数学建模教学与传统的数学教学活动有着很大的不同，它重视数学理论与实践的结合，把培养学生的创新能力作为首要的教学目标，以此来让学生更好地运用数学知识解决现实生活中的实际问题。数学建模使用数学理论和数学工具，通过演绎、推断、分析、解释等步骤对数学问题以及现实世界的信息进行归纳整理。学生要在数学建模的过程中不断培养自己的数学建模意识和数学建模的水平，只有这样才能建立一个优秀的数学模型。高校的数学教育除了要教给学生基本的数学知识外，还要用实践活动培养学生的创造性思维、创新能力，让学生在实践中掌握数学知识，以及数学的精神实质和精髓，要让学生利用数学建模的知识来解决现实中的问题。近年来，众多高校开展了数学建模教学活动，并举办了大学生数学建模竞赛活动，这些教学活动和竞赛活动极大地推动了高校数学建模教学的开展，高校在这一过程中，充分培养了学生的数学建模意识以及创新能力[2]。
二、数学建模教学对于学生创新能力培养的重要意义
高校的数学建模教学在很多大学正如火如荼地展开，数学建模教学的内容较为新颖、有趣，因此吸引了较多的学生参与数学建模的学习[3]。数学建模教学以及大学生数学建模竞赛可以有效地提高学生的创新能力和综合素质。高校通过数学建模教学可以对学生的创新能力进行全方位的培养。
（一）有利于学生想象力的培养
高校进行数学建模教学，主要是让学生使用数学理论和数学工具来建立模型，进而解决实际问题。学生要使用数学语言来描述相关的问题，这其中主要包括两部分的内容，即模型的假设和模型的架构。学生在建立数学模型之前，需要学量的数学理论知识，然后才能进行数学的建模。在数学建模的教学活动中，最为常用的一个方法就是理想化的方法。理想化方法需要学生具有一定的想象力，因此教师的数学建模教学可以使学生在此期间不断进行思维的延伸，培养学生的想象力。想象力就是人们在原有的事物形象的基础之上，添加一些新的形象，然后将这两种形象进行一定的加工处理，从而创造出了一种新的事物的形象，这就是想象力。数学建模教学也是如此，教师在进行数学建模教学时，首先让学生学习相关的数学基础理论知识，然后让学生通过一定的数学工具构建数学模型，而构成这种数学模型最关键的一个因素就是学生的想象力，想象力是创新能力的基础组成部分，因而通过数学建模教学可以很好地培养学生的创新能力。
（二）有利于学生发散思维能力的培养
数学模型的成功建立需要学生充分发挥自己的想象力，在想象力的基础之上才能培养学生的发散思维能力。发散思维是一种非常重要的创造性思维，是由某一具体条件或事实出发，从各个不同角度、不同侧面理解问题、思考问题，并探索解决方法，从而产生出各种结果，即它的思考方向是由各个方向发散的。数学建模本质上就是对现实问题的数学描述的过程。在这个过程中，从不同角度出发，考虑不同的条件，就可以得到同一问题的多种解决方法，甚至能得到同一问题在不同条件下截然不同的结果。运用数学建模教学培养学生的发散思维能力，需要教师在教学过程中适时启发和引导学生针对实际问题提出合理的假设，忽略掉一些次要因素，寻找主要因素之间的量化关系，运用所学的相关专业理论知识、科学规律、生活经验和数学知识，建立数学模型。鼓励学生考虑不同因素，运用不同方法解决问题，培养学生解决实际问题的意识和发散思维能力。
三、数学建模教学是培养学生创新能力的途径
（一）优化知识结构
基本的数学理论知识，是高校进行数学建模教学、培养学生创新能力的根基，学生只有掌握了数学的基本理论知识，才能在数学建模的学习中，很快地掌握建模要领。因此在数学建模的教学实践中，学生首先要学好数学基本理论知识，形成完整的数学知识理论体系，并掌握好数学建模的要领[4]。以往的学生在学习的过程中，只需要掌握与考试内容相关的数学理论知识，而这些数学理论知识对于数学建模的学习而言，知识量是远远不够的。学生的数学基础知识越多，就越可以在数学建模的过程中充分发挥自己的想象力，根据数学建模的相关要求，找出更多的新思想、新方法，以此来更好地完成数学建模的学习。因此，高校需要在数学建模的教学过程中，注重引导学生掌握更多的数学基础理论知识，不断地优化自己的知识结构，从而在建模的过程中培养自己的创新能力。
（二）重视知识认知
在数学建模的教学过程中，教师还要注重学生的知识认知情况。学生的数学基础理论是其掌握数学建模要领的知识基础，因此学生要在数学建模学习之前掌握较多的数学理论基础知识。在学习基础的数学理论知识时，教师要通过一定的手段，来检验学生的学习情况，了解学生的数学知识认知情况，只有这样才能使学生在学习数学建模时，能够很快地建立数学模型，充分考虑各项注意事宜。教师在数学教学的过程中，在教授了相关知识后，要留给学生一些思考的时间，让学生在思考过程中形成自己的数学知识理论体系，从而激发学生的创新能力，让学生在创新能力的引导下，更好地进行数学建模的学习。因此，教师要重视学生对于数学基础知识的认知情况，这是学生学习数学建模的关键。
（三）设计教学情境
学生在刚开始学习数学建模的相关内容时，会有一些困难，因为数学建模具有一定的抽象性，需要将形象思维转化为抽象思维，这样才可以突破具体实际问题的限制，抽象是适用于同类问题的一般化模型。因此教师要在数学建模的教学活动中，设计相关的教学情境，让学生在教学情境中，能够充分发挥自己的主观能动性，充分发挥自己的逻辑思维能力，从而更好地掌握数学建模的相关知识。学生通过数学建模教学情境的学习，可以更好地理解数学建模的知识，以及数学建模的操作步骤，从而培养了学生的创新能力。
四、对于数学建模教学培养学生创新能力的思考
数学建模教学培养了学生全面思考问题的能力，学生可以根据自己所学的数学知识，来解决现实生活中遇到的问题。数学建模要求学生从课本中解放出来，能够真正地做到学以致用，达到其他学科和其它数学课程所达不到的高度。在现代高校的数学教学中，需要教师通过数学建模的教学，来培养学生用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学建模意识以及建模的能力，培养学生的创新能力，使学生能够将所学的数学知识，潜移默化地使用到日常生活问题的解决上面。很多高校毕业生认为自己所学的专业知识无法有效地运用到工作中，自己到工作岗位之后，需要重新学习相关的知识。对于接受了数学建模教学的学生，以及参加过大学生数学建模竞赛的学生而言，他们可以将自己所学的知识有效地运用到工作领域中，这是因为他们在参加数学建模活动时，教师已经在有意地培养他们的数学建模意识、数学建模能力，以及创新能力，学生在学习的过程中，已经有意识地将数学知识运用到实际问题的解决方面，所以他们能够充分发挥自己的创新能力，将数学建模应用到社会实践中去。
【关键词】数学建模不确定性原理灵敏性分析习得性无助
【基金项目】武汉理工大学本科教学实验室实验项目开发“商务数据的分析与建模”（2013）；武汉理工大学本科教学实验室实验项目开发“面向过程的企业管理模拟实验”（2014）；2016年校自主创新基金人文社科项目“网络文化中的公众非理演化研究”（2016VI036）。
【中图分类号】G64【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）09-0119-02
数学建模学习者往往会陷入一些误区，一些会认为，只要有了公式，什么都可以建立模型计算出来，似乎一切都是可以预测出来的；另一个误区是，只要建立了正确的模型，就是对这个事物的正确描述；没有前两个误区的错误认识，就会陷入第三个误区，认为既然都不能用模型来描述、预测，建模就是无意义。这些误区在教学中经常发现，因此，有必要厘清错误，明确正确的建模思想。
一、第一个误区的解读：认识理想状态和现实的不确定
对于第一个误区，认为一切都可以建立模型，要明确的是，“只要有了公式”。不错，问题是，现实中很多公式是得不到的，因为无法获得数据、确定参数。
自然哲学的思潮发展中，关于计算与公式，有一些很有影响的观点。17世纪，英国唯物论哲学家霍布斯认为一切思维不过是计算。17世纪，哲学家、物理学家莱布尼茨提出，在思维机器前一切都是可以计算的。19世纪，法国数学家、天文学家拉普拉斯指出一切已确定，如果一个有理性的人知道某时刻生物界一切力和所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动。对他来说，一切都是确定的，将来与过去都呈现在他眼前。纵观这些大家的观点，随着时代的发展，糟粕精华各自沉浮。
