生可以通过各种感官同时接受信息，大大增加了课时的信息量，提高了教学效率；同时学生在这样轻松、偷快的教学环境中学习，不再感到单调枯燥，从而产生强烈的求知欲望。高中数学中的概念、定理很多，而这些内容往往很抽象，学生学起来很枯燥，难以接受；运用现代化的教学手段，就能把这些抽象的概念形象化，便于学生理解这些概念、定理。如通过投影，可以将物体点、线、面之间的关系表现得生动形象，从而有助于学生空间想象能力的发展。例如，在进行点、线、面投影规律的教学中，首先引导学生认真仔细地观察分析形体上的几何元素在三面投影中的位置和三维几何元素与二维投影图之间的对应关系，然后再观察当几何元素的空间位置改变时，投影图上的对应投影又是如何变化的，从而可以更好地帮助其掌握点、线、面的投影规律。记忆相关知识，提高学习效率，增强学习效果。再如，在讲到三垂线定理时，教师可以制作一组幻灯片，以立方体为模型，使之从不同方位转动，得到不同位置的垂线，学生可以从中获得感性认识，加深对定理中各种情况的理解，增强对该定理的运用能力，从而提高学习效率。因此，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的方法。
三、设置能启发学生创新思维的题型策略
关键词：阅读材料；课堂教学的有效性；情境
《数学选修1-1》课本43页，有这样一段“信息技术应用”材料：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
对这节阅读材料的处理，我已经在2012年津河中学的对外开放日的教学展示中上过了观摩课，在这里，我把教学过程摘录下来。
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
问题：小时候下河捉过鱼吗？鱼好捉吗？为什么不好捉？
这节课我们一起用“几何画板”这个工具来捉一次会动的“点”，“点”飞入画面，导入课题：用几何画板探究点的轨迹。
二、感知几何画板展现的动态美（快速知识回顾，整体感知）
1.学生回顾椭圆、双曲线、抛物线的有关知识。
2.用几何画板展现椭圆、双曲线、抛物线的形成过程。
三、展现几何画板的动态美（交流探究，了解几何画板）
1.P42习题2.1A组第7题探究
圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
2.P54习题2.2A组第5题探究
圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
四、品味几何画板展现的动态美（揣摩品味，总结归纳）
通过观察离心率e的变化，运用几何画板展现曲线从抛物线逐渐变成椭圆、双曲线，体会圆锥曲线的统一定义。
五、追求几何画板展现的动态美（联系实际，拓展延伸）
1.P35例3探究
设点A、B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程。
既给出了生成椭圆的另一种方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数，又能使学生体会椭圆几何特征的各种表现形式。
2.P48正文探究
设点A、B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。与上例比较，你有什么发现？
这是双曲线的另一种产生方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个正常数。
3.P34例2探究
在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
（1）引导学生体会利用中间变量求点的轨迹的方法；（2）一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。
六、课堂小结
同学们，爱美之心，人皆有之。通过这节课的学习，我们体验了几何画板画图的动态美和通过几何画板体现用数形结合来研究图形的性质的数学思想。结合自己的学习，说说你最大的收获。
七、作业
P36练习：4，P64习题2.3B组1