在理想状态下，犹如拉普拉斯所言，知道力和位置，可以分析运动，得到公式。但是物理学上已经有海森堡不确定性原理证明拉普拉斯想找的确定的粒子方程式不存在。就如物理学家史蒂芬・霍金所言，不确定性原理是我们在其中生活的宇宙的一个基本特征。
二、第二个误区的解决：不能忽略的灵敏性分析
建模的第二个误区，认为只要建立了正确的模型，就是对这个事件的正确的描述。对这个误区需要明确的是，除了建立正确的模型，还必须考虑灵敏性问题。
建模分析，是建立在作为前提条件的一些假设之下。这些假设是符合常识常规的。但如果这些假设改变呢？而现实中的假设条件是经常会变化的。比如，建立售猪模型，假设猪的价格每天不是固定的，而是每天下降1%，这是可能的，但是实际中，更为可能的是，猪的价格每天下降的速率是不恒定的，即可能昨天下降1%，今天下降0.9%，这是更符合市场规律的，价格每天都是在变动的。如果不考虑假设变动，不做灵敏性分析，模型就不是对事物的正确描述。
因此，在建模中必须考虑灵敏性分析。可将灵敏性看作一个概率范围，如价格波动，只要这个价格波动在某一个范围内，那么将价格固定在某个确定数字上，再进行计算其他参量，就认为是可行的。显然灵敏性分析也是有局限的，它只是一个范围，并不能精确的描述现实的所有情况。
现实世界是复杂多变的，建模要尽可能全面描述现实，就要做灵敏性分析，使数学模型尽可能贴近现实，描述现实。
三、第三个误区的认识：避免习得性无助的学习倦怠
在前两个误区都有正确认识后，学生容易陷入第三个误区，认为所建立的模型，即使再完整，公式再漂亮，也可能是无法反映现实，更无法预测未来的。这样就可能使学生产生悲观情绪，认为学习建模毫无意义。
这样的学习悲观情绪，任由发展蔓延，就会在学习上产生习得性无助，严重影响学习。习得性无助理论是由心理学家赛里格曼提出的，认为当个体面临不可控的情境时，一旦个体认识到无论自己怎样努力，都无法改变不可避免的结果后，便会产生放弃努力的消极认知和行为，表现出无助、无望和抑郁等消极情绪。如果学生无法正确认识数学和现实的矛盾问题，就会觉得建模是毫无意义的，就会对建模产生怀疑，进而产生学习上的习得性无助，就会放弃继续学习建模。
避免学生在学习建模过程中产生悲观情绪，恶化成习得性无助的学习倦怠，需要给学生树立学习信心，随着科学发展，将有更多的数学工具、数学方法，以供我们对这个世界进行数学描述。
数学建模是一个不断发展完善的领域，各类建模思想，建模方法随着学科发展在不断改进优化。数学建模的学习者要有正确的观念认识建模，才能在正确的方向上学习建模。
1.情境教学模式
学习、思维和操作都是基于情境的，都是通过情境中的文化活动或工具作用发生在人脑或操作中。知识必须在真实情境中呈现，在包含知识的真实场景和问题解决中呈现，才能激发学生真正的认知需要，这是因为，知识存在于具体的活动、情境和文化之中，学生只有进入其中，才能学到知识。
对于高职高专的职业教育来说，教师要根据教学要求，为学生学习创造各种条件（提供教学器材、教具、场所），构建教学情境，组织好教学，使学生带着真实的学习“任务”在探索中学习，不断获得成就感，更大地激发求知欲望，培养出独立探索、勇于开拓进取的自学能力。
2.高等数学情境教学的主要特征
基于情境教学模式的高等数学课程教学模式就是将传统的学徒制方法中的核心内容与现代教育技术相结合，使学生从课堂知识的被动接受者转变为学习、工作的实践共同体，从而让学生掌握现代职业技术和技能所需的高等数学基础知识。高职高专高等数学情境教学模式的主要特征在于以下几点。
（1）该模式关注的是学生获得高等数学知识或将其运用于解决复杂现实问题时及时的推理过程与认知策略，而非数学概念和事实知识。
（2）将原本内在的认知过程显性化，这是解决现实任务的关键。亦即表现思维过程，使之可视化（包括师生的思维过程）。通过这种方法，学生可以在老师和同学帮助下进行高等数学知识的重复演练和理解。
（3）将高等数学课程中的抽象概念或内容置于与学生专业相关的有意义的情境之中，在模拟的职业环境中，学生可充分了解学习高等数学的必要性与重要性，理解工作的相关性，并积极参与。在将数学概念与事实知识作为工具运用的过程中，建构丰富的反映概念、事实与问题情境之间关联的网络。
（4）在多样变化的模拟职业环境情境中，教师鼓励学生反思，并清晰地表达高等数学课程教学内容与实践任务的共同原理，使学生能独立地将数学知识、技能迁移或应用到新颖的问题情境之中。
（5）学生在参与复杂的情境模拟教学过程中，可选择不同的认知活动，通过讨论、角色扮演或互换、小组问题求解等方法，将复杂的高等数学体系认知过程外显化，以促进自我修正和自我监控等元认知技能的发展。
3.高等数学情境教学可采用的教学方法
情境认知理论认为：“情境是一切认知活动的基础。学习和认知是一种社会建构的过程和结果，并表现在人们的行动中和共同体互动中，通过这些行动，认知得到进行或建构。”高职高专高等数学情境教学模式可采用的教学方法主要有以下五种。
（1）建模。即教师示范运用高等数学知识完成某个相关职业任务的过程，并解释其关联。建模的目的是建构教师对高等数学知识认知过程的心智模型，将内在的认知过程和活动展现出来，特别是外显出所用基本数学概念、知识和运用过程。
（2）指导。在学生运用高等数学原理模拟执行模拟职业任务时，教师通过观察的方式进行指导，包括观察学生完成任务的过程、为学生提供暗示、搭建脚手架、提供反馈、建立模型、提醒、修正任务或提出新任务等，以便使学生的学习绩效能更接近专家。
（3）搭建或拆除脚手架。在学生完成情境教学任务时，教师可提供支撑（建议、帮助、暗示等），脚手架的功能是帮助学生顺利穿越“最近发展区”。同时，随着学生学习能力的增强，教师要把更多的控制权还给学生，逐渐减弱对学生的支撑，去除脚手架。
（4）清晰表达。即学生在描述其运用高等数学于专业问题时的思维过程中，将其运用知识、推理、问题解决过程清晰地表达出来。在学习过程中，清晰化可以通过不同的策略，如讨论、示范、陈述和作品等来实现。
关键词：数学模型；知识；创造
在实际教学中，我发现学生感到困难最大的是解决实际应用问题，他们往往把题目看过后，就想算式怎么列。从实际问题直接到算法，如果问题比较复杂，这个跨度就大了，此时学生就不知所措。如何帮助学生抽取出实际问题中的数量，并用简单的图形、符号、公式等来表达数量之间的关系，为列出算式从而解答实际问题，建造一座“桥”？我认为这座“桥”就是数学中的“数学模型”。数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实问题自主建构成数学模型，是对学生创造性地解决问题能力的检验，也是数学教育的重要任务之一。
一、建模的前提――充分感知
以皮亚杰为代表的建构主义认为，知识是个体在与环境的相互作用的过程中逐渐建构的结果。儿童在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。所以抽象的数学概念与方法是需要基于充分的感性材料而进行的，必须从外表不同的许多数学材料中看出共同点，才能顺利地抽象和概括出知识的本质属性。在教学中，教师积极寻找切入口，把静态的知识结论转化为动态的探索对象，充分感知知识的内部结构，从众多的感性材料中体会其相同之处，为知识模型的建构做好支撑。
二、建模的形成――内在需要
知识模型最后的建成固然重要，但是，是不是教师给出这个模型，学生最终也理解了其含义即可呢？答案是否定的。数学模型的建立是“数学化”的学习过程，学生在这个过程中不是单纯地获取知识，而是在探究数学知识的同时感受体验数学思想和方法，模型的建立是学生非常自然的一种“有感而发”，是一种自我的需要。在这一过程中，学生经历了观察、比较、归纳和概括，学生抓住了研究对象的本质的特点，能够化繁为简、化难为易，使之更加容易认识原来的研究对象，学生的学习能力得到了提升，同时，学生找到了一座“桥”，这座“桥”就是解决问题的数学模型。
三、建模的后续――策略思考
就像只有在游泳中才能学会游泳一样，学生只有在探究中才能学会探究，只有在思考中才能学会反思。在此过程中，学生收获的不仅仅是知识本身，更为重要的是这个知识的价值，以及对后续学习的一种帮助和思考问题的策略。因为，数学学了传承数学知识之外，也传承着一种数学思考、数学思想，进行着多重意义上的建构。
四、建模的价值――能力发展
数学教育的本质意义是让学生通过数学的学习，在面对现实问题时能够建立有效的数学模型，从而创造性地解决现实问题，让数学为学生所用。即从对低层次活动本身的分析（即第一层面的思维活动到后一层次的补充完善），把低层次的知识逐步变为高层次的方法（对不同作业进行优化处理、深度加工），经过提炼形成更高层次的知识（数学的模型以及运用模型解决问题），把对某一知识的认识过程转化为对问题的探索过程，把对知识的认知掌握转化为对问题的探究解决，从而找到用数学模型有序地思考的方法。
数学建模是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。
全国大学生数学建模竞赛组委会主任李大潜院士2002年5月18日在数学建模骨干教师培训班上的讲话中说道：“数学教育本质上是一种素质教育，数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径。”
李大潜院士的讲话一语道破“天机”，一下子解决了长期以来困扰数学工作者和学习数学者面临的或者无法参悟的问题，有力地指出了数学建模与实施素质教育的关系。李大潜院士提出的关于数学建模与实施素质教育的关系势必为推动素质教育的发展提供了新的动力和方向。
笔者参加工作以来，一直从事数学教学工作。从学习数学到数学教学，特别是经过多年的数学教学工作，也曾遭遇过类似的“尴尬”，多年来始终没有对数学建模与实施素质教育二者之间的关系形成系统的认识。但在学习了李大潜院士的讲话精神后，方才恍然大悟，经过认真整理与分析，结合自己的学习、工作实际，终于对此二者之间的关系有了进一步的认识。实际上，我们的工作，特别是数学教学工作，就是对学生进行严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质，而这些素质是其他课程的学习和其他方面的实践所无法代替或难以达到的。这些素质初步归纳一下，有以下几个方面：
1.通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数”，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。
2.提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理分明，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。
3.数学上推导要求的每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。
4.数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最低的条件（代价）以及最简明的证明，可以使学生形成精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。
5.通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，了解和领会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。
6.通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从表面上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。
7.可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善所学的数学结论、改进证明的思路和方法、发现不同的数学领域或结论之间的内在联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面，逐步显露出自己的聪明才智。
8.使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所面对的问题的本质或特点，八九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴。
但是，通过数学训练使学生形成的这些素质，还只是一些固定的、僵化的、概念性的东西，仍然无助于学生对学习数学重要性及数学的重大指导意义的进一步认识，无助于素质教育的进一步实施。
“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”数学建模及数学实验课程的开设，数学建模竞赛活动的开展，通过发挥其独特的作用，无疑可以为实施素质教育作出重要的贡献。正如李大潜院士所说：“数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径。”
第一，从学习数学建模的目的来看，学习数学建模能够使学达到以下几个方面：
1.体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；
2.增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；
3.知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。
第二，从建立数学模型来看，对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
第三，从数学建模的模型方法来看，有如下几个方面：
1.应用性——学习有了目标；
2.假设——公理定义推理立足点；
3.建立模型——分层推理过程；
4.模型求解——matlab应用公式；
5.模型检验——matlab,数学实验。
第四，从数学建模的过程来看，有如下几个方面：
1.模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
2.模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
3.模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
4.模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
5.模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
6.模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
7.模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
从以上数学建模的重要作用来看，数学建模对于实施素质教育有着重大的指导意义和主要的推动作用。反过来说，素质教育也对数学建模有着必然的依赖性。
第一，要充分体现素质教育的要求，数学的教学还不能和其他科学以及整个外部世界隔离开来，关起门来一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子。这样做，不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉地运用数学工具来解决各种各样的现实问
题，不利于提高学生的数学素养。长期以来，数学课程往往自成体系，处于自我封闭状态，而对于学数学的学生开设的物理、力学等课程，虽然十分必要，但效果并不理想，与数学远未有机地结合起来，未能起到相互促进、相得益彰的作用，更谈不上真正做到学用结合。可以说，长期以来一直没有找到一个有效的方式，将数学学习与丰富多彩、生动活泼的现实生活联系起来，以致学生在学了许多据说是非常重要、十分有用的数学知识以后，却不会应用或无法应用，有些甚至还会觉得毫无用处。直到近年来强调了数学建模的重要性，开设了数学建模乃至数学实验的课程，并举办了数学建模竞赛以后，这方面的情况才开始有了好转，为数学与外部世界的联系在教学过程中打开了一个通道，提供了一种有效的方式，对提高学生的数学素质起了显著的效果。这是数学教学改革的一个成功的尝试，也是对素质教育的一个重要的贡献。
第二，数学科学在本质上是革命的，是不断创新、发展的，是与时俱进的，可是传统的数学教学过程与这种创新、发展的实际进程却不免背道而驰。从一些基本的概念或定义出发，以简练的方式合乎逻辑地推演出所要求的结论，固然可以使学生在较短的时间内按部就班地学到尽可能多的内容，并体会到一种丝丝入扣、天衣无缝的美感；但是，过分强调这一点，就可能使学生误认为数学这样完美无缺、无懈可击是与生俱来、天经地义的，反而使思想处于一种僵化状态，在生动活泼的现实世界面前手足无措、一筹莫展。其实，现在看来美不胜收的一些重要的数学理论和方法，在一开始往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的，但由于蕴涵着创造性的思想，却又最富有生命力和发展前途，经过许多乃至几代数学家的努力，有时甚至经过长期的激烈论争，才逐步去粗取精、去伪存真，使局势趋于明朗，最终出现了现在为大家公认、甚至写进教科书里的系统的理论。要培养学生的创新精神，提高学生的数学修养及素质，固然要教授他们以知识，但更要紧的是使他们了解数学的创造过程。这不仅要有机地结合数学内容的讲授，介绍数学的思想方法和发展历史，而且要创造一种环境，使同学身临其境地介入数学的发现或创造过程；否则，培养创新精神，加强素质教育，仍不免是一句空话。在数学教学过程中，要主动采取措施，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题。这些问题没有现成的答案，没有固定的方法，没有指定的参考书，没有规定的数学工具，甚至也没有成型的数学问题，主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋，去形成相应的数学问题，进而分析问题的特点，寻求解决问题的方法，得到有关的结论，并判断结论的对错与优劣。总之，让学生亲口尝一尝“梨子”的滋味，亲身去体验一下数学的创造过程，取得在课堂里和书本上无法代替的宝贵经验。毫无疑问，数学模型及数学实验的教学以及数学建模竞赛的开展，在这方面应该是一个有益的尝试和实践。
第三，从应用数学的发展趋势来说，应用数学正迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学的阶段。现代应用数学的一个突出的标志是应用范围的空前扩展，从传统的力学、物理等领域扩展到生物、化学、经济、金融、信息、材料、环境、能源等各个学科和种种高科技乃至社会领域。传统应用数学领域的数学模型大都是清楚的，且已经是力学、物理等学科的重要内容，而很多新领域的规律仍不清楚，数学建模面临实质性的困难。因此，数学建模不仅凸现出其重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分。学生接受数学建模的训练，和他们学习数学知识一样，对于今后用数学方法解决种种实际问题，是一个必要的训练和准备，这是他们成为社会需要的优秀人才必不可少的能力和素养。
第四，数学建模竞赛所提倡的团队精神，对于培养学生的合作意识，学会尊重他人，注意学习别人的长处，培养求同存异、取长补短、同舟共济、团结互助等集体主义的优秀品质都起到了不可忽略的作用。
总之，数学建模对于实施素质教育有着不可比拟的巨大推动作用，数学建模与素质教育二者之间存在的这种紧密联系，是靠我们这些从事数学工作者们挖掘的，但是必须更加清醒地认识到，这种联系是需要我们继续去挖掘和发现，需要我们持之以恒地去努力实践，紧密地依托数学建模，大力推进素质教育的实施，为培养新的人才作出持续、不懈的努力。
［参考文献］
［1］唐焕文,秦学志.实用最优化方法［M］.大连:大连理工大学出版社,2004.
［2］杨徐昕,莫晓云.数学建模与素质教育［J］.当代教育论坛(学科教育研究),2007,（3）.
【关键词】数学建模小学数学教学应用
数学是一门集结构、数量关系、空间模型等为一体的科学。这其中，有关于建模的教学是一个十分重要的研究课题[1]。伴随着科技的快速发展，模型在现代生活中受到越来越多的人的关注，无论在生产、工作、学习等地方都离不开模型的建构。小学的教学也是如此，应当与发展的要求相关联，加之运用好建模的思想，这样可以培养小学生的建模的意识。
一、建模的概念分析
数学的建模思想指的是将一些实际的问题抽象成为一般的数学理论，并且运用已经掌握的数学知识找到数学常量和实际变量之间的关系，然后在运用概念、定理等解决数学模型的问题，进而可以解决整个问题。
我们在新课标的数学教学中，发现除了学习基本的数学知识，还有“实践与应用”的技能需要得到提高[2]。这一个部分主要培养学生的数学思维能力与数学符号的概念、空间思维、应用和推理能力等，我们想要更好的进行实践，就必须在整个教学的过程中渗透建模的思想，并且展开建模的活动，这样便可以从根本上解决学生的问题[3]。
二、建模应用于小学数学教学的可行性分析
我们在进行高等教育的时候，经常会开展一些数学能力的竞赛，比如建模比赛等，那是因为，在大学阶段，学生本身已经具备了一定的思维能力和水平，其可以运用一些基本的数学知识来解决一些实际的问题。然而我们在小学的数学中进行模型的推广和一些建模的活动市场需要考虑一些问题，需要照顾学生的认知水平、生活的习惯等方面的因素，这就使得建模的思想在小学的数学模型的建构中拥有一定的可行性。
（一）小学生思维的形成特点适合进行数学建模活动
由于小学生处于一个思维发展程度感性认知相对较高的阶段，他们感知外界的一切往往靠的是感觉，他们并没有相对理性的看待客观世界的能力。因此，我们在进行小学数学建模教育的时候尽量考虑数学问题的难度，尽量避免过于抽象化或者脱离生活实际，这样可以方便学生的理解。
（二）小学生的认知和分析的水平需要采用建模的思想
尽管小学生初步具备了一定的认知能力，而且可以分清楚一些知识的结构，并且已经初步形成了自己的数学学习的建模的萌芽。但是，大多数的学生的建模能力并不是非常的强，因此，教师在整个教学的过程中，应该合理的寻找学生生活上问题的指引，以此来引导学生进行建模活动，这样可以帮助学生形成自己的系统完整的数学模型。
（三）小学生的生活习惯决定了数学建模
小学生的一些生活习惯决定了小学生需要采用数学的思想解决一些实际的问题，教师在采用数学建模的同时应该充分的考虑学生的生活背景，不能够强行将一些完全不符合小学生基本生活领域的问题拿过来建模。
三、小学数学建模的实践情况
（一）从实际情况分析
小学数学的建模不应该仅仅是凭空的构想，而是应该从一些具体的情景出发，让学生“从现实的生活环境中的情境之下将数学问题抽象出来”从而形成小学数学的模型[4]。小学生对于一些事物的认识有可能不是很全面、不是很完整，作为教师，我们更有责任从学生身边的事物入手，提炼出基本的模型，这样可以增加学生对于模型的理解，并且锻炼学生的思维能力。
（二）运用一些数学的符号、公式
采用公式、不等式等方式来表现学生数学问题中的数量之间的关系以及变化的规律。基于这一点，学生需要通过观察、分析、概括、判断等活动，完成整个模式的抽象，并且得到最终的数学模型。
（三）利用已有的数学模型
已有的数学模型包括一些教学书、例题等，我们运用模型去推断整个结果，并且运用结果去验证模型，这样我们便可以对模型做出解释。这样可以使得学生掌握专业的技能，并且可以让学生更加有思想、能力和方法。
四、总结
总之，在小学的数学教学中，融入建模是一个值得一试的良好的办法，这个需要老师、家长、学生三方面的积极主动的配合。本文针对一些数学建模的内涵、概念等进行分析，探讨其实施的可行性，这对于增强学生的理解能力、认知能力和思维能力都具有非常大的帮助。希望本文可以为广大的数学教学工作者提供新的教学方法。
【参考文献】
[1]曹军，蔡炯辉，鲁慧媛.建模思想在小学数学教学中的渗透――一个“希望杯”全国数学邀请赛试题的启示[J].玉溪师范学院学报，2012，12：58-60.
[2]张海燕.数学建模思想在小学数学教学中的应用[J].现代教育，2015，10：88.
[3]张丽鹏.建模思想在小学数学教学中的应用[J].中国校外教育，2014，23：180.
现代化信息技术的发展，促进了高等数学和计算机通信技术的紧密关联，但是目前的大学高等数学教育中，学生对高等数学与实际应用的关联性没有正确认知，甚至对高等数学的学习提不起兴趣。在高等数学教学中融合数学建模思想，是大学数学教育中的重要环节，能够激起学生对高等数学知识与运用的探索兴趣，提高学生数学和应用相结合的能力，提升现代大学生高等数学学科的综合素养。
1高等数学教学改革中培养学生数学建模思想的重要性
1.1提高学生对数学知识的学习兴趣
在大学数学教学中融合数学建模思想的教育，能够充分激发学生对数学知识的学习兴趣，受到数学建模思想的影响，学生对数学知识中的各个思想产生深刻认知，包括微分思想、积分思想、极限思想和排列组合思想等，实际的数学建模应用实践过程中，将抽象的数学知识具体化、具体的问题形象化，培养大学生敏锐的数学灵感，加强学生解决实际问题的能力[1]。
1.2丰富高等数学课堂的教学手段
数学建模思想教育作为一种教学手段，丰富了教学过程，高等数学的教学过程中，教师一般采取使用案例讲解高等数学理论知识的方式，由此随着教学进程的发展，学生的学习兴趣降低。而采取数学建模思想和数学教学相融合的教学手段，能够将具体应用结合到课堂教学内，强化学生对高等数学知识的认知，提高数学知识运用的能力，增强数学学科的综合素质。
2将数学建模思想渗透到高等数学教学改革中的方法策略
2.1系统培养大学生高等数学的建模思想
大学生对于数学建模思想其实已经有了基础认知，比如很多的物理应用和数学建模有着直接的紧密关联，但是认知程度仅仅局限于较为浅层的表面，对于很多数学建模思想的概念模糊，不理解到底什么是建模、怎样建模等。高等数学学科教师要在数学课堂学习之初，首先向学生明确数学建模的思想和方法定义，让学生深刻了解数学建模思想的含义，再借助具体的教学案例，对学生进行数学建模训练，促进学生数学建模的技能水平，解决实际学习和生活中的问题。有些问题是无法通过简单思考直接解决的，通过对问题的分析和观察，问题被细化分解，再通过已有知识收集数据，针对问题中无法直接解决的难点提出假设，问题被简化之后，找到硬性因素并根据其中的关系建立起数学描述模型，计算模型参数实施对模型准确性和实用性的验证，最后建立起应用模型[2]。
2.2高等数学课程中融入数学建模方法教学
高等数学和实际物理问题之间契合度较高，高等数学来自于实际具体的应用场景，教师在讲解数学知识的过程中将具体的物理案例结合到课程中来，改变传统的抽象化数学知识讲授的模式。例如，讲解实用性较强的数学工具时，如微分、积分等，讲解完毕之后针对其中的具体应用问题，引导学生根据合理运用数学工具，建立起模型以达到解决问题的目的，培养和加强学生数学工具的运用能力。教学课程中融合数学建模思想和方法的教育，提升了数学教学的趣味性，消除数学知识的枯燥感，让学生将建模思想和演示工具结合在一起，产生更完整的认知。
2.3营造活跃的课堂教学气氛，激发学生的学习热情
传统的教学模式中，常常是采取“教师讲课、学生听课、课下完成作业”的刻板方式，课堂气氛低沉，教学过程枯燥，学生缺少数学学习的热情。在高等数学教育课堂上融入数学建模思想教育，首先要求教师采取全新的作业练习方式，让作业内容突破课程内容的限制，运用群体思维来进行作业练习，针对学生的实际情况，创设合理的数学建模训练内容，不为学生提供现成的答案，也不限定方法，为学生提供广阔的创造发展空间。学生针对教师提出的具体训练要求，可以个人完成、也可以采取小组单位合作的方式，完成书面报告或论文，加强师生之间的互动交流，在讨论中互相学习、启发彼此，完成高等数学技能的共同提高[3]。
2.4加强数学实验课程的实践考察力度
高等数学教师要在数学课堂上加强对学生实践的引导，让学生在课堂上进行数学建模实验，要求学生完成数据获取，通过不同的参数得到所需要的数据之后，由教师进行审核检验，完成实验报告，加强数学实验课程的实践考察力度。教师在实验过程中，要充分发挥自身技能，深入为学生讲解实验中涉及到的数学原理，并且剖析原理和实践相结合的深入内涵，让学生真正地理解数学知识原理，利用自身所掌握的数学知识，加强数学建模实验的实践应用。另外，数学教师要根据实际教学情况，在学期中和学期末完成对学生数学建模的考试考核，加强学生对数学建模思想教育的重视，深刻知道数学建模的重要性，在数学教学课程中，加强实践应用，完善数学建模思维，提高高等数学的学习能力，强化自身数学学科的综合素养。
关键词数学学习；数学建模；有效策略
一、数学建模的意义和地位
数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系。采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构。这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的纯关系结构。从广义理解数学模型包括数学中的各种概念、各种公式和各种理论，从狭义理解数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构。而建立数学模型的过程则称之为数学建模。数学建模是实际问题向纯数学转化的数学化过程和应用已有知识、方法进行再创造的过程。
《小学数学新课程标准》在前言中指出：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论。并进行广泛运用的过程。它要求我们的学生学会探索、学会研究、学会灵活运用知识解决新问题。学生只有学会学习，才能灵活自如地运用所学知识。才能取得成功。数学建模作为一个学数学、用数学的过程，恰好是实现上述目标的有效途径之一。数学建模在数学教育中起着重要的作用，在建立模型形成新的数学知识的过程中，能有效地促进学生的学习。从而实现让学生学数学、做数学、用数学。
二、数学建模的有效策略
数学建模活动，是把学习数学当作是建立某种模式的过程。发现解决问题办法的过程，探索数学内在联系与应用的过程。教师只有在形成上述正确的教育观念基础上，才能改变目前以知识传授为主的教学方法，才能自觉放弃“题海战术”。积极组织学生利用动手实践、自主探索、合作交流等学习方式开展数学建模活动。建模的过程一般分为“提出问题加以描述――分析与处理――抽象出数学模型――检验与修改”这四个步骤，具体可以采取以下几种策略指导学生开展建模活动。
(一)创设情境。激发建模的兴趣
创设合适的问题情境是引起学生对数学建模的学习兴趣和求知欲的有效方法，所以教师要精心创设问题情境，并通过“问题情境――建立模型――解释应用与拓展”的教学方式使他们在感兴趣的问题情境中思考，从而点燃思维的火花。如教学认识小数时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行投篮比赛，成绩统计如下：
请学生做裁判判断哪个组的投篮水平高一些?学生提出了一些解决的方法。如比较每组中的最好成绩、比较每组的总分等。但是都不是切实可行的方法。此时学生心里就产生了强烈的求知欲，于是构建“平均数”的模型成为一种必然的需求，同时揭示了模型存在的条件与适用性。
(二)充分感知。奠定建模的基础
教学设计要为学生提供全方位的感知，通过循序渐进的学习使学生不断积累表象。全面、深入地了解事物系统的特征或数量依存关系。为构建数学模型奠定基础。例如学习乘法口诀，首先学习1，2，3，4的乘法口诀，初步了解几个相同的数连加可以用乘法来计算，并能编出相应的口诀来帮助记忆。如：2个3相加，3×2=6，口诀：二三得六。接着采取半扶半放的方式学习5和6的乘法口诀。进一步引导学生理解乘法的意义。学习编乘法口诀的方法。最后学习7，8，9的乘法口诀时。学生已经能熟练地编出口诀，因为通过前面几课不断地学习积累。为构建“乘法口诀”的编制模型奠定了扎实的基础。
(三)动手操作。完成建模的构建
皮亚杰指出：“要认识客体，就必须动之以手。”他认为人对客体的认识，是从人对客体的活动开始的；思维认识的发展过程，就是在实践活动中，主体对客体的认识结构不断建。构的过程。因此，在数学教学中，教师要注重学生的动手操作，只有让他们在操作中自己去探索、发现，才能深刻理解知识内在、本质的特征与联系，完成数学模型的构建。如“认识角”一课，对于比较角的大小这一知识点。很多学生认为角的太小与两条边的长短有关，两条边越长角就越大。此时教师可以指导学生利用学具通过动手操作从而构建起真正的数学认识：1。你能把你手中的角变得比老师的这个角大一些吗?2。你还能把你手中的角变得比老师的这个角小一些吗?3。通过刚才的动手操作你发现了角的大小和什么有关呢?学生在动手操作的过程中发现角的两条边叉开得越大角就越大，两条边叉开得越小角就越小。学生通过动手操作完成了“角的大小和两条边叉开的大小有关”这一概念的建模过程。
(四)更换情境，拓展建模的外延
一、通过实际操作，激发建模兴趣
在小学数学课堂教学中，数学建模所面临和解决的问题都是复杂的，建模的过程应该分为四个环节，即表述、求解、解释、验证，每一环节都会遇到一定的障碍，出现意想不到的问题。小学生这个年龄段具有好奇心强的特点，他们对感兴趣的问题充满着探究的动力。因此，我认为在教学中要激发学生进行数学建模的兴趣，充分运用学生这种积极性进行实践操作活动。
比如，我在教“认识角”的知识时，很多小学生都感性地认为一个角的大小与角的两条边的长度是相关的，边越长，角就越大，反之则越小。对此，我引导学生们经过自己动手实际操作，获得了正确的认知。我首先在黑板上悬挂一个纸板做成的固定的角，分给学生一个可活动的角，让学生实际操作一下，能否将自己手中的角变得比这个固定的角大，或者比这个固定的角小。然后，让学生来总结自己的实际操作所得出的结论，即角的大小与两条边的关系，即两条边叉开的越大，角就越大，反之越小，而与边的长短没有关系。学生通过这种实际操作，感受到了数学建模实际操作的乐趣。在这个操作的过程中，抽象的概念被形象化地展现出来，使学生对数学建模的兴趣逐步增强，数学建模的能力也得到有效的提升。
二、借助数学模型，促进理解知识
通过教学实践证明，我们在小学数学的课堂教学中，通过数学模型的运用可以有效地促进学生对知识的理解和吸收。因此，教师要在教学中引领学生去感受数学知识到数学模型的创造过程，由此来培养学生的建模思想。
比如，我在教“异分母分数加减法”的知识时，首先作了这样的教学导入：0.5斤-3两；1.5斤+4两；这两道算式可以直接来计算吗？为什么？学生很快就回答，不能直接计算，因为斤与两是不同的单位，必须统一单位后才能计算，即把各数的单位统一为“斤”为单位的小数后，再进行计算。这时我接着提问，在小数的计算中，小数点要对齐，为什么呢？这次提问旨在强化学生对计数单位统一后才能计算的数学模型。
在下一步的教学中，我又设计了这样两道题：1/3+1/5与2/5-1/3.然后提出问题，这两道算式中的计数单位是否相同呢？学生一致认为，不同，应该先转化为相同的单位再计算。学生在解答问题的过程中，成功地运用了类比法获得了正确的计算方法。这些问题不仅使学生感受到了数学所特有的生活化，也激发了他们浓厚的兴趣。在这个数学模型的构建过程中，学生经历了一个将实际问题数学模型化的体验，使学生的数学思维得到了开发，拓宽了知识面，为培养学生的数学建模思想提供了平台。
三、运用数学思想，认识建模关键
小学数学课堂教学中培养学生的建模思想，不仅是单纯地运用数学知识，同时数学的思想方法的运用也是关键的问题。因此，我们在教学中一定要把数学思想方法的运用当做重要的问题来研究实践。
小学数学教材中，有许多问题可以进行编辑运用，成为数学建模的有效素材。我们要在问题的解决过程中，引导学生从多种角度去思考问题，将未知巧妙地转化为已知，让学生对这一模型的构建与已知知识对比，以此使学生的思维得到拓展。
比如，教“三角形的三边关系”时，我安排学生与自己的同桌一起合作，将4cm、5cm、6cm、10cm长的四根竹棒任意选三根组合成一个三角形，学生在实际的操作活动中对4cm、5cm、10cm不能完成三角形的组合，产生了争议。对此，我利用投影仪把学生围成的三角形进行了放大展示，使学生清晰地看到围成的三角形其实是不封闭的，因为竹棒不是线段。然后，请认为不能完成组合的学生来说出自己的理由。最后，通过我们的课件演示，使学生认识到，两条短边的和等于第三边的时候是无法完成三角形的组合的。由此，我们得出了“三角形两边的和大于第三边”的结论。此时，我运用这个知识提出了这样一个问题让学生进行逆向思考：“两边的和大于第三边就一定能组合成三角形吗？”由此引导学生从另一个角度去思考问题，让学生认识到分析问题的角度应该是多方位的，只有这样才会完善自己的思维方式。
一、通过生活情境感知数学模型
感知就是让学生从生活情境中感觉到某种数学模型的存在。任何数学模型在生活中都应该能找到，至少在生活中有相似的情况存在。数学模型的建构离不开学生的生活情境，只有引入生活情境，才能使数学模型的建构成为可能。
如教学“认识平行”，首先要求学生感知“平行”，怎样感知呢？只能从学生已有的生活情境去感知，如黑板的上下两条边、五线谱的五条线、铁路上的铁轨等。然后理解：“同一平面内不相交的两条直线相互平行，其中一条是另一条的平行线。”而黑板的上下两条边、五线谱的五条线、铁路上的铁轨等这些生活中的现象，事实上至多只能算是平行的线段。世界上没有直线，直线存在于数学理论和人的头脑中。教师只能让学生感知像这样的（黑板的上下两条边、五线谱的任意两条线、铁路上的两条铁轨）两条线就是平行线，要求学生对平行知识有所了解。
再如，教学“认识负数”时，学生既要知道负数都小于零，又要知道有时正数和负数是表示一组相反意义的量。小明向东走100米，记作+100米，那么他向西走100米就记作-100米，这里的-100就不表示小于零。教师既要模糊处理，又要让学生感知、清楚什么是负数，负数有什么特征。
二、理解生活情境建构数学模型
许多概念的教学都必须让学生充分理解某一种或某一类生活情境，为建构数学模型服务。不能深刻理解生活情境，数学模型即使建构起来也不能灵活运用。
如“认识比”这一教学内容主要要求学生掌握比的含义，即“两个数相除又叫做两个数的比”。教学中我们常常通过举生活中的例子来解释。如速度是路程和时间的比，速度是怎么求的？用路程除以时间得到的。让学生理解速度这个概念，从而建构“比表示两个数相除”这一数学模型。可是生活中有些比不是数学上的比，如男生与女生篮球比赛得分是2∶0，这就要求学生深入理解生活情境，这里的2∶0实际上是差比，表示男生比女生多得2分，不表示两个数相除。
对“乘法分配律：a（b+c）=ab+ac”的学习，一般从生活中使用乘法分配律的情境来举例，学生往往只理解原始公式。因为公式变形很多，学生透彻理解难度大，所以要用学生容易理解的生活情境进行教学，还要帮学生及时进行归纳总结，随着学生的理解程度加深而不断完善。只有学生充分理解了，建构的数学模型才是有价值的。
三、运用数学模型解释生活情境
学生的大脑中存在着许多数学模型，遇到具体的生活情境时如何正确调用脑中的数学模型呢？这是由学生对知识的理解程度、对模型的熟练程度决定的。
如对“平行四边形的认识”，学生头脑中的数学模型就是“两组对边分别平行的四边形就是平行四边形”。黑板、课本的封面、桌面等就是平行四边形。因此，学生一看到四边形就会去找两组对边是否平行，是否与生活情境中的黑板、课本的封面、桌面等相似，符合的就是平行四边形。
又如，教学“用一一列举的策略解决问题”，学生要能够看到这一类题目就知道用列举的策略来解决，会不由自主地进行列举。问题：三角形面积为12平方厘米，底和高都是整厘米数，底和高可能是多少厘米？学生认真审题后就会想到列表，然后一一列举符合要求的各组答案。学生容易认为底和高的积是12平方厘米，就是对三角形面积的计算这种数学模型不熟练。弄清楚底和高的积是24平方厘米后，再有序地进行列举就不容易出错了。
学生能合理运用数学模型解释生活情境，就说明学生已经掌握了这种数学模型。
四、深化数学模型创设生活情境
许多生活情境是我们自己创设的，实际生活中也许有，也许没有。学生做的很多题目就是如此。优秀的学生能自己创设符合某种数学模型的学习情境，自编一些符合生活情境的问题，就会深化和升华数学模型。
【中图分类号】G【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）10A-
0042-01
数学建模是在数学教学过程中对真实世界中的具体现象，利用数学思想进行提炼与概括，形成一定的数学结构，并以此对这一现象的质态与基本属性进行处理与控制的过程。新课标强调要在遵循数学教学的基础上将学生在现实生活中的经历抽象数学模型，并对数学模型进行解释运用。
一、源于生活，在遵循生活事理中建立数学模型
学生从教材中学习数学知识之前并不是一张白纸，他们的生活常识及数学经验是他们学习课本知识的源头活水和认知基础。在数学教学中帮助学生进行数学建模就必须在学生的现实生活中遴选出适合、典型的材料作为基本内容，经过巧妙地设计，艺术性地融合在教学流程之中，让学生在数学思维和实践活动中，将数学模型从自己的基本经验中抽取提炼出来。
如，在教学苏教版四年级数学下册《乘法分配律》时，教师可以利用生活的问题帮助学生在基本事理中去粗存精，形成基本的数学属性。关于例题：“苹果30元一箱，梨子25元一箱，每种水果都买了8箱需要多少钱？”教师首先让学生简单叙述事理――自己是怎么想的；接着让学生进行事理的数学概括――用相应的数量关系表述自己的解题思路；然后引导学生由事理向算理演变――进行列式计算；最终引导学生利用相应的字母替代数量关系和算式，帮助学生树立相应的数学模型，即（a+b）×c=a×c+b×c。
从建模思想进行审视，这个案例源于生活而又高于生活。源于生活在于，这个案例选择了学生生活中常见的具有代表性的问题，便于学生捕捉问题情境中的本质内涵，易于学生在实践掌控中进行概括与分析；高于生活则在于，在这个案例的具体建模过程中，教师以实际问题为原点，对文本中呈现出来的各种关系进行合理而奇妙地演绎与推理，并作出了合理的推广，促发了学生对于这种数学模型本质属性的触摸。更重要的是在展示过程中，教师及时运用符号化表述的方法，显得简明扼要，对于培养学生的代数思维具有重要作用。整个过程，教师一直将学生的数学思维与实践活动推向教学的第一线，自己则退隐在教学的后台，最终在学生的自主努力与合作中完成了建模工作，达到了预期的效果。
二、依托经验，在遵从经验储备中建立数学模型
数学知识体系错综复杂、包罗万象，每个知识点之间都彼此联系，相互交融，所以在数学教学中运用迁移规律帮助学生进行数学活动的探究和数学建模，具有十分普遍的价值意义。引导学生在数学学习过程中进行建模，可以利用学生已经具备的认知结构及相关的经验，让学生从形成的数学知识体系中通过类比推理、概括提炼的方式进行数学实践活动，让学生在这些自然的实践活动中不自觉地建立数学模型，形成对应的建模成果。
1.追索――在激活旧知积累中打牢迁移基石
类比迁移，注重教学新知与学生已经形成的经验之间的有效联系。在整个建模初期，教师要在学生原始积累中删减甄别，选择本节课教学建模中需要的知识体系与经验结构，通过适当的价值引导，激活学生已有的相关知识链条，从而为迁移建模奠定基础。
2.迁移――在追寻新旧知联系中铺设迁移渠道
在学生认知基础上，教师抽取了引导学生走向全新模型的有效通道，为学生的迁移建模奠定了基础。在教学实践中，教师应该引导学生在提炼新旧知识的联系点的基础上，积极发现彼此之间存在的共性与异性。从共性的相同中，寻求相应的规律性结构，准确合理地触摸问题的本质；从异性的不同中，切准彼此之间存在的微小差异，从而为精确建模打好坚实的基础。
3.延伸――在拓展认知范畴中扩大迁移价值
依据一点让学生进行迁移是建模的出发原点，但不是最终归宿。教师要在学生触摸到基本属性的基础上，不断扩展学生的认知视野，让学生仅仅扣住模型的基本属性将相关认知范畴逐渐扩大，将迁移的效益不断拓展。
例如，在教学苏教版三年级上册《整百数乘以一位数的口算》中，教师首先引导学生回顾整十数乘以一位数的规律与方法，继而在整百数乘以一位数和整十数乘以一位数之间寻求彼此共融共通之处，找出两者之间存在的共性规律；同时寻求其存在的不同之处，即末尾存在的零的个数不尽相同，引导学生在发现、推理、演绎以及尝试的思维轨迹中实现迁移转化。
【教材分析】
学生对小数概念认识的建立不是一蹴而就的，而是由浅入深、由易到难、循序渐进、螺旋上升的。教材分两个阶段教学小数。第一阶段在三年级下册《认识小数》这一单元（苏教版），简单地接触一下一位小数，定位是初步认识小数。从教材提供的素材中不难看出，教材主要是借助生活经验（人民币、长度单位之间的进率）及分数的初步认识，告诉学生一位小数可以用十分之几表示。对于三年级的学生来说，比较抽象的小数意义学生能否理解，小数是否能融入学生已有的数学知识？
初识小数，如何利用学生已有的经验和知识，对学生进行数系的扩展？小数与已有的整数、分数各是怎样的关系？这是学生能否接纳小数的关键所在。使小数在学生已有数学知识体系中生根，这是至关重要的，但又是抽象的，与学生的思维水平不相符。因此，如何将小数直观化，将小数与整数、分数关系直观化，是学生建立小数概念的重点。直观模型可以起到化抽象为直观形象的目的。
【教学片段一】
师：如果把这个正方形看成是1元，你觉得0？郾3元可以在图中怎么表示？
学生操作，交流。教师巡视。
生：我是把这个正方形平均分成10份，在其中的3份涂上颜色。
师：看着这幅图，你想到了哪个数？
教学中，教师从几何直观入手，让学生通过图形，表示出一位小数，清楚地表示出一位小数与整数1、十分之几的关系。比分数还抽象的小数在学生的头脑中有了对应的直观画面。学生在操作、想象等活动中，建构了清晰的小数概念，完善了学生的知识结构，使学生深刻地认识到：一位小数就是表示十分之几的数。
二、再识――以直观建立联系，深化认识
深入学习小数是在五年级的上册《认识小数》这一单元，全面建立小数的概念，对已有的整数体系进行扩充，理解小数的计数单位、数位，会比较小数的大小和小数的改写，用四舍五入法取近似值，以及后面的“小数加减法”“小数乘除法”单元。教材的这种编排方式符合儿童的认知规律和数学知识的内在联系。如何将一位小数的认识扩展到两位、三位乃至更多？如何让学生体会到小数与整数之间相同的十进关系？抽象的关系离不开直观的表达，越抽象的关系越需要直观的表达。小数的意义，一方面要在通过认识小数与分母是10■的分数的等价关系；另一方面要体现与整数的联系，即小数的计数方法与整数计数方法的同构关系，这样才能完成整数中一整套计数方法向小数的顺利迁移，完成学生已有数系的拓展。小学生即使到了高年级，有了初步的逻辑思维能力，也离不开直观形象思维的支持，离不开丰富感性材料的支撑。所以，教学中直观模型对学生理解小数也起着重要的作用。
（一）以直观模型建立小数与十进分数之间的联系
【教学片段二】
1.如果用1个正方形表示1元，如何表示出0？郾3元？0？郾03元呢？你是怎么想的？
生：把1元平均分成100份，表示其中的3份。因为0？郾03元是3分钱。
2.你会探究吗？
教师提供材料，学生小组合作进行探究。
把1米平均分成100份：
3.刚才我们把1元和1米平均分成了100份，可不可以把1个正方形平均分成100份？（出示正方形，平均分成100份）你想在图中表示出哪些小数？
元、角、分，与米、分米、厘米，每相邻两个单位之间的进率都为10，是十进制的直观模型。相对而言，小学生对人民币的认知比长度单位要熟悉一些。从人民币模型到长度单位模型，再过渡到相对抽象的正方形模型，学生对两位小数的认识从直观走向抽象，从模糊走向深刻。不容置疑，学生对两位小数的认识经验比三位小数要丰富。只有让学生对两位小数有充分认识后，才能通过想象、类比推理展开数学学习活动，完成把一、两位小数拓展至三位以至更多位数的小数，从而建立完善小数的概念。
【教学片段三】
归纳小数的意义。
出示正方形，正方体。
上面每个图形都表示整数“1”，一位小数选哪个图形？为什么？两位小数、三位小数呢？
师：刚才我们研究了一位、两位、三位小数，知道了分母是10、100、1000的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几。
在完成对以米为单位的三位小数的认识后，分别出示平均分成10份、100份的正方形及平均分成1000份的正方体，让学生表示所学的小数，学生要根据小数相对应的分数，再选择相应的图，这就加强了小数与分数的联系，更从直观上突出了这些纯小数与整数1的联系，学生在用图表示这些小数时，初步体会了一位、两位、三位小数是若干累加构成新的小数，感受小数的计数单位。
需要指出的是，在学习小数的计数单位、小数的性质、小数的大小比较等内容时，都可利用正方形（体）模型，数形结合，做到见数思形、以形助数，更直观地理解小数。
（二）以数轴直观沟通小数与整数的联系
正方形与正方体模型都是较具体的直观模型，利用这些具体形象的模型理解小数相关知识后，一下子过渡到抽象的数，学生不易迈过这个坎儿。小数的出现既是数位的反向发展，也是数与数之间粘稠性的填充。因此，在深入认识小数的过程中，还必需利用一个过渡模型――数轴，让学生在直观形象中建立数序。数轴既以直观的方式加固学生对十进小数的认识，同时也形象展示了数的有序和密集的一面。更加直观地体现出与整数之间的密切联系，小数和整数都遵循十进制计数法的位值原则，这也是它们的外在形式看上去更为相似的原因。也正因为如此，比较小数的大小和小数的改写，用四舍五入法取近似值，及后面几个单元“小数加减法”与“小数乘除法”（除小数点的定位法则），小数的大小比较和四则计算都可以像整数一样进行。利用数轴，使学生认识到小数与整数的相似之处，能使学生更加透彻地把握小数的核心价值。